黃 劉 勇

(安徽大學 數(shù)學科學學院，合肥 230601)

Hankel矩陣和Hankel-Bezout矩陣是兩類特殊的結(jié)構(gòu)矩陣，它們在系統(tǒng)穩(wěn)定性理論和控制理論中有廣泛的應用.循環(huán)矩陣也是一種特殊的機構(gòu)矩陣，它可以被看作是由一系列基本矩陣生成的方陣，可通過一般方陣的經(jīng)典分解方法進行分解，同時它與各種結(jié)構(gòu)矩陣有密切的聯(lián)系[1-3]，也可采用這些機構(gòu)矩陣特有的分解方法進行分解.此處通過位移算子的方法[1]研究Hankel型循環(huán)矩陣，獲得了Hankel型循環(huán)矩陣的Vandermonder分解和作為Hankel-Bezout矩陣的Barnett分解，并將循環(huán)矩陣的分解方法進行了擴充，得到了美觀簡潔的表達式，最后給出了Barnett分解的一個數(shù)值例子.

1 預備知識

形如

的矩陣成為Toeplitz型的循環(huán)矩陣[1]，記為circ(a0，…，an-1).Topelitz型的循環(huán)矩陣有很多熟悉的性質(zhì)，在這里就不再贅述.

形如

的矩陣成為Hankel型循環(huán)矩陣，記為circH=(c0，…，cn-1)，其中cij=c((i+j)mod n)，給定多項式p(t)，q(t)，其中degp(t)=n，degq(t)≤n，由生成函數(shù)

令q為多項式環(huán)F[z]上的首一多項式，πqf表示多項式f除以q所得的余數(shù)，記集合

Xq=Imπq={πqf|f∈F[x]}

令q(t)=tn+qn-1tn-1+…+q0，其中dimXq=degq=n，則如下4個集合均為Xq的基，即

1) 標準基Bst=π(t)={1，t，…，tn-1}；

2) 控制基Bco={e1，e2，…，en}，其中ei(t)=tn-1+qn-1tn-i-1+…+qi，i=1，2，…，n；

3) 譜基Bsp={p1(t)，p2(t)，…，pn(t)}，其中pi(t)=Πj≠i(t-αj)，i=1，2，…，n，且α1，…，αn為多項式q的n個不同的零點；

4) 插值基Bin={π1(t)，π2，…，πn(t)}，其中，多項式πi(t)=pi(t)/pi(αi)，i=1，2，…，n.

一些特殊的結(jié)構(gòu)矩陣的位移算子如下[1].Hankel型循環(huán)矩陣：

Vandermonde矩陣：

另外有

2 Hankel循環(huán)矩陣的Vandermonde分解

定理1[3]對于Hankel循環(huán)矩陣Cn，存在Vandermonde矩陣Vn(t)，使得Cn滿足

Cn=Vn(t)TDVn(t)

其中，t∈Q，D為對角陣.

證明關于t的Vandermonde矩陣為

由算子等式(1-tn)(Sp)=I·(1-tn)(Sp)·I知

3 Hankel循環(huán)矩陣的Barnett分解

證明首先證明Hankel循環(huán)矩陣是一種特殊的Hankel-Bezout矩陣.令p(t)∈Fn+1，q(t)=1-tn，則p(t)和q(t)生成的Hankel-Bezout矩陣為

令pn+p0=cn-1，pi=ci-1，i=1，2，…，n-1，即Hankel循環(huán)矩陣circH=(c0，…，cn-1)是由p(t)和q(t)生成的Hankel-Bezout矩陣.

根據(jù)等式q(t)(p(t)-p(s))=p(t)q(s)-p(s)q(t)+p(t)(q(t)-q(s))可得

q(t)π(t)B(p，1)π(s)T=π(t)B(p，q)π(s)Tmodp(t)

定理2 記

是首一多項式p(t)的友矩陣，則

circH=(c0，…，cn-1)=B+(p)(I-CI(p)n)

證明由算子等式q(Sp)=I·q(Sp)[5]，可得

因為

所以

Bez(p，q)=Bez(p，1)q(CI(p))

對于Hankel循環(huán)矩陣，q=1-tn，則有

Bez(p，1-tn)=Bez(p，1)(I-CI(p)n)

而Bez(p，1)=B+,所以有circH=(c0，…，cn-1)=Bez(p，1-tn)=B+(p)(I-CI(p)n)

4 數(shù)值舉例

這里以三階Hankel循環(huán)矩陣的Barnett分解為例，令

的生成多項式為p(t)和q(t)=1-t3.

由等式BezH(p，q)=BezH(p，1)-BezH(p，t3)，知

于是p(t)=t3+4t2+3t+4，它的友矩陣為

根據(jù)定理2，有C3=B+(p)(I-CI(p)3),即

顯然，隨著矩陣結(jié)束增加，分解后的矩陣會更加稀疏，能夠大大地提高運算效率，所以Hankel循環(huán)矩陣的Barnett分解在儲存算法的設計上有重要作用.

5 結(jié)束語

由于Hankel循環(huán)矩陣既是Hankel矩陣又是Hankel-Bezout矩陣，因此這類循環(huán)矩陣也會經(jīng)常遇到，它的一些算法值得去研究.此處采用算子的方法證明了Hankel循環(huán)矩陣的Vandermonde分解和Barnett分解形式，擴充了Hankel循環(huán)矩陣的分解方法，給出了一個數(shù)值例子，證實了循環(huán)矩陣進行Barbett分解后可以提高儲存效率.

參考文獻：

[1] FUHRMAN P A. A Polynomial Approach to Linear Algebra [M].New York：Sprigner Verlag，1996

[2] FUHRMAN P A. On Bezoutian Vandermonde Matrices and the Lienard-Chipart Stability Criterion [J].Linear Algebra Appl ，1989(120)：23-37

[3] 劉冰，張羽乾. Bernstein-Bezoutian矩陣的若干性質(zhì)[J].重慶工商大學學報：自然科學版，2011，28(4)：339-442

[4] 黃瀟，吳化璋. 循環(huán)矩陣的算子方法[J].合肥工業(yè)大學學報：自然科學版，2012，35(5)：704-707

[5] BANETT S. Polynomials and Linear Control Systems[M].New York：Marcel Dekker，1983