李錦昱

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分試題既有客觀題，也有解答題，每套標(biāo)準(zhǔn)試卷里少則４、５道，多則可達(dá)１０道，考查點(diǎn)側(cè)重于利用導(dǎo)數(shù)等工具寫出切線方程、判斷單調(diào)性和極值、求參數(shù)值或取值范圍等，解題過程中大多需要采用數(shù)形結(jié)合、分類討論等數(shù)學(xué)思想和基本數(shù)學(xué)方法．一個值得注意的傾向是，不少高考模擬試卷已經(jīng)將函數(shù)部分的試題作為創(chuàng)新的實(shí)驗(yàn)田．本文擬對此加以分類解析，或能對讀者備考起到拋磚引玉之功效．

類型一、以新定義函數(shù)考查閱讀理解和遷移能力

分析各地模擬試題不難發(fā)現(xiàn)，有很多定義了新形式（或運(yùn)算或性質(zhì)），只有讀懂“新定義”準(zhǔn)確理解迅速求解．

例１． 在實(shí)數(shù)集Ｒ中定義一種運(yùn)算“ ?茌 ”，具有性質(zhì)：①對?坌ａ，ｂ∈Ｒ，ａ?茌ｂ＝ｂ?茌ａ；②對?坌ａ∈Ｒ，ａ?茌０＝ａ；③對?坌ａ，ｂ，ｃ∈Ｒ，（ａ?茌ｂ）?茌ｃ＝ｃ?茌（ａｂ）＋（ａ?茌ｃ）＋（ｂ?茌ｃ）－２ｃ．函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ?茌■（ｘ≥１）的最小值為（）

Ａ． ５ Ｂ． ４ Ｃ． ２＋２■ Ｄ． ２■

分析與解：本題中函數(shù)涉及新定義“?茌”，仔細(xì)觀察分析ｆ（ｘ）＝ｘ?茌■（ｘ≥１），只涉及兩個正實(shí)數(shù)ｘ，■的運(yùn)算“?茌”，所以令ｃ＝０，ａ＝ｘ，ｂ＝■，由②③可知當(dāng)ｘ≥１時，ｆ（ｘ）＝ｘ?茌■＝（ｘ?茌■）?茌０，而（ｘ?茌■）?茌０＝０?茌（ｘ×■）＋ｘ?茌０＋■?茌０－２×０，進(jìn)一步化簡可得ｆ（ｘ）＝ｘ?茌■＝ｘ×■＋ｘ+■＝ｘ＋■＋２≥２＋２■（當(dāng)且僅當(dāng)ｘ＝■＝■時取得最小值），故選Ｃ．（若將題設(shè)中ｘ≥１改為０＜ｘ≤１，則需要利用ｇ（ｘ）＝ｘ＋■的單調(diào)性求出最小值為５，此時答案為Ａ．）

注：對于ｇ（ｘ）＝ｘ＋■，也可以利用導(dǎo)數(shù)解答．本題根據(jù)２０１４年廣東省東莞市高三模擬（二）理科第８題改編，原題中ｆ（ｘ）＝ｘ?茌■（ｘ＞０）．

類比訓(xùn)練：已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝２ｘ＋１，ｘ∈Ｎ?鄢．若?堝ｘ０，ｎ∈Ｎ?鄢，使ｆ（ｘ０）＋ｆ（ｘ０＋１）＋…＋ｆ（ｘ０＋ｎ）＝６３成立，則稱（ｘ０，ｎ）為函數(shù)ｆ（ｘ）的一個“生成點(diǎn)”．函數(shù)ｆ（ｘ）的“生成點(diǎn)”共有（）

Ａ． １個 Ｂ ． ２個 Ｃ ． ３個 Ｄ ． ４個

【答案與提示】由（２ｘ０＋１）＋［２（ｘ０＋１）＋１］＋…＋［２（ｘ０＋ｎ）＋１］＝６３，即（ｎ＋１）（２ｘ０＋ｎ＋１）＝６３，因?yàn)椋?，ｎ∈?鄢，所以ｎ＋１≥２，２ｘ０＋ｎ＋１＞ｎ＋１．因?yàn)椋贰粒梗剑场粒玻保剑叮常援?dāng)ｎ＋１＝３時，２ｘ０＋ｎ＋１＝２ｘ０＋３＝２１，此時ｎ＝２，ｘ０＝９，生成點(diǎn)為（９，２）．當(dāng)ｎ＋１＝７時，２ｘ０＋ｎ＋１＝２ｘ０＋７＝９，此時ｎ＝６，ｘ０＝１，生成點(diǎn)為（１，６）．所以函數(shù)ｆ（ｘ）的“生成點(diǎn)”共有２個，選Ｂ．

類型二、以函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根考查分類討論思想的運(yùn)用

求解函數(shù)零點(diǎn)問題或者方程的根是常見題型，不少試題都需要根據(jù)具體情況“分而治之”進(jìn)行不重不漏的分類討論．

例２． 已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝ａ·ｅｘ，ｘ≤０－ｌｎｘ，ｘ＞０其中ｅ為自然對數(shù)的底數(shù)，若關(guān)于ｘ的方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０有且只有一個實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)ａ的取值范圍是（）

Ａ．（－∞，０） Ｂ．（－∞，０）∪（０，１）

Ｃ．（０，１） Ｄ．（０，１）∪（１，＋∞）

分析與解：注意到ｘ＞０時，只需令－ｌｎｘ＝１，則ｆ（ｆ（ｘ））＝－ｌｎ（－ｌｎｘ）＝０，方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０有唯一解ｘ＝■；因此以下只需要對實(shí)數(shù)ａ分ａ＜０、ａ＝０、ａ＞０進(jìn)行討論．

若ａ＜０，則ｘ≤０時，ａ·ｅｘ＜０，ｆ（ｆ（ｘ））＝■＜０，方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０無解；但ｘ＞０時，方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０有唯一解ｘ＝■，符合題意；

若ａ＝０，則ｘ≤０時，ａ·ｅｘ＝０，方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０有無數(shù)個解，不符合題意；

若ａ＞０，則ｘ≤０時，ｅｘ∈（０，１］，ａ·ｅｘ＞０，且ｆ（ｆ（ｘ））＝－ｌｎ（ａ·ｅｘ），假如方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０有唯一解，則對?坌ｘ≤０，恒有ａ·ｅｘ＝１，ａ＝■，所以ａ≥１，此時方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０的解不唯一（至少ｘ＝－ｌｎａ和ｘ＝■都是方程的根），不符合題意；而ｘ＞０時，方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０有唯一解ｘ＝■，這意味著只有０＜ａ＜１符合題意．

綜上可知，實(shí)數(shù)ａ的取值范圍是（－∞，０）∪（０，１），選Ｂ．

注：本題若畫出函數(shù)ｆ（ｘ）的圖像，考慮方程ｆ（ｆ（ｘ））＝０解的情況需要兩次聯(lián)系圖像，特別對于ａ＞０的討論容易出錯．

類比訓(xùn)練： ｆ（ｘ）＝│２ｘ－１│， ｆ１（ｘ）＝ ｆ（ｘ）， ｆ２（ｘ）＝ ｆ（ｆ１（ｘ）），…，ｆｎ（ｘ）＝ ｆ（ｆｎ－１（ｘ）），則函數(shù)ｙ＝ｆ４（ｘ）的零點(diǎn)個數(shù)為．

【答案與提示】由ｆ４（ｘ）＝ｆ（ｆ３（ｘ））＝０，即| ２ｆ３（ｘ）－１ |＝０，解得ｆ３（ｘ）＝■，也就是ｆ３（ｘ）＝ｆ（ｆ２（ｘ））＝| ２ｆ２（ｘ）－１ |＝■，解得ｆ２（ｘ）＝■或ｆ２（ｘ）＝■．當(dāng)ｆ２（ｘ）＝■時，ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｆ１（ｘ））＝| ２ｆ１（ｘ）－１ |＝■，解得ｆ１（ｘ）＝■或ｆ１（ｘ）＝■，當(dāng)ｆ２（ｘ）＝■時，ｆ２（ｘ）＝ｆ（ｆ１（ｘ））＝| ２ｆ１（ｘ）－１ |＝■，解得ｆ１（ｘ）＝■或ｆ１（ｘ）＝■．

由ｆ１（ｘ）＝| ２ｘ－１|＝■，解得ｘ＝■或ｘ＝■．由ｆ１（ｘ）＝| ２ｘ－１|＝■，解得ｘ＝■或ｘ＝■．由ｆ１（ｘ）＝| ２ｘ－１|＝■，解得ｘ＝■或ｘ＝■．由ｆ１（ｘ）＝|２ｘ－１|＝■，解得ｘ＝■或ｘ＝■．所以共有８個零點(diǎn)．

類型三、以函數(shù)圖像等形式考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與估值

求解函數(shù)單調(diào)性問題大多需要用到導(dǎo)數(shù)這一重要工具，但不少試題還需要根據(jù)具體“題目情景”進(jìn)行合理估值，更深入的用好導(dǎo)數(shù)（甚至是二階導(dǎo)數(shù)）的性質(zhì)．

例３． 定義在區(qū)間［０，１］上的函數(shù)ｆ（ｘ）的圖像如右圖所示， 以點(diǎn)Ａ（０，ｆ（０）），Ｂ（１，ｆ（１），Ｃ（ｘ，ｆ（ｘ））為頂點(diǎn)的△ＡＢＣ的面積記為Ｓ（ｘ），則函數(shù)Ｓ（ｘ）的導(dǎo)函數(shù)Ｓ′（ｘ）的大致圖像為（）

分析與解：在題干圖中聯(lián)結(jié)兩點(diǎn)Ａ，Ｂ，其與函數(shù)圖像有另一個交點(diǎn)（設(shè)為Ｄ），注意到點(diǎn)Ｃ從Ａ向Ｄ運(yùn)動過程中，Ｓ（ｘ）先增后減，且增速先大后?。p速較平緩）；而點(diǎn)Ｃ從Ｄ向Ｂ運(yùn)動過程中，Ｓ（ｘ）仍然先增后減，且增速遞減（減速較快）；選項(xiàng)Ｄ比較符合上述特征．對于選項(xiàng)Ｃ，點(diǎn)Ｃ從Ａ向Ｄ運(yùn)動過程中，雖然也滿足先增后減，但減速先后變化較大，與題意不符；同樣的，點(diǎn)Ｃ從Ｄ向Ｂ運(yùn)動過程中，Ｓ（ｘ）先增后減中呈現(xiàn)增速先后變化較大，也與題意不符．

綜上分析，只能選Ｄ．

注：本題給出的選項(xiàng)Ｃ、Ｄ中Ｓ′（ｘ）的圖像雖然都說明了Ｓ（ｘ）先增后減，但不注意分析其細(xì)微差別，特別是導(dǎo)函數(shù)圖像中正負(fù)增減與原函數(shù)圖像的單調(diào)性變化的對應(yīng)關(guān)系就很容易錯選Ｃ．

類比訓(xùn)練：已知函數(shù)ｆ（ｘ）是定義在實(shí)數(shù)集Ｒ上的奇函數(shù)，若函數(shù)ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋１）＋５，對?坌ｘ∈Ｒ，總有ｇ′（ｘ）＞２ｘ，則ｇ（ｘ）＜ｘ２＋４的解集為（）

Ａ．（－∞，－１） Ｂ．（－∞，１） Ｃ． ＲＤ．（－１，＋∞）

【答案與提示】ｇ′（ｘ）＞２ｘ即ｆ′（ｘ＋１）－２ｘ＞０恒成立（易聯(lián)想到開口向上的二次曲線與ｘ軸沒有公共點(diǎn)，或判別式△＜０），函數(shù)ｆ（ｘ）是定義在實(shí)數(shù)集Ｒ上的奇函數(shù)，因此不妨設(shè)ｆ（ｘ）＝■，則ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋１）＋５＝■＋５，ｇ′（ｘ）＝（ｘ＋１）２＝ｘ２＋２ｘ＋１＞２ｘ， ｇ（ｘ）＜ｘ２＋４即■＋５＜ｘ２＋４，也就是ｘ３＋３ｘ＋４＜０，觀察系數(shù)易知ｘ＝－１是三次方程ｘ３＋３ｘ＋４＝０的一個實(shí)數(shù)根，據(jù)此可分解因式ｘ３＋３ｘ＋４＝（ｘ＋１）（ｘ２－ｘ＋４），顯然ｘ２－ｘ＋４＝０沒有實(shí)數(shù)解（ｘ２－ｘ＋４＞０恒成立），所以ｘ３＋３ｘ＋４＝（ｘ＋１）（ｘ２－ｘ＋４）＜０的解集為（－∞，－１）．故選Ａ．

endprint

類型四、以函數(shù)為載體考查導(dǎo)數(shù)及線性規(guī)劃等應(yīng)用

多項(xiàng)式函數(shù)問題的解決必須以導(dǎo)數(shù)為基本套路，目前有相當(dāng)數(shù)量的試題還將考查點(diǎn)延伸到更多的知識塊（如線性規(guī)劃等領(lǐng)域）．

例４． 已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝■＋■＋■ｘ＋■的兩個極值點(diǎn)分別是ｘ１ｘ２，且ｘ１∈（０，１），ｘ２∈（１，＋∞），點(diǎn)Ｐ（ｍ，ｎ）表示的平面區(qū)域?yàn)椋模艉瘮?shù)ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞１）的圖像上存在平面區(qū)域Ｄ內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ａ的取值范圍是()

Ａ．（１，３］ Ｂ．（１，３）Ｃ．［３，＋∞） Ｄ．（３，＋∞）

分析與解：ｆ ′（ｘ）＝ｘ２＋ｍｘ＋■，其兩個極值點(diǎn)ｘ１，ｘ２滿足ｘ１∈（０，１），ｘ２∈（１，＋∞），顯然ｘ→＋∞時ｆ ′（ｘ）＞０，則ｆ ′（０）＝■，ｆ ′（１）＝１＋■必定滿足ｆ ′（０））＞０，ｆ ′（１）＜０，畫出約束條件ｍ＋ｎ＞０，３ｍ＋ｎ＋２＜０，對應(yīng)的可行域（如圖所示），函數(shù)ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞１）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)（－３，０），且經(jīng)過點(diǎn)（－１，１）左上方區(qū)域內(nèi)，因此ｇ（－１）＝ｌｏｇａ（－１＋４）＞１，解得１＜ａ＜３． 故選Ｂ．

類型五、借助常規(guī)函數(shù)考查概率知識

以基本初等函數(shù)問題為基本背景，考查點(diǎn)延伸到概率等領(lǐng)域，已在多地試卷中呈現(xiàn)．

例５． 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生０～１之間的均勻隨機(jī)數(shù)ａ，則關(guān)于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０無實(shí)根的概率為（）

Ａ． ■ Ｂ． ■ Ｃ． ■ Ｄ．■

分析與解：一元二次方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０無實(shí)根，則△＝１－４ａ＜０，解得■＜ａ≤１，因?yàn)椋啊埽帷埽保视蓭缀胃判涂芍?，所求概率為１－■＝■，選Ｃ．

注：本題對高中的重點(diǎn)三個“二次”進(jìn)行考查，已不僅僅是模仿２０１２年高考命題中的隨機(jī)模擬這么簡單．

例６． 從集合Ａ＝｛－１，１，２｝中隨機(jī)選取一個數(shù)記為ｋ，從集合Ｂ｛－２，１，２｝中隨機(jī)選取一個數(shù)記為ｂ，則直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ不經(jīng)過第三象限的概率為（）

Ａ．■Ｂ．■Ｃ． ■Ｄ．■

分析與解：斜率ｋ和縱截距ｂ都有三種取法，基本事件空間?萃＝｛（－１，－２），（－１，１），（－１，２），（１，－２），（１，１）（１，２），（２，－２），（２，１），（２，２）｝，其中（－１，１），（－１，２）對應(yīng)的事件滿足“直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ不經(jīng)過第三象限”，所求概率為ｐ＝■， 選Ａ．

注：本題把重要的基礎(chǔ)知識直線的斜率和截距和古典概型相結(jié)合進(jìn)行考查，既擴(kuò)大了試題的覆蓋面，又使試卷不落俗套，值得細(xì)細(xì)思量，多加關(guān)注．

類型六、以函數(shù)性質(zhì)為基本點(diǎn)，考查充要條件

對函數(shù)問題的考查，最重要的還是基本性質(zhì)，從下面的試題里可見一斑．

例７． 函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ|ｘ＋ａ |＋ｂ是奇函數(shù)的充要條件是（）

Ａ． ａｂ＝０ Ｂ． ａ＋ｂ＝０ Ｃ． ａ２＋ｂ２＝０ Ｄ． ａ＝ｂ

分析與解：因?yàn)椋妫ǎ┦瞧婧瘮?shù)，所以ｆ（０）＝ｂ＝０，即ｆ（ｘ）＝ｘ|ｘ＋ａ|；又因?yàn)閷?坌ｘ∈Ｒ， ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝ｘ（|ｘ＋ａ|－|－ｘ＋ａ|）＝０只有在|ｘ＋ａ|＝|－ｘ＋ａ|情況下，這意味著ｘ２＋ａ２＋２ａｘ＝ｘ２＋ａ２－２ａｘ，只有ａ＝０，故ａ２＋ｂ２＝０，選Ｃ．

例８．函數(shù)ｆ（ｘ）＝２ｘ，ｘ≥０■，ｘ＜０則ａ＝２是ｆ（ａ）＝４成立的（ ）

Ａ． 充分不必要條件 Ｂ． 必要不充分條件

Ｃ． 充要條件Ｄ． 既不充分也不必要條件

分析與解：因?yàn)椋幔剑玻裕妫ǎ幔剑玻玻剑?，即ａ＝?圯ｆ（ａ）＝４；反之，若ｆ（ａ）＝４，則２ａ＝４，ａ＝２或■＝４，ａ＝－１６，因此ｆ（ａ）＝４?圯ａ＝２或者ａ＝－１６，故ａ＝２只是ｆ（ａ）＝４的充分不必要條件，選Ａ．

例９． 函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ的圖像為C１，函數(shù)ｇ（ｘ）＝４－ｘ２的圖像為C２，過ｘ軸上的動點(diǎn)Ｍ（ａ，０）（０≤ａ≤３）作垂直于ｘ軸的直線分別交曲線C１，C２于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，則線段ＡＢ長度的最大值為（ ）

Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ．■

分析與解：畫出０≤ｘ≤３時C１與C２的簡圖，初步找到ＡＢ長度的最大值為函數(shù)ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝４－２ｘ２＋３ｘ在閉區(qū)間［０，３］上的最大值，因?yàn)槎吻€ｈ（ｘ）的對稱軸為直線ｘ＝■，則ｈ（■）＝■為最大值，選Ｄ．

注：本題利用導(dǎo)數(shù)求解也相當(dāng)便捷．

例１０． 設(shè)Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）│ｆ（ｘ，ｙ）＝０｝為平面直角坐標(biāo)系ｘＯｙ內(nèi)的點(diǎn)集，若?坌（ｘ１，ｙ１）∈Ｍ，?堝（ｘ２，ｙ２）∈Ｍ，使得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，則稱點(diǎn)集Ｍ滿足性質(zhì)Ｐ．給出下列三個點(diǎn)集：

①Ｒ＝｛（ｘ，ｙ）│ｃｏｓｘ－ｙ＝０｝j②Ｓ＝｛（ｘ，ｙ）│ｌｎｘ－ｙ＝０｝j③Ｔ＝｛（ｘ，ｙ）│ｘ２－ｙ２＝１｝.

其中滿足性質(zhì)Ｐ的點(diǎn)集的序號是 ．

分析與解：對于點(diǎn)Ｍ１（ｘ１，ｙ１），Ｍ２（ｘ２，ｙ２），若ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，意味著向量■·■＜０，也就是驗(yàn)證ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｌｎｘ的圖像及雙曲線ｘ２－ｙ２＝１上是否對于任意一點(diǎn)Ｍ１（ｘ１， ｙ１），都存在另一點(diǎn)Ｍ２（ｘ２， ｙ２）使得■·■夾角為鈍角或平角： 對于ｙ＝ｃｏｓｘ，注意到|ｃｏｓｘ|≤１，易知ｘ１ｘ２＋ｃｏｓｘ１ｃｏｓｘ２＜０存在性沒有問題，即①適合；對于ｘ２－ｙ２＝１，只要令Ｍ１，Ｍ２在對頂?shù)南笙迌?nèi)，也總有ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，即③適合；對于ｙ＝ｌｎｘ，?。停保ǎ?，０），則不論怎么?。停?，ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｘ２＞０，因此②不滿足性質(zhì)Ｐ，故填①③．

注：對于全稱命題，要判斷其不真，只需列舉合適的反例就能一蹴而就．

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

endprint

類型四、以函數(shù)為載體考查導(dǎo)數(shù)及線性規(guī)劃等應(yīng)用

多項(xiàng)式函數(shù)問題的解決必須以導(dǎo)數(shù)為基本套路，目前有相當(dāng)數(shù)量的試題還將考查點(diǎn)延伸到更多的知識塊（如線性規(guī)劃等領(lǐng)域）．

例４． 已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝■＋■＋■ｘ＋■的兩個極值點(diǎn)分別是ｘ１ｘ２，且ｘ１∈（０，１），ｘ２∈（１，＋∞），點(diǎn)Ｐ（ｍ，ｎ）表示的平面區(qū)域?yàn)椋模艉瘮?shù)ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞１）的圖像上存在平面區(qū)域Ｄ內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ａ的取值范圍是()

Ａ．（１，３］ Ｂ．（１，３）Ｃ．［３，＋∞） Ｄ．（３，＋∞）

分析與解：ｆ ′（ｘ）＝ｘ２＋ｍｘ＋■，其兩個極值點(diǎn)ｘ１，ｘ２滿足ｘ１∈（０，１），ｘ２∈（１，＋∞），顯然ｘ→＋∞時ｆ ′（ｘ）＞０，則ｆ ′（０）＝■，ｆ ′（１）＝１＋■必定滿足ｆ ′（０））＞０，ｆ ′（１）＜０，畫出約束條件ｍ＋ｎ＞０，３ｍ＋ｎ＋２＜０，對應(yīng)的可行域（如圖所示），函數(shù)ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞１）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)（－３，０），且經(jīng)過點(diǎn)（－１，１）左上方區(qū)域內(nèi)，因此ｇ（－１）＝ｌｏｇａ（－１＋４）＞１，解得１＜ａ＜３． 故選Ｂ．

類型五、借助常規(guī)函數(shù)考查概率知識

以基本初等函數(shù)問題為基本背景，考查點(diǎn)延伸到概率等領(lǐng)域，已在多地試卷中呈現(xiàn)．

例５． 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生０～１之間的均勻隨機(jī)數(shù)ａ，則關(guān)于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０無實(shí)根的概率為（）

Ａ． ■ Ｂ． ■ Ｃ． ■ Ｄ．■

分析與解：一元二次方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０無實(shí)根，則△＝１－４ａ＜０，解得■＜ａ≤１，因?yàn)椋啊埽帷埽保视蓭缀胃判涂芍?，所求概率為１－■＝■，選Ｃ．

注：本題對高中的重點(diǎn)三個“二次”進(jìn)行考查，已不僅僅是模仿２０１２年高考命題中的隨機(jī)模擬這么簡單．

例６． 從集合Ａ＝｛－１，１，２｝中隨機(jī)選取一個數(shù)記為ｋ，從集合Ｂ｛－２，１，２｝中隨機(jī)選取一個數(shù)記為ｂ，則直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ不經(jīng)過第三象限的概率為（）

Ａ．■Ｂ．■Ｃ． ■Ｄ．■

分析與解：斜率ｋ和縱截距ｂ都有三種取法，基本事件空間?萃＝｛（－１，－２），（－１，１），（－１，２），（１，－２），（１，１）（１，２），（２，－２），（２，１），（２，２）｝，其中（－１，１），（－１，２）對應(yīng)的事件滿足“直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ不經(jīng)過第三象限”，所求概率為ｐ＝■， 選Ａ．

注：本題把重要的基礎(chǔ)知識直線的斜率和截距和古典概型相結(jié)合進(jìn)行考查，既擴(kuò)大了試題的覆蓋面，又使試卷不落俗套，值得細(xì)細(xì)思量，多加關(guān)注．

類型六、以函數(shù)性質(zhì)為基本點(diǎn)，考查充要條件

對函數(shù)問題的考查，最重要的還是基本性質(zhì)，從下面的試題里可見一斑．

例７． 函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ|ｘ＋ａ |＋ｂ是奇函數(shù)的充要條件是（）

Ａ． ａｂ＝０ Ｂ． ａ＋ｂ＝０ Ｃ． ａ２＋ｂ２＝０ Ｄ． ａ＝ｂ

分析與解：因?yàn)椋妫ǎ┦瞧婧瘮?shù)，所以ｆ（０）＝ｂ＝０，即ｆ（ｘ）＝ｘ|ｘ＋ａ|；又因?yàn)閷?坌ｘ∈Ｒ， ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝ｘ（|ｘ＋ａ|－|－ｘ＋ａ|）＝０只有在|ｘ＋ａ|＝|－ｘ＋ａ|情況下，這意味著ｘ２＋ａ２＋２ａｘ＝ｘ２＋ａ２－２ａｘ，只有ａ＝０，故ａ２＋ｂ２＝０，選Ｃ．

例８．函數(shù)ｆ（ｘ）＝２ｘ，ｘ≥０■，ｘ＜０則ａ＝２是ｆ（ａ）＝４成立的（ ）

Ａ． 充分不必要條件 Ｂ． 必要不充分條件

Ｃ． 充要條件Ｄ． 既不充分也不必要條件

分析與解：因?yàn)椋幔剑?，所以ｆ（ａ）＝２２＝４，即ａ＝?圯ｆ（ａ）＝４；反之，若ｆ（ａ）＝４，則２ａ＝４，ａ＝２或■＝４，ａ＝－１６，因此ｆ（ａ）＝４?圯ａ＝２或者ａ＝－１６，故ａ＝２只是ｆ（ａ）＝４的充分不必要條件，選Ａ．

例９． 函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ的圖像為C１，函數(shù)ｇ（ｘ）＝４－ｘ２的圖像為C２，過ｘ軸上的動點(diǎn)Ｍ（ａ，０）（０≤ａ≤３）作垂直于ｘ軸的直線分別交曲線C１，C２于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，則線段ＡＢ長度的最大值為（ ）

Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ．■

分析與解：畫出０≤ｘ≤３時C１與C２的簡圖，初步找到ＡＢ長度的最大值為函數(shù)ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝４－２ｘ２＋３ｘ在閉區(qū)間［０，３］上的最大值，因?yàn)槎吻€ｈ（ｘ）的對稱軸為直線ｘ＝■，則ｈ（■）＝■為最大值，選Ｄ．

注：本題利用導(dǎo)數(shù)求解也相當(dāng)便捷．

例１０． 設(shè)Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）│ｆ（ｘ，ｙ）＝０｝為平面直角坐標(biāo)系ｘＯｙ內(nèi)的點(diǎn)集，若?坌（ｘ１，ｙ１）∈Ｍ，?堝（ｘ２，ｙ２）∈Ｍ，使得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，則稱點(diǎn)集Ｍ滿足性質(zhì)Ｐ．給出下列三個點(diǎn)集：

①Ｒ＝｛（ｘ，ｙ）│ｃｏｓｘ－ｙ＝０｝j②Ｓ＝｛（ｘ，ｙ）│ｌｎｘ－ｙ＝０｝j③Ｔ＝｛（ｘ，ｙ）│ｘ２－ｙ２＝１｝.

其中滿足性質(zhì)Ｐ的點(diǎn)集的序號是 ．

分析與解：對于點(diǎn)Ｍ１（ｘ１，ｙ１），Ｍ２（ｘ２，ｙ２），若ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，意味著向量■·■＜０，也就是驗(yàn)證ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｌｎｘ的圖像及雙曲線ｘ２－ｙ２＝１上是否對于任意一點(diǎn)Ｍ１（ｘ１， ｙ１），都存在另一點(diǎn)Ｍ２（ｘ２， ｙ２）使得■·■夾角為鈍角或平角： 對于ｙ＝ｃｏｓｘ，注意到|ｃｏｓｘ|≤１，易知ｘ１ｘ２＋ｃｏｓｘ１ｃｏｓｘ２＜０存在性沒有問題，即①適合；對于ｘ２－ｙ２＝１，只要令Ｍ１，Ｍ２在對頂?shù)南笙迌?nèi)，也總有ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，即③適合；對于ｙ＝ｌｎｘ，?。停保ǎ保埃?，則不論怎么?。停?，ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｘ２＞０，因此②不滿足性質(zhì)Ｐ，故填①③．

注：對于全稱命題，要判斷其不真，只需列舉合適的反例就能一蹴而就．

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

endprint

類型四、以函數(shù)為載體考查導(dǎo)數(shù)及線性規(guī)劃等應(yīng)用

多項(xiàng)式函數(shù)問題的解決必須以導(dǎo)數(shù)為基本套路，目前有相當(dāng)數(shù)量的試題還將考查點(diǎn)延伸到更多的知識塊（如線性規(guī)劃等領(lǐng)域）．

例４． 已知函數(shù)ｆ（ｘ）＝■＋■＋■ｘ＋■的兩個極值點(diǎn)分別是ｘ１ｘ２，且ｘ１∈（０，１），ｘ２∈（１，＋∞），點(diǎn)Ｐ（ｍ，ｎ）表示的平面區(qū)域?yàn)椋模艉瘮?shù)ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞１）的圖像上存在平面區(qū)域Ｄ內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)ａ的取值范圍是()

Ａ．（１，３］ Ｂ．（１，３）Ｃ．［３，＋∞） Ｄ．（３，＋∞）

分析與解：ｆ ′（ｘ）＝ｘ２＋ｍｘ＋■，其兩個極值點(diǎn)ｘ１，ｘ２滿足ｘ１∈（０，１），ｘ２∈（１，＋∞），顯然ｘ→＋∞時ｆ ′（ｘ）＞０，則ｆ ′（０）＝■，ｆ ′（１）＝１＋■必定滿足ｆ ′（０））＞０，ｆ ′（１）＜０，畫出約束條件ｍ＋ｎ＞０，３ｍ＋ｎ＋２＜０，對應(yīng)的可行域（如圖所示），函數(shù)ｙ＝ｌｏｇａ（ｘ＋４）（ａ＞１）的圖像經(jīng)過定點(diǎn)（－３，０），且經(jīng)過點(diǎn)（－１，１）左上方區(qū)域內(nèi)，因此ｇ（－１）＝ｌｏｇａ（－１＋４）＞１，解得１＜ａ＜３． 故選Ｂ．

類型五、借助常規(guī)函數(shù)考查概率知識

以基本初等函數(shù)問題為基本背景，考查點(diǎn)延伸到概率等領(lǐng)域，已在多地試卷中呈現(xiàn)．

例５． 利用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生０～１之間的均勻隨機(jī)數(shù)ａ，則關(guān)于ｘ的一元二次方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０無實(shí)根的概率為（）

Ａ． ■ Ｂ． ■ Ｃ． ■ Ｄ．■

分析與解：一元二次方程ｘ２－ｘ＋ａ＝０無實(shí)根，則△＝１－４ａ＜０，解得■＜ａ≤１，因?yàn)椋啊埽帷埽?，故由幾何概型可知，所求概率為１－■＝■，選Ｃ．

注：本題對高中的重點(diǎn)三個“二次”進(jìn)行考查，已不僅僅是模仿２０１２年高考命題中的隨機(jī)模擬這么簡單．

例６． 從集合Ａ＝｛－１，１，２｝中隨機(jī)選取一個數(shù)記為ｋ，從集合Ｂ｛－２，１，２｝中隨機(jī)選取一個數(shù)記為ｂ，則直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ不經(jīng)過第三象限的概率為（）

Ａ．■Ｂ．■Ｃ． ■Ｄ．■

分析與解：斜率ｋ和縱截距ｂ都有三種取法，基本事件空間?萃＝｛（－１，－２），（－１，１），（－１，２），（１，－２），（１，１）（１，２），（２，－２），（２，１），（２，２）｝，其中（－１，１），（－１，２）對應(yīng)的事件滿足“直線ｙ＝ｋｘ＋ｂ不經(jīng)過第三象限”，所求概率為ｐ＝■， 選Ａ．

注：本題把重要的基礎(chǔ)知識直線的斜率和截距和古典概型相結(jié)合進(jìn)行考查，既擴(kuò)大了試題的覆蓋面，又使試卷不落俗套，值得細(xì)細(xì)思量，多加關(guān)注．

類型六、以函數(shù)性質(zhì)為基本點(diǎn)，考查充要條件

對函數(shù)問題的考查，最重要的還是基本性質(zhì)，從下面的試題里可見一斑．

例７． 函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ|ｘ＋ａ |＋ｂ是奇函數(shù)的充要條件是（）

Ａ． ａｂ＝０ Ｂ． ａ＋ｂ＝０ Ｃ． ａ２＋ｂ２＝０ Ｄ． ａ＝ｂ

分析與解：因?yàn)椋妫ǎ┦瞧婧瘮?shù)，所以ｆ（０）＝ｂ＝０，即ｆ（ｘ）＝ｘ|ｘ＋ａ|；又因?yàn)閷?坌ｘ∈Ｒ， ｆ（ｘ）＋ｆ（－ｘ）＝ｘ（|ｘ＋ａ|－|－ｘ＋ａ|）＝０只有在|ｘ＋ａ|＝|－ｘ＋ａ|情況下，這意味著ｘ２＋ａ２＋２ａｘ＝ｘ２＋ａ２－２ａｘ，只有ａ＝０，故ａ２＋ｂ２＝０，選Ｃ．

例８．函數(shù)ｆ（ｘ）＝２ｘ，ｘ≥０■，ｘ＜０則ａ＝２是ｆ（ａ）＝４成立的（ ）

Ａ． 充分不必要條件 Ｂ． 必要不充分條件

Ｃ． 充要條件Ｄ． 既不充分也不必要條件

分析與解：因?yàn)椋幔剑玻裕妫ǎ幔剑玻玻剑矗矗幔剑?圯ｆ（ａ）＝４；反之，若ｆ（ａ）＝４，則２ａ＝４，ａ＝２或■＝４，ａ＝－１６，因此ｆ（ａ）＝４?圯ａ＝２或者ａ＝－１６，故ａ＝２只是ｆ（ａ）＝４的充分不必要條件，選Ａ．

例９． 函數(shù)ｆ（ｘ）＝ｘ２－３ｘ的圖像為C１，函數(shù)ｇ（ｘ）＝４－ｘ２的圖像為C２，過ｘ軸上的動點(diǎn)Ｍ（ａ，０）（０≤ａ≤３）作垂直于ｘ軸的直線分別交曲線C１，C２于Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，則線段ＡＢ長度的最大值為（ ）

Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ５ Ｄ．■

分析與解：畫出０≤ｘ≤３時C１與C２的簡圖，初步找到ＡＢ長度的最大值為函數(shù)ｈ（ｘ）＝ｇ（ｘ）－ｆ（ｘ）＝４－２ｘ２＋３ｘ在閉區(qū)間［０，３］上的最大值，因?yàn)槎吻€ｈ（ｘ）的對稱軸為直線ｘ＝■，則ｈ（■）＝■為最大值，選Ｄ．

注：本題利用導(dǎo)數(shù)求解也相當(dāng)便捷．

例１０． 設(shè)Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）│ｆ（ｘ，ｙ）＝０｝為平面直角坐標(biāo)系ｘＯｙ內(nèi)的點(diǎn)集，若?坌（ｘ１，ｙ１）∈Ｍ，?堝（ｘ２，ｙ２）∈Ｍ，使得ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，則稱點(diǎn)集Ｍ滿足性質(zhì)Ｐ．給出下列三個點(diǎn)集：

①Ｒ＝｛（ｘ，ｙ）│ｃｏｓｘ－ｙ＝０｝j②Ｓ＝｛（ｘ，ｙ）│ｌｎｘ－ｙ＝０｝j③Ｔ＝｛（ｘ，ｙ）│ｘ２－ｙ２＝１｝.

其中滿足性質(zhì)Ｐ的點(diǎn)集的序號是 ．

分析與解：對于點(diǎn)Ｍ１（ｘ１，ｙ１），Ｍ２（ｘ２，ｙ２），若ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，意味著向量■·■＜０，也就是驗(yàn)證ｙ＝ｃｏｓｘ，ｙ＝ｌｎｘ的圖像及雙曲線ｘ２－ｙ２＝１上是否對于任意一點(diǎn)Ｍ１（ｘ１， ｙ１），都存在另一點(diǎn)Ｍ２（ｘ２， ｙ２）使得■·■夾角為鈍角或平角： 對于ｙ＝ｃｏｓｘ，注意到|ｃｏｓｘ|≤１，易知ｘ１ｘ２＋ｃｏｓｘ１ｃｏｓｘ２＜０存在性沒有問題，即①適合；對于ｘ２－ｙ２＝１，只要令Ｍ１，Ｍ２在對頂?shù)南笙迌?nèi)，也總有ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＜０，即③適合；對于ｙ＝ｌｎｘ，?。停保ǎ保埃?，則不論怎么?。停?，ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｘ２＞０，因此②不滿足性質(zhì)Ｐ，故填①③．

注：對于全稱命題，要判斷其不真，只需列舉合適的反例就能一蹴而就．

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)

endprint