張群力 黃 俊 程 健 林濤濤

(浙江省建筑設計研究院，杭州310006)

前言

Lie群的理論發(fā)端于19世紀70年代挪威數學家SophusLie的工作。Lie群是一個群，其上有拓撲，又是一個解析流形。它上面同時包含代數結構、拓撲結構和解析結構，這些結構滿足一些相容性條件。在Lie群上，可以同時研究群結構、拓撲結構和幾何結構。Lie群是非線性的數學對象，Lie代數是Lie群結構的自然的線性化。Lie群和Lie代數處于代數、拓撲、幾何和分析的結合點上。實際工程應用中，研究衛(wèi)星的姿態(tài)、機器人運動及計算機圖形學等，Lie群Lie代數理論是一個有效工具。本文將其應用于建筑造型[1]。剛體變換群SE(3)是Lie群中的一個經典范例，與一般抽象的Lie群不同。它有具體的運動學和幾何學意義，能夠進行直觀的形象思維。同時還具有外圍空間，SE(3)可以視為12維歐氏空間中的六維超曲面，SO(3)局部上是9維空間的三維超曲面。剛體運動對應于超曲面上的一條曲線，剛體的速度、加速度可以理解為沿曲線的切向量、協(xié)變導。除了采用Lie群Lie代數方法討論外，還可用超曲面上的幾何學來研究剛體運動學。在微分流形的平臺上可以將幾何學與運動學進行統(tǒng)一處理[2]。本文中圖號中標有字母a的圖為引用圖，來自公開網絡信息。其它圖形是在

Rhino平臺上采用nurbs技術繪制。

1 Lie群理論中有關的基本概念

1.1 Lie 群

設G為解析流形，其上有乘法運算，使得G在此乘法下成為群且乘法映射f:G×G→G，(a，b)·ab和逆映射 τ:G×G→G，a·a－1都是解析映射，則稱G為Lie群。G作為解析流形的維數稱為Lie群G的維數。

1.2 Lie代數:(Lie代數的概念可以脫離Lie群的概念而單獨定義)

設g是基域K上的向量空間，若g上存在雙線性映射[，]:g×g→g，滿足 (1)[X，X]=0，?X∈g，(2)Jacobi恒等式:

[[X，Y]，Z]+[[Z，X]，Y]+[[Y，Z]，X]=0，?X，Y，Z∈g，則稱(g，[，])是域K上的Lie代數，稱[，]為Lie括號。(Lie括號反映了Lie群乘法不可交換性這一事實)g作為向量空間的維數稱為Lie代數g的維數。

1.3 Lie群G的Lie代數

?a、b∈G，左平移映射La:G→G，b→ab且=La－1因此是G的拓撲自同胚。同樣可以討論右平移。(左右平移反映了Lie群乘法滿足結合率這一事實)由于左右平移都是G的自同胚，所以G中每點處的拓撲結構都是一樣的。只要關心單位元e鄰域的拓撲即可[3]。

記TeG為Lie群G單位元e上的切空間，任取Xe∈TeG，(La)*Xa=aXe將Xe左平移到點a∈G的切空間TaG中，即群元素的平移誘導出切向量的平移。(La)*Xa可以看作定義在G×TeG上的一個二元函數。固定a而令Xe遍歷TeG，得到線性同構(La)*:TeG→TaG，它使得G的任一切空間TaG通過平移而自然地同構于TeG。再固定Xe而令a遍歷G，得到G上的一個切向量場X，它在每一個點a∈G的取值為Xa=(La)*Xe=aXe，并且?a，b∈G，有(La)*Xb=(La)*(Lb)*Xe=abXe=(Lab)*Xe=Xab。具有這種性質的切向量場X稱為左不變向量場。令b=e得Xa=(La)*Xe這表明左不變向量場必然是由單位元處的某個切向量經過平移生成的。G上的全體左不變向量場的集合(空間)記為γL(G)，顯然它是一個同構于TeG的線性空間。TeG的每組基恰好對應于γL(G)的一組基，后者形成了G上的一個標架場。

定義:設G是Lie群，γL(G)為G上的所有左不變向量場構成向量空間，?X，Y∈γL(G)在Lie括號[X，Y]=XY－YX下成為Lie代數，稱為Lie群G的Lie代數。

1.4 Lie代數到Lie群上的指數映射

對于任意的切向量A∈TeG，設ΦA:R→G表示左不變向量場XA的積分曲線，它在t=0時經過G的單位元e，即滿足 ΦA(0)=e及 ΦA＇(0)=AΦA(t)=XA(ΦA(t))及

其中A表示一個Lie代數元素，t為參數。因ΦA(t)∈G，ΦA(s)∈G及ΦA(t+s)∈G，由(1)式可知映射ΦA(t):R→G是Lie群同態(tài)[2]，同時也是G的單參數子群。在(1.1)式的等號二邊同時對S求導并令S=0得ΦA'(0+t)=ΦA'(0)ΦA(t)，

即

介常微分方程(1.2)得

ΦA(t)=eAt

再令t=1，得

將由(1.3)式定義的指數映射TeG→G，A→eA稱為從Lie代數TeG到Lie群G上的指數映射。Lie群的三條基本定理，可以說明Lie代數乃是Lie群結構的局部不變量。用現(xiàn)代的觀點表達出來就是說:由Lie群，唯一確定其Lie代數。反之，由Lie代數也可在單位元附近完全確定Lie群。但是Lie代數不能確定Lie群的整體性質。

2 剛體運動與Lie群

E3中的剛體相對于某固定坐標系的位置與姿態(tài)叫做位形，剛體全體位形的集合叫做位形空間。所有可能的剛體運動變換空間是Lie群的一個范例。

2.1 剛體轉動與旋轉群SO(3)

剛體的空間轉動是一類特殊的剛體運動，它只改變剛體的姿態(tài)。剛體的姿態(tài)可以用安裝在剛體上的動坐標系相對于參考坐標系的相對姿態(tài)用旋轉矩陣R來描述。旋轉群又稱為特殊正交群用SO(3)表示，定義為:SO(3)={R∈GL(3):RTR=I，detR=1}括號內是SO(3)的隱式方程表達。SO(3)是以矩陣乘法作二元運算，以單位陣I為單位元素，以RT作為R的逆，一般線性群GL(3)的3維子群?？梢宰C明SO(3)是滿足矩陣乘法的Lie群。

2.2 Lie群SO(3)與剛體運動的映射關系

自由剛體相對于固定坐標系旋轉后的位形可由唯一的R∈SO(3)表示。因此，剛體的姿態(tài)可用SO(3)的參數化表示。相應的運動軌跡可表示為R(t)∈SO(3)，t∈[0，T]。Euler歐拉定理:任意姿態(tài)R∈SO(3)等效于繞固定軸ω∈R3旋轉θ∈[0，2π)角。這種旋轉運動的表示法也叫做等效軸法。

2.3 Lie群SO(3)與它的Lie代數so(3)

SO(3)的Lie代數用so(3)表示，是由R3×3上的反對稱矩陣的集合組成的。so(3)=∈R3×3:T=－1}

其中:ω =[ω1，ω2，ω3]T，

算子∧為叉積的矩陣表達)

其Lie括號的構造為[1，2]=12－21，1，2∈so(3)，

其中，ω是沿歐拉轉軸(瞬時轉軸)的單位矢，其三個方向余弦即為

ωj(j=1，2，3)，物理意義是瞬間旋轉角速度。

Lie群SO(3)與相關的Lie代數so(3)之間的聯(lián)系是矩陣指數，即由Lie代數求出Lie群元素。指數映射so(3)→SO(3)，是SO(3)上的滿映射。即對于給定的R∈SO(3)，存在ω∈R3，ω =1及θ∈R，使得R=exp(θ)。

其中:ω∈R3為表示旋轉方向的單位矢量，θ∈R為旋轉角度。物體的每一次轉動都存在某一個R∈SO(3)與之對應，對此可將R寫成ω和θ的函數。R(ω，θ)=exp(ω，θ)=e^ωθ上式稱為羅德里格斯(Rodrigues)公式。它給出了指數映射so(3)→SO(3)的具體解析表達式。反之，通過矩陣對數能夠由Lie群的元素計算出對應的Lie代數。

以上方法就是采用指數坐標對SO(3)進行參數化。其它常用的參數化方法還有，四元數法、RPY角法和歐拉角法等，每種方法各有優(yōu)劣處。只有單位四元數能被看作旋轉矩陣SO(3)的一種整體參數化的形式，其它方法均屬于局部參數化的范疇[4]。在拓撲學上SO(3)與實射影空間PR3之間存在微分同胚映射[5]。

圖1 實射影平面在E3中的一種浸入 boy＇s曲面

2.4 一般剛體運動與剛體變換群SE(3)

剛體變換群又稱歐氏群用SE(3)表示，定義為:SE(3)={(R，T):R∈SO(3)，t∈R3}

相對于剛體轉動的表達而言，描述一般的剛體運動要復雜得多。必須同時來描述剛體上任意一點的移動及剛體繞該點的轉動。為此，通常在剛體上的某點處建立直角坐標系{B}(物體坐標系)，通過描述該坐標系相對于參考坐標系{A}的運動來描述剛體的位形。這樣剛體上各點的運動情況都可以由物體坐標系{B}的運動以及該點相對于物體坐標系的運動得到。具體有下面二種表達形式:

歐氏幾何中仿射變換形式的表達和射影幾何中齊次變換形式的表達

式(2.3)矩陣中的最后一行是額外增加的。但在圖形學中，其數字1常被標量常數代替，當這個常數大于1時表示圖形放大，小于1時表示圖形壓縮。另外最后一行的0行矢量也可用某個其它行矢量代替，以構成“透視變換”。這兩種情況對應的矩陣變換已不再表示剛體變換[6]。

利用齊次坐標和齊次變換矩陣可以證明SE(3)對于矩陣乘法構成Lie群。

2.5 Lie群SE(3)與剛體運動的映射關系

剛體的任一位形可由物體坐標系相對固定坐標系的位置t∈R3和姿態(tài)R∈SO(3)確定。其所有位形組成的空間稱為剛體的位形空間。因此，剛體的位形空間可以表示為R3與SO(3)的乘積空間(半直積)，記為SE(3)。SE(3)={(R，T):R∈SO(3)，t∈R3}=SO3?R3

這里的半直積是指將旋轉作用于平移而不是相反。剛體的位形空間中元素與Lie群SE(3)中元素有著同態(tài)關系。剛體的姿態(tài)可用SE(3)的參數化表示。Chasles夏萊定理:任意剛體運動均可以通過繞一軸的轉動加上平行于該軸的移動實現(xiàn)。

這種組合運動稱為旋量運動(或螺旋運動)。旋量運動的無窮小量稱為運動旋量∈se(3)。

2.6 Lie群SE(3)與它的Lie代數se(3)

以齊次形式表示的剛體變換矩陣是一個Lie群，同時也是一個特殊歐氏群SE(3)。與Lie群SE(3)相關的Lie代數用se(3)表示。

SE(3)的Lie代數:se(3)={(v，):v∈R3，∈so(3)}

其Lie括號可表示為[1，2]=12－21，1，2∈se(3)，se(3)中的元素稱為旋量，或者叫歐氏群的一個生成元。Lie群SE(3)與相關的Lie代數se(3)之間的聯(lián)系是矩陣指數，通過矩陣對數能夠計算出與Lie群的元素對應的Lie代數。指數映射se(3)→SE(3)，是SE(3)上的滿映射。即對于給定的g∈SE(3)，存在∈se(3)和θ∈R，使得

以上是指數映射se(3)→SE(3)的具體解析表達式。

反之，通過矩陣對數能夠由Lie群的元素計算出對應的Lie代數。

3 串聯(lián)機器人正向運動學的指數積(POE)公式

兩個或兩個以上的構件通過運動副聯(lián)接而組成的系統(tǒng)稱為運動鏈。組成運動鏈的各個構件構成首末封閉系統(tǒng)的運動鏈稱為閉鏈;反之為開鏈。由開鏈組成的機器人稱為串聯(lián)機器人。串聯(lián)機器人的位形空間可以用一個坐標卡復蓋[7]，它是一個全局坐標，是一個特殊的微分流形;而多數并聯(lián)機器人的位形空間不能用一個坐標卡復蓋，因此它沒有全局坐標，是一個一般的微分流形。

19世紀初期，CHASLES和POINSOT在其著作里介紹了關于旋量理論的基本原理。(運動學中的旋量與場論中的旋量是兩種不同的概念)旋量有三個表征形式:對偶矢量、Plˉucker坐標和Lie代數。旋量作為Lie代數的一個元素，研究早于Lie群Lie代數的出現(xiàn)。1983年BROCKT最先將Lie群與Lie代數中的指數映射引入到機器人中來，建立了機器人的指數建模方法，通常稱為指數積公式。整個系統(tǒng)中只有兩個坐標系即可:一個是慣性坐標系{S}，另一個是與未端執(zhí)行器固聯(lián)的工具坐標系{T}。由于各關節(jié)的運動由與之關聯(lián)的關節(jié)軸線的運動旋量產生，由此可以給出其運動學的幾何描述。如果用ξ表示該關節(jié)軸線的單位運動旋量坐標，則沿此軸線的剛體運動可表示為

對于一個具有n個關節(jié)的串聯(lián)機器人正向運動學的求解，利用剛體運動的疊加原理，可得指數積公式如下:

式中gST(0)表示工具坐標系的初始位形相對于慣性坐標系的變換矩陣，gST(θ)表示剛體運動后工具坐標系的位形相對于慣性坐標系的變換矩陣。利用指數積公式，機器人的運動學完全可以用機器人各個關節(jié)的運動旋量坐標表征。這里變換g=eθ^ξ所描述的不是點在不同坐標系之間的變換，而是在同一慣性坐標系下描述剛體由起始位形到最終位形的變換。正是該公式可以不考慮中間相對的位形變換，故可以描述為一個單一的輸入輸出系統(tǒng)，為表達及控制機器人運動帶來了諸多便利[6]。

4 建筑幾何造型應用

4.1 歐氏變換群應用舉例

4.1.1 北京鳳凰國際傳媒中心

北京鳳凰國際傳媒中心方案競賽是由業(yè)主單位一香港鳳凰衛(wèi)視邀請國內5家著名設計單位參加的方案招標，方案設計歷時45天，北京市建筑設計院胡越工作室提供的設計方案在9個參賽方案中獲得專家評審第一名。這個綜合性的項目將包含電視演播，辦公和商務等各種功能，曲線的殼體來自莫比烏斯帶這一概念，這是一條沒有開頭和結尾的延續(xù)的條帶，它將宏偉的中庭空間纏繞包裹。一個結構性的鋼鐵斜肋構架支撐著巨大的玻璃幕墻，這面透明的幕簾為室內帶入充足的陽光。

圖2 北京鳳凰國際中心

圖3 北京鳳凰國際中心施工實景

對其幾何造型進行剛體運動分析:

將一個剛性的橢圓型平面(該平面平行z軸)其形心被約束在圓周上沿圓周用角速度φ作旋轉運動，同時該橢圓型平面又繞著其經過點的切線用角速度φ作旋轉運動。設轉動角速之比φ/φ=2，當φ=2π時，φ=π。此時橢圓型平面的邊緣曲線在三維空間中掃掠出一個封閉的環(huán)面(扭環(huán)面)。設P為剛性橢圓上一動點的初始位置，M為剛性橢圓形心初始位置。經過繞Z軸轉動以后分別到達P'點和M'點。然后P'點繞過M'點圓R的切矢v旋轉，到達P″點。

圖4 北京鳳凰國際中心幾何造型分析動橢圓繞圓心運動伴隨自轉二個角速度比為1/2

圖5 動橢圓繞圓心運動伴隨自轉機械臂仿真初始位形

機械臂仿真中間位形

第一步:建立慣性坐標系{S}與物體坐標系{T}:a和b的幾何意義詳圖4。

第二步:物體坐標系初始位形

第三步:關節(jié)1的單位運動旋量計算如下:

考慮到

則

第四步:關節(jié)2的單位運動旋量計算如下:

考慮到

則

第五步:代入POE公式:

圖6 動橢圓繞圓心運動伴隨繞圓上經過點的切線轉動左(右)圖二個角速度比為3/2(1/2)

圖7 莫比烏斯環(huán)面及其等距面上的紐結線網格

圖8 哈薩克斯坦新國家圖書館

圖9 幾何造型分析動矩形繞圓心運動伴隨自轉二個角速度比為1/2

圖10 結構布置網絡拓撲

4.1.2 哈薩克斯坦新國家圖書館

哈薩克斯坦新國家圖書館的幾何造型，可用一個剛性的矩型截面繞圓心運動并伴隨自身的轉動來形成[8]。其造型效果詳圖(8、9、10)。

4.2 仿射變換群(一般線性群)應用

古典微分幾何采用微積分為工具，研究對象主要是歐氏空間中的曲線曲面;而現(xiàn)代微分幾何則是以微分流形為基礎，即可以研究n維歐氏空間的曲線曲面，也可以研究非歐氏空間中的幾何。按照F.Klein的觀點，幾何學就是研究在變換群作用下的不變量和不變性質的學問，而幾何中的變換群通常都是Lie群[1]。比如，若在Rm上選取等距變換群，則有歐氏幾何;若選取仿射變換群，則有仿射幾何;若將Rm擴充為射影空間，選取射影變換群，則有射影幾何。由此足以看出Lie群在幾何學研究中的主導作用。由高斯內蘊幾何發(fā)展起來的黎曼幾何與Lie群已成為現(xiàn)代微分幾何的兩大基石。圖11中的幾何造型已不屬于歐氏幾何造型的范疇:讓動橢圓A形心固定在定橢圓B上，A所在的平面與B所在的平面垂直。動橢圓A沿橢圓B運動的同時繞著經過點定橢圓B的切線旋轉，伴隨動橢圓A自身的等距縮放。

4.3 扭環(huán)面上的紐結線與扭環(huán)面的等距面

在圖2、3、7中所看到的斜網格是扭環(huán)面上的紐結線網格[9]，在本文方法建立的數字模型上很容易實現(xiàn)紐結線網格的建立與調整。圓環(huán)面、扭環(huán)面上的紐結線本身具有優(yōu)美的空間幾何結構，利用其作為基線還可以做出其它的幾何造型。詳圖15、圖16。在圖7、11中可以看到一個雙層的幾何結構，其中里面的曲面就是扭環(huán)面，而外面的一層則是扭環(huán)面等距面上的紐結線網格。只需在剛體的初始位形上確定一個橢圓及該橢圓的等距線，通過剛體特定的空間運動，這兩條曲線在空間中就掃掠出扭環(huán)面與扭環(huán)面的等距面。工程中可利用等距面可進行幕墻布置及定義桿件截面。

圖11 動橢圓繞定橢圓伴隨動橢圓的自轉與等距縮放，外面是等距面上的紐結線網

圖12 動橢圓沿定橢圓運動伴隨動橢圓自轉，表面為離散的運動點群

5 結論

用Lie群Lie代數方法描述剛體的連續(xù)運動。通過指數坐標對Lie群SE(3)進行參數化，得到物體(動)坐標系相對于慣性(定)坐標系的連續(xù)變化的解析表達。在初始位形剛性截面的邊緣曲線上任取一點P，通過上述解析表達得到該點隨剛體運動掃掠出的一條空間曲線L。當P點遍歷整條邊緣曲線就得到一張掃掠曲面(建筑造型曲面)。對于本文中的幾個例子，可按一般情況即動橢圓繞定橢圓編寫程序，而將動橢圓繞定圓作為其特例處理。Lie群是連續(xù)群，但計算機只能處理離散數據，將邊緣曲線離散為n個控制點，這n個控制點隨剛體運

圖13 三亞鳳凰島建筑方案

圖14 湖州喜來登大酒店建筑方案

圖15 圓環(huán)面紐結線幾何造型1

圖16 圓環(huán)面紐結線幾何造型2

圖17 利用扭環(huán)面的等距面可在紐結線上布置矩形截面的桿件

動后形成n條空間曲線，在它們上面離散出一個運動點群，采用nurbs技術得到一張nurbs曲面。該nurbs曲面實際對應了Lie群SE(3)上的一條nurbs曲線。Lie群Lie代數方法不僅可應用于建筑幾何造型，還可以應用于結構構件的運動學、動力學建模[10～11]。因此值得對Lie群Lie代數方法的工程應用作進一步的研究。

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