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(陜西師范大學數(shù)學與信息科學學院 陜西西安 710062)

新課標實施多年以來，數(shù)學教學改革取得了不少成果，但有些數(shù)學課堂的“低效”現(xiàn)象卻仍然沒有得到很好的解決.如何在數(shù)學課堂上采取切實可行的措施，改進并提高數(shù)學教學效率，仍然是一個十分迫切的教學研究課題.本文結合文獻綜述[1]和對多所學校開展高效數(shù)學課堂的觀察與調查，著重對在課中和課后如何提高數(shù)學課堂效率進行一些探討.

1 針對不同學情和教學內容，構建形式多樣的高效數(shù)學課堂

在建構主義教學思想的指導下，數(shù)學課堂便成為在教師主導下學生積極主動進行學習與認識的主要活動場所.教師通過數(shù)學教學目標的制定、教學內容和教學方法的選擇、教學活動的組織以及教學過程的控制等，引導學生進行基于自身認知與思維方式的主動學習.而高效的數(shù)學課堂是上述理念實現(xiàn)的基本保障.為了實現(xiàn)高效課堂，形式多樣的數(shù)學課堂構建是關鍵.而教師根據學情、學習內容等特點，可以有針對性地采用形式多樣的教學方法和策略.

(1)針對探究性內容，可以采用“學生探索，師生討論”的方法.

探究性學習內容，可以調動學生的學習主動性，促進學生思維的創(chuàng)造力.對于探究性問題，可以采用學生主動學習的方式進行．例如，在北師大版必修5第3章第1.2節(jié)“不等關系與不等式”中，首先讓學生復習以前學過的且比較熟悉的簡單的不等式性質：

①若a>b,b>c,則a>c;

②若a>b,則a+c>b+c;

③若a>b>0,則a2>b2;

再在原有不等式的基礎上讓學生思考，將條件稍作改動，可以得到什么結果.經過思考，學生可能會有如下的探究性結果：

①若a>b>0,c>d>0,則ac>bd;

②若a>b>0,則an>bn(n∈N+);

在課堂上，教師可以請若干名學生上講臺演示自己探究的結果.對于不同學生各自不同的理解，教師可以讓學生互相討論，以期獲得共識．在這種課堂模式里，教師扮演的是引導者的角色.討論中，教師要把握好進度，對學生思考、介紹以及討論的時間予以控制，并對難點加以分解，對重點予以強調，從而提高教學的效度．

(2)針對技巧—技能—方法型知識，采用“教師適度引導，學生發(fā)現(xiàn)歸納”的方法.

這一教學方法主要強調對數(shù)學方法的掌握，要求學生在理解基本知識以后，能熟練地使用相應的基本方法．例如，在“等差數(shù)列的前n項和”一節(jié)中，教師可以嘗試計算出一列簡單的等差數(shù)列前100項之和：S100=1+2+3+…+98+99+100，從而引出高斯算法：

S100=1+2+3+…+98+99+100，

S100=100+99+98+…+3+2+1，

這2個等式上、下對應項的和均為101，2個等式相加，得

2S100=101+101+101+…+101

即

據此提問學生，你能推斷出求一般等差數(shù)列前n項和的方法嗎？讓學生自己思考．教師在學生提出的幾種方法中進行必要的點評和抉擇，還可以進一步提煉出方法的有效性、普遍性和局限性等.例如“倒序相加法”，作為高斯算法的一種一般化，其普遍性的方法論價值就得以體現(xiàn)：

設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，即

Sn=a1+a2+a3+…+an,

根據等差數(shù)列{an}的通項公式，上式可以寫成

Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+…+[a1+(n-1)d],

再把項的次序反過來，Sn又可以寫成

Sn=an+(an-d)+(an-2d)+…+[an-(n-1)d],

將以上2個式子相加，可得：

可以讓學生自己總結等差數(shù)列前n項和的計算方法和“倒序相加法”的特點，并把方法的特點總結出來，這樣，學生對“倒序相加法”的本質會有更好地認識．

(3)針對習題課內容，采用“學生做練，教師總結”的方法.

習題課是數(shù)學課中不可缺少的一種課堂類型.通過處理習題，讓學生對知識有更深層次的理解，更加熟練地掌握對應的計算方法，對相應的思維模式也更熟練．

例如，在習題課上有這樣一道題目：

學生通常會選擇使用正弦定理和余弦定理進行解決，并最終得到等腰直角三角形的結論.習題做完后，教師可以進行解題方法的分析：采用正弦定理，從邊到角，運算相對簡單；而采用余弦定理，從角到邊，運算相對復雜.但殊途同歸，要根據題型進行綜合判斷，選擇最佳解題方案.

2 合理使用信息技術，擴大數(shù)學教學的覆蓋面

信息技術與多媒體在數(shù)學課堂上使用得當，會為課堂效率加分不少，在使用的過程中要注意合理使用，避免偏差，使多媒體的使用達到最佳狀態(tài)[2].通過擴大數(shù)學教學的覆蓋面，進而提高教學效率.

(1)針對適合的內容應用多媒體課件，增大課堂容量與授課的效率.

在數(shù)學課堂上，一些內容若輔之以多媒體演示，則會收到事半功倍的效果，既加大了課堂容量，又能讓學生易于理解．例如，在研究“二次函數(shù)圖像的性質”一節(jié)，如果采用幾何畫板來研究，就能快速實現(xiàn)相應的教學目標：

①畫出y=x2和y=2x2的圖像，再作出y=ax2的圖像，其中a是變量，通過a值的變化，觀察a>0和a<0分別對圖像有什么影響？

如果順利實現(xiàn)第一步，還可以進入較深入的討論：

②畫出y=2x2與y=2(x+1)2的圖像，再作出y=a(x+h)2的圖像，其中a,h是參數(shù)，觀察a,h對圖像的影響．

這樣可以用較少的時間討論更多的內容，比在黑板或小黑板上展示的效果要好.不僅能夠激發(fā)學生的學習興趣，還可以讓學生更直觀地觀察參數(shù)的變化對圖像變化的影響．

(2)發(fā)揮多媒體課件的直觀與動態(tài)效果，增強學生的探究發(fā)現(xiàn)意識.

多媒體課件具有直觀性和動態(tài)性等特點，充分發(fā)揮其特點可以優(yōu)化教學過程，進而提高課堂效果．在“任意角”的教學中，對于“終邊相同的角”這一概念，教師有時用傳統(tǒng)方法在黑板上面演示很多遍，但是還有不少學生感覺難以理解.如果制作一個課件，使始邊的運動和方向同步進行，通過顏色、動畫正確地展示概念產生的過程，可降低學生接受的難度．

對《幾何畫板》這樣的數(shù)學軟件的合理使用還可以促進學生對問題的探究意識，提高解決問題的效率.例如在北師大版教材必修5第3章第4.2節(jié)“簡單線性規(guī)劃”中，有這樣一道題：

解由題設可知，滿足每個不等式的解集都可以用一個平面區(qū)域來表示，而滿足不等式組的解集是這些平面區(qū)域的公共區(qū)域(交集)(如圖1).

圖1

(3)熟悉使用多款軟件，發(fā)揮多媒體課件的延伸功能.

隨著學生思維水平的不斷提高，在數(shù)學教學中不能僅僅停留在突出直觀和形象化的層次上，而要深化至數(shù)學知識產生的過程、運算、數(shù)量關系和邏輯關系等層面，使課件發(fā)揮出黑板、粉筆等傳統(tǒng)教具起不到的作用，這樣才能真正做到課件的高度有效.針對不同的教學任務、對象、難度和環(huán)境，采用不同形式和功能的軟件，是構建課堂教學的必要形式.像《幾何畫板》作為一款數(shù)學軟件，在探索圖形關系、構造關系、測量與計算等方面都具有很好的使用價值.在《Z+Z超級畫板》中，除了《幾何畫板》的基本功能之外，還具有智能推理等功能.“SPSS”軟件則具有較強的數(shù)據處理和分析功能.對這些數(shù)學軟件的合理使用，會相應地提高數(shù)學教學的放大效應，延伸傳統(tǒng)教學的范圍和界限，進而對提高數(shù)學教學效率有很好的作用.

3 運用并發(fā)展元認知策略，提高數(shù)學教學效率

元認知，簡單地說就是對于認知的認知.元認知是建立在認知基礎之上的一種較為高級的認知活動.包括個體關于自己認知過程的追問、回溯和調節(jié)等過程，以及對思維和學習活動的回顧、反思與控制.自我意識和自我認知的調節(jié)水平是元認知能力高低的2個重要指標.在數(shù)學教學課堂之后，學生、教師以及師生之間必要的元認識活動是十分必要的.其中數(shù)學思想方法的總結和歸納是一個最活躍的教學因子.

(1)在教學過程中采用多種方式，促進學生元認知思維的發(fā)展策略.

在課堂上，小組探究和合作學習是課程標準所倡導的學習方式之一，教師要在教學中適時采取這些學習方式.在課堂上采用小組探究和合作學習等形式，既增加學生之間的交流，也能促進學生的元認知發(fā)展.例如，在學生基礎知識已經初步形成的基礎上，可以引導學生進行小組討論或合作探究來解決有一定難度的問題．此時，運用提出猜想、情境設置等手段，激發(fā)學生的問題意識和探究愿望，對問題各抒己見、充分展示基思維過程，并對其他同學的想法發(fā)表見解，讓學生在合作討論中互相協(xié)作，發(fā)展學生的獨立評判能力和協(xié)作精神．

在課后，教師要鼓勵學生養(yǎng)成解題后回顧與反思的習慣，逐步提高問題解決的元認知意識.著名數(shù)學家波利亞在“怎樣解題表”中，特別提出了把回顧作為解題的一個必要階段，就說明回顧對解題具有重要的價值.波利亞還具體給出了“你能否檢驗這個論證？你能否用別的方法導出這個結果？你能否一下子看出它來？你能不能把這個結果或方法用于其他的問題？”等操作性建議[3].在數(shù)學教學過程中，很多學生在解決完數(shù)學題目后，就以為萬事大吉了.其實解題后的回顧與反思是十分必要的.教師要逐步培養(yǎng)學生在完成題目后的回顧與反思習慣.長此以往，學生的元認知能力和解題效率都會得到提高.

(2)教師要提高自身的元認知水平，進而促進師生主體間性的元認知活動.

數(shù)學教學既不是上課鈴聲響起才開始，也不是隨著下課鈴聲就結束的.要做一個真正的教學有心人，就要在課前和課后，針對課程內容、教學方法、多媒體制作等各個教學環(huán)節(jié)進行反思.在反思中才能有所收獲，有所成長，教師的反思活動可以促進教師專業(yè)化的發(fā)展.教師的元認知水平對于師生主體間性的元認知活動的開展具有重要價值.所謂主體間性，就是一種建立在主體之間的互動關系.充分激發(fā)師生主體間性的元認知意識，是營造高效數(shù)學課堂教學氛圍的一個重要步驟.良好的教學氛圍是數(shù)學高效課堂的關鍵，是讓學生能全身心投入到學習過程的保證．作為教學的雙主體，適宜的師生主體間性能夠使師生雙方處于智力和情感的最佳狀態(tài)，進而創(chuàng)造出促進數(shù)學教學交流的最佳效果.在數(shù)學教學中，主要就是師生之間的交流與互動，也包括生生之間的交互作用.其中，除了認知方式的互動之外，情感上的交流也是必不可少的.利用情感教育構建良好的高效課堂是提高數(shù)學課堂教學效率的基礎．

(3)重視數(shù)學思想方法的提煉和概括，提高學生的元認知解題水平.

數(shù)學思想方法是一種數(shù)學的元知識.在數(shù)學教學中，善于運用并總結數(shù)學思想方法，常?？梢云鸬绞掳牍Ρ兜淖饔?數(shù)學教學中善于提煉數(shù)學思想方法是提高數(shù)學教學效率的一個有效途徑.

例2求數(shù)列{2n-1·(2n-1)}的前n項和Sn.

分析觀察可知數(shù)列cn=2n-1·(2n-1)是一個等比數(shù)列an=2n-1和一個等差數(shù)列bn=2n-1的乘積.怎么計算這樣一個數(shù)列前n項的和呢？之前學生學過了等差、等比數(shù)列的求和公式，能不能把這個數(shù)列的求和轉化到學過的知識和方法上去.

解試著把Sn寫出來：

Sn=1·1+ 2·3+22·5+23·7+…+

2n-2·(2n-3)+2n-1·(2n-1),

式子2邊同時乘以2

2Sn=2·1+22·3+23·5+…+

2n-2·(2n-5)+2n-1·(2n-3)+

2n·(2n-1),

2個式子相減，可得

-Sn=1+2·2+ 22·2+23·2+…+2n-2·2+

2n-1·2-2n·(2n-1),

整理得

-Sn= 1+22+23+24+…+2n-2n·(2n-1)=

2n(3-2n)-3,

因此

Sn=3+(2n-3)2n.

只有把新課改理念真正融入到實際教學過程中，以學生為主體，教師為主導，從課堂內、外2個方面重視每一個環(huán)節(jié)以及上下環(huán)節(jié)的聯(lián)系，通過全程化的數(shù)學教學活動，才能切實提高數(shù)學課堂的教學效率.

參 考 文 獻

[1] 王光明，胡慶玲.提高數(shù)學教學效率的教學措施[J].中學教研(數(shù)學),2005(10):1-5.

[2] 蔣國平.數(shù)學課堂教學中多媒體設計存在的偏差及分析[J].中學教研(數(shù)學)，2004(5):6-8.

[3] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇,譯.北京：科學出版社，1982.