祝進(jìn)城, 帥 斌*, 孫朝苑

(1.西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院,成都 610031;2. 電子科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,成都 610054)

擁擠收費(fèi)條件下出租車公司收益優(yōu)化研究

祝進(jìn)城1, 帥 斌*1, 孫朝苑2

(1.西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院,成都 610031;2. 電子科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院,成都 610054)

研究了實(shí)施擁擠收費(fèi)過程中,收費(fèi)區(qū)域內(nèi)的出租車也需要繳納擁擠費(fèi)條件下的出租車公司收益優(yōu)化問題.考慮私家車、公交車和出租車之間的相互競爭,以及出租車搜尋顧客時(shí)間與顧客等待出租車時(shí)間對方式劃分的影響.采用雙層規(guī)劃模型對問題進(jìn)行了描述,其中,下層規(guī)劃為等價(jià)于變分不等式的組合網(wǎng)絡(luò)均衡模型;上層規(guī)劃為出租車公司的收益最大化.設(shè)計(jì)了求解模型的啟發(fā)式算法.算例結(jié)果表明,當(dāng)出租車公司合理分擔(dān)擁擠收費(fèi)費(fèi)用時(shí),其收益將顯著提高,并能達(dá)到實(shí)施擁擠收費(fèi)之前的水平;此外,隨著出租車數(shù)量的增加,出租車公司的收益將隨之先增加后減小,而出租車公司的最優(yōu)擁擠收費(fèi)分擔(dān)比例則先減小后增加.

城市交通;收益優(yōu)化;變分不等式;出租車公司;擁擠收費(fèi)

1 引 言

由于出租車在城市交通中的重要作用與高比例特性(如在香港,某些關(guān)鍵路段出租車占交通量的比例高達(dá) 50%-60%[1]),使得在實(shí)施擁擠收費(fèi)過程中,收費(fèi)區(qū)域內(nèi)的出租車是否也應(yīng)繳納擁擠費(fèi)成為一個(gè)非常重要的問題.文獻(xiàn)[2]研究了美國曼哈頓與拉瓜迪亞(LaGuardia) 機(jī)場之間,擁擠收費(fèi)對載客出租車(擁擠收費(fèi)由乘客承擔(dān))路徑選擇與旅行時(shí)間的影響.文獻(xiàn)[3]比較了出租車擁擠收費(fèi)前后的社會(huì)福利變化.結(jié)果表明,通常情況下,在實(shí)施擁擠收費(fèi)過程中,對收費(fèi)區(qū)域內(nèi)的出租車也征收擁擠費(fèi)將獲得更大的社會(huì)福利.

然而,與私家車不同,出租車的實(shí)際運(yùn)營者是出租車公司.當(dāng)對出租車征收擁擠費(fèi)時(shí),必須要考慮由于出租車需求量減少導(dǎo)致的出租車公司收益下降問題.直觀上,為了消除擁擠收費(fèi)帶來的負(fù)面影響,出租車公司可以通過分擔(dān)部分擁擠收費(fèi)來提高出租車需求.但是,如果出租車公司承擔(dān)的擁擠費(fèi)太高,則其收益可能會(huì)下降;反之,其承擔(dān)的費(fèi)用太低,則無法保證吸引足夠的乘客數(shù),最終導(dǎo)致其收益減少.因此,在對出租車進(jìn)行擁擠收費(fèi)時(shí),出租車公司的收益優(yōu)化是一個(gè)需要研究的問題.文獻(xiàn)[1,4,5]分析了出租車市場的均衡性質(zhì)及壟斷市場、競爭市場、社會(huì)最優(yōu)條件下的出租車公司收益優(yōu)化問題.但是,這些研究未考慮擁擠收費(fèi)對出租車市場帶來的影響.

本文通過構(gòu)建多方式分擔(dān)模型來刻畫對出租車進(jìn)行擁擠收費(fèi)條件下的出租車市場變化,進(jìn)而研究了出租車公司的收益優(yōu)化問題.采用雙層規(guī)劃模型對該問題進(jìn)行了描述,其中,下層規(guī)劃為組合網(wǎng)絡(luò)均衡模型,刻畫了出租車擁擠收費(fèi)對出行需求、交通方式劃分、路徑選擇以及空駛出租車交通分布帶來的影響,并構(gòu)建了與之等價(jià)的變分不等式,上層規(guī)劃為出租車公司的收益最大化.設(shè)計(jì)了求解模型的啟發(fā)式算法.該研究能夠?yàn)閾頂D收費(fèi)政策制定者與出租車公司提供科學(xué)的決策依據(jù).

2 模型相關(guān)說明

2.1 基本假設(shè)

考慮交通網(wǎng)絡(luò) G(V,A),V 為節(jié)點(diǎn)集合,A 為路段集合,A-為收費(fèi)路段集合,ˉA?A.R為起點(diǎn)集合,S為訖點(diǎn)集合.在任一研究時(shí)段,OD對r、s間存在以下需求約束條件:

式中qrs——OD 對 r、s 間的交通需求量;——分別為選擇私家車、公交車、出租車的需求量.

此外,采用 m ∈ M=(p,b,c) 表示各交通方式集合.

對于載客出租車而言,滿足以下需求守恒方程:

2.2 廣義出行費(fèi)用函數(shù)

2.2.1 出租車廣義出行費(fèi)用函數(shù)

假設(shè)當(dāng)出租車載客時(shí),擁擠收費(fèi)由出租車公司與乘客共同承擔(dān),其中,乘客承擔(dān)比例為 θ,出租車公司承擔(dān)比例為(1- θ).相類似,當(dāng)出租車空駛時(shí),擁擠收費(fèi)由出租車駕駛員與出租車公司共同承擔(dān),承擔(dān)比例分別也為 θ與(1- θ),從而可以得到以下路段廣義出行費(fèi)用函數(shù)為式 中——分別為私家車、出租車乘客(載客出租車)、空駛出租車的路段廣義出行費(fèi)用;

λp——私家車出行者的時(shí)間價(jià)值;

ta——路段 a ∈ A 上的旅行時(shí)間,它是路段流量 xa的增函數(shù);

λc——出租車乘客的時(shí)間價(jià)值;

λv——出租車駕駛員的時(shí)間價(jià)值;

bp與 bv——分別為私家車與出租車的單位距離運(yùn)營成本;

b1c——出租車按距離收取的費(fèi)用;

ya——路段 a ∈ A 上的擁擠收費(fèi)費(fèi)用.相應(yīng)地,各路徑廣義出行費(fèi)用為

Krs——各交通方式的路徑集合.

2.2.2 公交車廣義出行費(fèi)用函數(shù)

為鼓勵(lì)公交出行,對公交車實(shí)施免征擁擠費(fèi)政策.公交車乘客的廣義出行費(fèi)用包括,車內(nèi)旅行時(shí)間、車內(nèi)擁擠導(dǎo)致的不舒適成本、候車時(shí)間、公交票價(jià)[7].

λb——公交車乘客的時(shí)間價(jià)值;

Ga(v) ——車內(nèi)擁擠導(dǎo)致的不舒適函數(shù);

ζ為擁擠不舒適的單位成本.

類似于文獻(xiàn)[8-9],擁擠不舒適函數(shù)可表示為

α1與α2——正參數(shù);

Ba—— 路段a∈A上的公交車總?cè)萘?式中 U 為單 位公 交車 的平

均載客量;

Frs,l——OD 對 r、s 間線路 l 上的公交發(fā)車頻率;

Lrs——公交車線路集合.相應(yīng)地,公交車乘客的路徑廣義出行費(fèi)用 C

可表示為

τ——公交票價(jià).

此外,路段交通量 xa可表示為式中——OD 對 r、s 間選擇交通方式 m ∈ M在路徑k上的流量; fv

sr,k——OD對s、r 間空駛出租車在路徑k上的流量;

η ——轉(zhuǎn)化系數(shù),表示將單位公交車轉(zhuǎn)化為等量的私家車數(shù).

2.3 出租車服務(wù)時(shí)間約束

考慮單位小時(shí)內(nèi)的出租車運(yùn)營情況.出租車運(yùn)行時(shí)間包括載客時(shí)間與空駛時(shí)間兩部分,其中,出租車總載客時(shí)間 TO為完成所有乘客出行需求所需的時(shí)間為

式中 hrs——OD 對 r、s 間的平均旅行時(shí)間,式為

出租車總空駛時(shí)間 TV 為出租車從小區(qū) s∈ S到小區(qū) r∈ R 的行駛時(shí)間,以及在小區(qū) r∈ R 內(nèi)搜索等待顧客的時(shí)間為

hsr——小區(qū) s∈ S 與 r ∈ R 間的平均旅行時(shí)間為

在單位小時(shí)內(nèi),總的出租車載客時(shí)間與總的出租車空駛時(shí)間之和應(yīng)該等于總的出租車服務(wù)時(shí)間,即滿足以下約束[12]:

式中 N ——單位小時(shí)內(nèi)路網(wǎng)上的出租車數(shù)量.

3 下層組合網(wǎng)絡(luò)均衡模型

3.1 路徑選擇

采用 Wardrop 均衡原理描述各交通方式的路徑選擇行為.在均衡狀態(tài)下滿足以下數(shù)學(xué)式:

同理,對空駛出租車存在以下條件:

式中 uvsr——區(qū)域 s∈ S 與區(qū)域 r∈ R 間的空駛出租車最小廣義出行費(fèi)用.

3.2 空駛出租車交通分布

由于擁擠收費(fèi)區(qū)域內(nèi)的出租車也需要繳費(fèi),因此,空駛出租車的交通分布會(huì)受到擁擠收費(fèi)的顯著影響.假設(shè)出租車將乘客送至目的地之后,立刻開始搜尋下一乘客,且每一位出租車駕駛員都是理性的,目標(biāo)是以最小的期望搜尋費(fèi)用搜索到乘客.同時(shí),考慮到每位出租車駕駛員的個(gè)體特征(駕駛習(xí)慣、路網(wǎng)感知等)不同,而出租車乘客的到達(dá)是隨機(jī)的,因此,出租車的期望搜尋費(fèi)用是一隨機(jī)變量.我們假設(shè)這一隨機(jī)變量服從 Gumbel分布,因此可采用如下logit 模型來表述空駛出租車的交通分布[13]:

式中 Pr/s——空駛出租車從小區(qū) s ∈ S 出發(fā),在小區(qū)r∈R搜索到乘客的概率;

ρ ——一正參數(shù),表示出租車駕駛員對乘客需求及整個(gè)出租車市場供給水平的了解程度,ρ越大表示出租車駕駛員掌握的信息越多.

此外,在一個(gè)穩(wěn)定的均衡狀態(tài)下,路網(wǎng)上的空駛出租車將能滿足所有乘客的需求,且每一位乘客在經(jīng)歷等待與搜索之后最終能得到出租車服務(wù),因此,有以下守恒公式[6]:

3.3 交通方式選擇

出行者的交通方式選擇實(shí)際上是一個(gè)概率問題,我們采用 Logit分離模型進(jìn)行描述:

3.4 彈性需求

本文采用以下彈性需求函數(shù)來描述擁擠收費(fèi)對 OD 需求量的影響.該函數(shù)是 OD 對 r、s間最小廣義出行費(fèi)用的連續(xù)單調(diào)減函數(shù).

式中 urs——OD 對 r、s 間的最小廣義出行費(fèi)用.

式中 urs——對應(yīng)的需求函數(shù)反函數(shù),

4 等價(jià)的變分不等式

考慮到私家車、出租車及公交車的流量相互影響,且這種影響是非對稱的,因此,不能直接構(gòu)造等價(jià)的極小值規(guī)劃模型.本文采用變分不等式來描述上述組合網(wǎng)絡(luò)均衡模型,其可行域 Ω 如下所示,括號中為對應(yīng)的拉格朗日因子.

式中 式(26)-式(27)為空駛出租車起訖點(diǎn)流量守恒條件;式(28)表示各交通方式需求量與 OD 總需求的守恒關(guān)系;式(29)-式(30)為各交通方式路徑流量與需求量守恒關(guān)系;式(31)-式(33)為路徑流量與需求量的非負(fù)約束.

在說明可行域 Ω 之后,相應(yīng)的變分不等式模型(P1)可描述為

定理1變分不等式模型(P1)等價(jià)于上述組合網(wǎng)絡(luò)均衡模型.

類似文獻(xiàn)[3],通過庫恩-塔克條件可證明定理1.

由于變分不等式模型(P1)的可行域 Ω 是由一系列非負(fù)、線性約束條件組成的,因此,是緊的凸集;同時(shí)該變分不等式是帶有非負(fù)流量約束的連續(xù)函數(shù),從而至少存在一個(gè)解[13].

5 上層出租車公司收益最大化

在我國,出租車公司主要通過對出租車收取規(guī)費(fèi)來獲得利潤,因此其收益直接取決于出租車的運(yùn)營數(shù)量.然而事實(shí)上,如果乘客需求量減少,出租車駕駛員的效益太低,將導(dǎo)致市場上出租車數(shù)量下降,最終出租車公司的收益也將降低.基于此,為了有效反映出租車擁擠收費(fèi)后,乘客需求量減少對出租車公司收益的影響,本文采用出租車總收入與總成本的差值來描述出租車公司的收益.因此,上層目標(biāo)函數(shù)(P2)可表示為

式中 ξ——出租車的單位小時(shí)運(yùn)營成本.

6 求解算法

本文設(shè)計(jì)如下啟發(fā)式算法求解下層變分不等式模型(P1).

步驟0初始化.設(shè)迭代次數(shù) j=0,任選一初始解,r∈R,s∈S,k∈Krs,m ∈ M.

步驟1計(jì)算最小廣義出行費(fèi)用.根據(jù)路徑流量計(jì)算廣義出行費(fèi)用,以及對應(yīng)的最小廣義出行費(fèi)用,r∈ R,s∈ S,k ∈ Krs,m ∈ M;然后根據(jù)載客出租車路徑流量計(jì)算出租車乘客起訖點(diǎn)需求量,并通過求解等價(jià)于式(19)的雙約束重力模型得到空駛出租車的需求量,以及出租車與出租車乘客的等待搜索時(shí)間、,從而計(jì)算出載客出租車的廣義出行費(fèi)用和對應(yīng)的最小廣義出行費(fèi)用

步驟2計(jì)算需求矩陣.根據(jù)彈性需求式(24)、式 (25) 計(jì)算總需求 量 qrs, 然后采用基于logit模型的交通方式劃分函數(shù)式(23) 得到各交通方式需求量,r∈ R,s∈ S,m ∈ M.

步驟3交通量 分配.在得到需求量和之后,通過求解下列固定需求網(wǎng)絡(luò)平衡問題得到輔助路徑流量,r ∈ R,s ∈ S,k ∈ Krs,m ∈ M.

步驟4采用 MSA 技術(shù)更新流量.根據(jù)以下公式更新路徑流量,其中,r∈R,s∈S,k ∈ Krs,m ∈M.

步驟 5收斂性檢驗(yàn).若滿足下式,則輸出最終結(jié)果;否則令 j=j+1,返回步驟 1.

在獲得下層變分不等式模型(P1)的解之后,本文采用遺傳算法求解整個(gè)雙層規(guī)劃模型.

7 算例分析

采用以下交通網(wǎng)絡(luò)(見圖 1)來說明模型與算法的有效性.算例網(wǎng)絡(luò)包含 4 個(gè) OD 對(1,6)、(1, 4)、(5,6)、(5,4),6 個(gè)節(jié)點(diǎn),13 條路徑和 14 條路段.公交車線路為 1-3-4-6,1-2-4-3-5-6,1-3-5-6-4,5-3-4-6,5-3-1-2-4-6.

圖1 算例網(wǎng)絡(luò)Fig.1 The example network

旅行時(shí)間函數(shù)采用如下 BPR 公式:

sa——路段 a 的通行能力,具體值如表 1所示.

需求函數(shù)采用負(fù)指數(shù)函數(shù),其公式為

式中 qrs——OD 對 rs 間的潛在需求;

κrs——需求靈敏度參

表3說明,在擁擠收費(fèi)區(qū)域內(nèi)的出租車也需要繳納擁擠費(fèi)背景下,如果出租車公司合理承擔(dān)擁擠收費(fèi)費(fèi)用(最優(yōu)承擔(dān)比例 1- θ=0.17),其收益將得到顯著提高,達(dá)到了 5 863,遠(yuǎn)大于出租車公司不承擔(dān)擁擠費(fèi)的情況( 該條件下的收益為-13 607),并略高于未實(shí)施擁擠收費(fèi)條件下的收益(為 5 359).導(dǎo)致這一結(jié)果的原因?yàn)?在對出租車進(jìn)行擁擠收費(fèi)時(shí),出租車需求量明顯降低( 由 2 812 降到了 2 520),因此出租車公司收益會(huì)減小.然而,當(dāng)出租車公司合理分擔(dān)擁擠收費(fèi)費(fèi)用時(shí),盡管其支付的費(fèi)用增加了,但由于出租車使用成本降低帶來的出租車需求量增加( 由 2 520 提高到 3 378) 仍然會(huì)使其收益得到提高.

表1 自由流旅行時(shí)間、路段通行能力及路段長度______Table 1 Iink free flow,capacity and length

表2 公交車發(fā)車頻率Table2 Bus frequency

表3 系統(tǒng)結(jié)果比較Table3 Comparison of system performance

圖2描述了對出租車進(jìn)行擁擠收費(fèi)條件下,出租車公司收益與出租車數(shù)量之間的關(guān)系.圖2表明,隨著出租車數(shù)量的增加,出租車公司的收益呈先增加后減小的趨勢.這是因?yàn)?起初,出租車公司可以通過增加出租車數(shù)量來提高出租車服務(wù)水平、吸引乘客數(shù)量,從而提高出租車公司收益;然而,當(dāng)出租車數(shù)量增加到一定程度( 超過 2 800),此時(shí),出租車乘客的潛在需求已經(jīng)非常少,而由于出租車數(shù)量增加導(dǎo)致的成本卻不斷增大,因此,出租車公司的收益開始下降.

圖2 出租車公司收益與出租車數(shù)量之間的關(guān)系Fig.2 The profit of taxi firm against taxi fleet size

圖3表明,出租車公司承擔(dān)的最優(yōu)擁擠收費(fèi)比例(1-θ)隨著出租車數(shù)量的增加而先減小后增大.導(dǎo)致這一結(jié)果的原因?yàn)?最開始,由于增加出租車數(shù)量能夠有效吸引乘客數(shù),因此,出租車公司僅需承擔(dān)較小比例的擁擠費(fèi)就能提高出租車需求量.然而,隨著出租車數(shù)量的進(jìn)一步增加,出租車的潛在需求也隨之減少,此時(shí),出租車公司只能依靠擴(kuò)大承擔(dān)擁擠收費(fèi)的比例來減少出租車乘客的使用成本,增加乘客數(shù)量.

圖3 出租車公司承擔(dān)的最優(yōu)擁擠費(fèi)比例與出租車數(shù)量之間的關(guān)系Fig.3 The optimal proportion of taxi firm paying toll versus taxi fleet size

8 研究結(jié)論

本文研究了在實(shí)施擁擠收費(fèi)過程中,當(dāng)收費(fèi)區(qū)域內(nèi)的出租車也需要繳納擁擠費(fèi)背景下出租車公司收益優(yōu)化問題.采用多方式分擔(dān)的雙層規(guī)劃模型對問題進(jìn)行了描述.其中,下層規(guī)劃為組合網(wǎng)絡(luò)均衡模型,模型中考慮了多方式間的相互競爭及出租車搜尋顧客時(shí)間與顧客等待出租車時(shí)間對交通方式選擇的影響;構(gòu)建了等價(jià)的變分不等式模型.上層規(guī)劃的目標(biāo)函數(shù)為出租車公司收益最大化.設(shè)計(jì)了求解模型的啟發(fā)式算法.算例結(jié)果表明,對出租車進(jìn)行擁擠收費(fèi)條件下,如果出租車公司合理分擔(dān)擁擠收費(fèi),其收益將明顯增加,且能達(dá)到實(shí)施擁擠收費(fèi)之前的水平.此外,出租車數(shù)量將顯著影響出租車公司收益與出租車公司分擔(dān)擁擠費(fèi)的最優(yōu)比例.

本文只考慮了對出租車進(jìn)行擁擠收費(fèi)條件下的出租車公司收益優(yōu)化問題.但事實(shí)上,當(dāng)出租車公司通過分擔(dān)擁擠收費(fèi)來提高其收益時(shí),將影響整個(gè)系統(tǒng)的社會(huì)福利.因此,采用多目標(biāo)函數(shù)同時(shí)優(yōu)化社會(huì)福利與出租車公司收益是未來的研究方向.同時(shí),采用實(shí)際數(shù)據(jù)分析也是下一步的工作.

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Profit Optimization of Taxi Firm When Charging Taxis with Toll in the Pricing Zone

ZHU Jin-cheng1,SHUAI Bin1,SUN Chao-yuan2
(1.School of Transportation&Logistics,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China; 2.School of Management and Economics,University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu 610054,China)

The issue that profit optimization of taxi firm is investigated when charging taxis with toll in the pricing zone.The competition among private car,public transit and taxi is introduced and the impact of customer and taxi waiting time on mode split is taken into account.A bi-level programming is proposed, where the lower-level is a combined network equilibrium model formulated as an equivalent variational inequality program.The upper-level aims to maximize the profit of taxi firm.A heuristic algorithm is developed to solve the lower-level formulation,whereas the bi-level problem can be solved by the Genetic Algorithm.The results of numerical example indicate that the profit of taxi firm can be improved when taxi firm reasonably shares the congestion charge with taxi drivers and customers,respectively.Furthermore,as taxi fleet size grows,the profit of taxi firm initially increases and then declines,while the optimal proportion of taxi firm paying the congestion fee originally decreases with fleet size and increases later.

urban traffic;profit optimization;variational inequality;taxi firm;congestion pricing

1009-6744(2014)01-0192-08

U491

A

2013-05-10

2013-07-31錄用日期:2013-08-14

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71173177).

祝進(jìn)城(1986-),男,四川成都人,博士生 .*通訊作者:shuaibin@home.swjtu.edu.cn