王 偉,孫會(huì)君

(北京交通大學(xué) 城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100044)

通勤者在瓶頸處的排隊(duì)等待時(shí)間為

基于參考依賴?yán)碚摰钠款i道路收費(fèi)模型

王 偉,孫會(huì)君*

(北京交通大學(xué) 城市交通復(fù)雜系統(tǒng)理論與技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100044)

通勤者每天早晨駕車行駛于一條有瓶頸的道路上,瓶頸處的通行能力是固定的,當(dāng)通勤者的出發(fā)率超過通行能力時(shí),交通擁擠就會(huì)發(fā)生.本文研究了瓶頸道路上的收費(fèi)策略以緩解交通擁擠.以最早可接受的到達(dá)時(shí)間、最理想的到達(dá)時(shí)間和工作開始時(shí)間為參考點(diǎn),建立了基于參考依賴?yán)碚摰钠款i道路模型,分析了用戶均衡和系統(tǒng)最優(yōu),得到了最優(yōu)的動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略,進(jìn)一步提出了兩種單階段收費(fèi)策略,得出了它們各自的收費(fèi)水平、收費(fèi)時(shí)間和收費(fèi)效果.結(jié)果表明,單階段收費(fèi)策略的效果不但與收費(fèi)水平和收費(fèi)時(shí)間有關(guān),還與通勤者的參考依賴偏好和損失規(guī)避特性有關(guān).

城市交通;單階段收費(fèi);參考依賴;瓶頸模型;出發(fā)時(shí)刻

1 引 言

經(jīng)典瓶頸模型假定,通勤者每天早晨駕車行駛于連接生活地與工作地的一條道路上,道路上有一個(gè)通行能力有限的瓶頸.所有通勤者都希望在上班時(shí)刻到達(dá)工作地,但受瓶頸能力約束,總會(huì)有一部分人早到,一部分人遲到.早到和遲到的費(fèi)用稱為懲罰費(fèi)用.出行費(fèi)用由行駛時(shí)間費(fèi)用和懲罰費(fèi)用兩部分構(gòu)成.通勤者總是選擇令自己的出行費(fèi)用最小的出發(fā)時(shí)刻.達(dá)到平衡時(shí),所有人的出行費(fèi)用相等[1,2].

瓶頸模型是動(dòng)態(tài)模型,Vickrey[1]在此基礎(chǔ)上提出了最優(yōu)動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略,即在早高峰期間對(duì)通勤者進(jìn)行收費(fèi),某個(gè)時(shí)刻的收費(fèi)水平等于不收費(fèi)平衡時(shí)該時(shí)刻通勤者的行駛時(shí)間費(fèi)用.這樣就能以收費(fèi)取代行駛時(shí)間費(fèi)用使平衡條件滿足,瓶頸滿負(fù)荷運(yùn)行且無排隊(duì)現(xiàn)象.收費(fèi)并未改變高峰區(qū)間,總懲罰費(fèi)用不變,但總行駛時(shí)間費(fèi)用為最小而達(dá)到社會(huì)最優(yōu).

但由于動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略是時(shí)間連續(xù)的,實(shí)施起來不可行,有些學(xué)者用階段收費(fèi)策略來逼近最優(yōu)動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略.在早高峰的某個(gè)或多個(gè)時(shí)間段內(nèi)實(shí)施收費(fèi),每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的收費(fèi)水平不變.階段收費(fèi)雖然不能完全消除排隊(duì),但比不收費(fèi)平衡要好,且易于實(shí)施.Arnott等[3,4]最先提出了瓶頸道路單階段收費(fèi)策略;Laih[5,6]和 Lindsey 等[7]分別研究了單階段和多階段收費(fèi)策略.Rouwendal等[8]提出一種在瓶頸處既收費(fèi)又補(bǔ)貼的策略來降低系統(tǒng)的總排隊(duì)時(shí)間.

上述瓶頸模型和收費(fèi)策略均以“工作開始時(shí)間”作為判斷通勤者早到或遲到的依據(jù).雖然在“工作開始時(shí)間”之后到達(dá)工作地會(huì)被人們認(rèn)為是遲到,但在“工作開始時(shí)間”之前到達(dá)工作地并不一定就被認(rèn)為是早到.而且“工作開始時(shí)間”在人們心目中不一定就是最理想的到達(dá)工作地的時(shí)間,“最理想的到達(dá)時(shí)間”一般都會(huì)早于“工作開始時(shí)間”,在“最理想的到達(dá)時(shí)間”之前通常又有一個(gè)“最早可接受的到達(dá)時(shí)間”,在這個(gè)時(shí)間之前到達(dá)工作地才會(huì)被人們認(rèn)為是早到.在“最早可接受的到達(dá)時(shí)間”與“工作開始時(shí)間”這個(gè)時(shí)間段內(nèi)到達(dá)工作地,既不算早到,也不算遲到,都會(huì)被人們所接受,因?yàn)檫@個(gè)時(shí)間段給人們留下了一個(gè)工作準(zhǔn)備或生活緩沖時(shí)間.而在這個(gè)時(shí)間段內(nèi)必定有某個(gè)時(shí)間點(diǎn)是人們心目中的“最理想的到達(dá)時(shí)間”.

正是基于通勤者的這種心理特性,Senbil 和Kitamura[9,10]和 Jou 等[11]都將“ 最早可接受的到達(dá)時(shí)間”、“最理想的到達(dá)時(shí)間”和“工作開始時(shí)間”這三個(gè)時(shí)間點(diǎn)作為參考點(diǎn),運(yùn)用累積前景理論研究了通勤者的出發(fā)時(shí)間選擇行為.他們認(rèn)為通勤者在“最早可接受的到達(dá)時(shí)間”和“工作開始時(shí)間”這兩個(gè)時(shí)間點(diǎn)之間到達(dá)工作地會(huì)獲得收益;在“最理想的到達(dá)時(shí)間”到達(dá)工作地,通勤者獲得的收益最大;在“最早可接受的到達(dá)時(shí)間”之前或在“工作開始時(shí)間”之后到達(dá)工作地,通勤者都將獲得損失.

經(jīng)典的瓶頸模型和瓶頸道路收費(fèi)策略均忽略了通勤者對(duì)待到達(dá)工作地時(shí)間的真實(shí)心理特性,從而忽視了這種心理特性對(duì)出發(fā)時(shí)間選擇和瓶頸道路擁擠的影響.為了彌補(bǔ)以往研究的不足,本文將“最早可接受的到達(dá)時(shí)間”、“最理想的到達(dá)時(shí)間”和“工作開始時(shí)間”作為參考點(diǎn),應(yīng)用參考依賴?yán)碚摻⑿碌钠款i模型,提出基于參考依賴偏好的最優(yōu)動(dòng)態(tài)收費(fèi)和單階段收費(fèi)策略,為緩解瓶頸處的交通擁擠,提高交通需求管理能力提供參考.

2 基于參考依賴?yán)碚摰钠款i模型

下面為本文中使用到的參數(shù)和變量:

θ1, θ2——絕對(duì)效用函數(shù)參數(shù);

φ1,φ2,φ3,φ4——相對(duì)效用函數(shù)參數(shù);

U(t) —— t時(shí)刻出發(fā)者的出行效用;

U ——平衡態(tài)下的個(gè)人出行效用;

D(t) —— t時(shí)刻的排隊(duì)長(zhǎng)度;

N ——總出行人數(shù);

s——瓶頸通行能力;

r(t) —— t時(shí)刻的出發(fā)率;

t——出發(fā)時(shí)間;

to——最早出發(fā)時(shí)間;

te——最晚出發(fā)時(shí)間;

tE——最早可接受的到達(dá)時(shí)間;

tP——最理想的到達(dá)時(shí)間;

tW——工作開始時(shí)間;

T(t) —— t時(shí)刻通勤者的行駛時(shí)間;

TTC ——系統(tǒng)的總行駛時(shí)間;

τ(t) —— t時(shí)刻的收費(fèi)水平;

TTR ——收費(fèi)總額.

2.1 參考依賴?yán)碚?/p>

參考依賴?yán)碚撜J(rèn)為人們的決策行為依賴于參考點(diǎn),某個(gè)決策方案既會(huì)對(duì)人們產(chǎn)生一個(gè)絕對(duì)效用,又會(huì)對(duì)人們產(chǎn)生一個(gè)相對(duì)效用(與參考點(diǎn)有關(guān)),決策方案的效用由絕對(duì)效用和相對(duì)效用兩部分構(gòu)成,人們總是選擇能產(chǎn)生最高效用值的方案[12,13].Lindsey[14]最先將參考依賴?yán)碚搼?yīng)用到道路擁擠收費(fèi)的研究中,認(rèn)為通勤者的出行效用由固有效用(絕對(duì)效用)和收益-損失效用(相對(duì)效用)兩部分組成.

本文將參考依賴?yán)碚搼?yīng)用到瓶頸模型的研究中,既考慮通勤者的絕對(duì)出行效用,又考慮通勤者的相對(duì)出行效用.絕對(duì)效用與通勤者的行駛時(shí)間、排隊(duì)等待時(shí)間和所收取的費(fèi)用有關(guān),相對(duì)效用與到達(dá)時(shí)間和參考點(diǎn)有關(guān),出行效用由絕對(duì)效用和相對(duì)效用兩部分構(gòu)成.由于行駛時(shí)間、排隊(duì)等待時(shí)間、到達(dá)時(shí)間和收費(fèi)水平都由出發(fā)時(shí)刻決定,所以通勤者的出行效用取決于出發(fā)時(shí)刻和參考點(diǎn)的選擇.每個(gè)通勤者對(duì)從生活地到工作地的出發(fā)時(shí)刻進(jìn)行決策以最大化其出行效用.達(dá)到平衡時(shí),所有人的出行效用相同.為了方便起見,本文假設(shè)絕對(duì)效用和相對(duì)效用函數(shù)都為線性的,具體的函數(shù)表達(dá)式見 2.2節(jié).圖1和圖2分別為絕對(duì)效用和相對(duì)效用函數(shù).

圖1 絕對(duì)效用函數(shù)Fig.1 The absolute utility function

在圖1 中,絕對(duì)出行效用始終為負(fù),所以 θ1＜0, θ2＜ 0.在圖2 中,tE和 tW之間為收益區(qū),通勤者在此期間到達(dá)會(huì)獲得收益,出行的相對(duì)效用為正;通勤者在 tE之前到達(dá)或在 tW之后到達(dá)都將面臨損失,出行的相對(duì)效用為負(fù).tE和 tW均是通勤者區(qū)分收益與損失的參考點(diǎn),而 tP是一個(gè)“偽”參考點(diǎn),因?yàn)樗皇桥袛嗍找婧蛽p失的標(biāo)準(zhǔn).但 tP仍然是一個(gè)重要的時(shí)間點(diǎn),當(dāng)?shù)竭_(dá)時(shí)間為 tP時(shí),通勤者的收益最大,即出行的相對(duì)效用最大.在 tP之前,相對(duì)效用函數(shù)為到達(dá)時(shí)間的單調(diào)遞增函數(shù);在 tP之后,相對(duì)效用函數(shù)為到達(dá)時(shí)間的單調(diào)遞減函數(shù).根據(jù)實(shí)際情況,一般假設(shè) tP更接近于 tW.由通勤者的損失規(guī)避特性可知,直線Ⅰ比直線Ⅱ陡,直線Ⅳ比直線Ⅲ陡;比較早到損失和遲到損失可知,直線Ⅳ比直線Ⅰ要陡.因此,可以得到相對(duì)效用函數(shù)參數(shù)之間的大小關(guān)系:φ3＞φ2＞0＞φ1＞φ4,|φ1|＞ |φ2|, |φ4|＞|φ3|.

圖2 相對(duì)效用函數(shù)Fig.2 The relative utility function

2.2 瓶頸模型

N個(gè)相同的通勤者每天早晨駕車行駛于連接生活地O與工作地 D 的一條道路上.擁擠發(fā)生在一個(gè)通行能力有限的瓶頸處(如橋梁、隧道、收費(fèi)站等),瓶頸通行能力為 s輛/單位時(shí)間.當(dāng)瓶頸處的到達(dá)率超過 s時(shí),就會(huì)發(fā)生排隊(duì)現(xiàn)象.為了方便分析,假設(shè)通勤者從生活地出發(fā)即刻達(dá)到瓶頸,離開瓶頸即刻到達(dá)工作地,通勤者的行駛時(shí)間等于在瓶頸處的排隊(duì)等待時(shí)間.排隊(duì)長(zhǎng)度 D(t) 為隊(duì)中等待通過瓶頸的車輛數(shù):

通勤者在瓶頸處的排隊(duì)等待時(shí)間為

不收費(fèi)時(shí),通勤者的絕對(duì)出行效用由其行駛時(shí)間決定,相對(duì)出行效用由其到達(dá)時(shí)間和參考點(diǎn)決定.對(duì) 于早到 ( 損失) 的 通 勤者時(shí) 間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

式中 等式右邊第一部分為絕對(duì)效用,第二部分為相對(duì)效用,下同.

對(duì)于早到(收益)的通勤者([tEn,tPn] 時(shí)間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

對(duì)于遲到(收益)的通勤者([tPn,tWn]時(shí)間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

對(duì)于遲到( 損失)的通勤者([tWn,te] 時(shí)間區(qū)間內(nèi)出發(fā)),其出行效用為

通勤者總是選擇使其出行效用最大的出發(fā)時(shí)刻,當(dāng)沒有一個(gè)通勤者能通過單方面改變其出發(fā)時(shí)刻來增大其出行效用時(shí),系統(tǒng)就達(dá)到一種平衡態(tài).如果把 to與 te間的時(shí)間區(qū)段定義為早高峰期間,那么平衡意味著在早高峰期間內(nèi),所有通勤者的出行效用相同.早高峰期間的長(zhǎng)度為

to時(shí)刻出發(fā)的人不會(huì)遇到排隊(duì),其行駛時(shí)間為0,其出行效用為

te時(shí)刻出發(fā)的人也不會(huì)遇到排隊(duì),其行駛時(shí)間也為0,其出行效用為

根據(jù)平衡時(shí)等出行效用條件 U(to)=U(te)=U,可得

和

式中 k=tW-tE,k 表示“工作開始時(shí)間” 與“最早可接受到達(dá)時(shí)間”之間的差值.

根據(jù)式(3)-式(6) 和式(8)-式(10) 可得到 T(t):

將式(12) 代入式(2) 中,可得到排隊(duì)長(zhǎng)度D(t).再將 D(t) 代入式(1) 中并對(duì)兩邊求導(dǎo),可得到出發(fā)率 r(t):

根據(jù)式(13)可得到圖3,在圖3 中,ABCDE 線表示生活地累計(jì)出發(fā)人數(shù),AE 線表示工作地累計(jì)到達(dá)人數(shù).兩條線的斜率分別表示出發(fā)率 r(t) 和到達(dá)率 s.兩條線的垂直距離表示排隊(duì)長(zhǎng)度 D(t),水平距離表示通勤者的行駛時(shí)間 T(t),即排隊(duì)時(shí)間.總行駛時(shí)間(所有通勤者的行駛時(shí)間之和)在圖3 中表示為區(qū)域 ABCDEA 的面積,有

圖3 通勤者的出發(fā)率和到達(dá)率Fig.3 Commuters'departure and arrival rates

2.3 動(dòng)態(tài)收費(fèi)

上文分析了瓶頸處的用戶平衡狀態(tài),相應(yīng)地也會(huì)有一個(gè)社會(huì)最優(yōu)狀態(tài).瓶頸模型中的社會(huì)最優(yōu)是指系統(tǒng)的總排隊(duì)時(shí)間達(dá)到最小,即不存在排隊(duì).實(shí)現(xiàn)社會(huì)最優(yōu)并不改變高峰期 [to,te] 和總早到與遲到時(shí)間,第一位、最后一位以及所有的出發(fā)者的個(gè)人出行效用與用戶平衡時(shí)的個(gè)人出行效用相同,都為 U.但在社會(huì)最優(yōu)狀態(tài)不存在排隊(duì),因此在 [to, te] 期間的出發(fā)率與到達(dá)率均應(yīng)為 s.為了驅(qū)使系統(tǒng)達(dá)到社會(huì)最優(yōu)狀態(tài),用戶平衡時(shí)的排隊(duì)等待時(shí)間可以用某種收費(fèi)的形式來替代,以維持個(gè)人出行效用的均衡,則有:

由于在社會(huì)最優(yōu)時(shí),T(t)=0,得到一個(gè)動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略:

根據(jù)式(16) 可知, τ(t) 是一條四段折線,如圖4所示,其中

當(dāng)實(shí)施上述動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略時(shí),通勤者會(huì)自動(dòng)調(diào)整出發(fā)時(shí)刻,使 [to,te] 期間的出發(fā)率為 s.他們不會(huì)遇到排隊(duì),但在 t時(shí)刻要上繳 τ(t) 的費(fèi)用.通勤者的個(gè)人出行效用仍為 U,與不收費(fèi)平衡時(shí)相比,并沒有減少.但由于動(dòng)態(tài)收費(fèi)是時(shí)間連續(xù)的,在實(shí)際中不可行,下文用單階段收費(fèi)來逼近動(dòng)態(tài)收費(fèi).單階段收費(fèi)雖然不能完全消除排隊(duì),但人們?cè)谄款i處的排隊(duì)時(shí)間比不收費(fèi)時(shí)要少,且易于實(shí)施人工收費(fèi).

圖4 動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略Fig.4 The optimal time-varying toll sheme

3 單階段收費(fèi)策略

階段收費(fèi)策略是指在早高峰期間的某個(gè)或多個(gè)時(shí)間段內(nèi)進(jìn)行收費(fèi),該時(shí)間段內(nèi)的收費(fèi)水平固定.根據(jù)收費(fèi)時(shí)間段的多少,可將階段收費(fèi)分為單階段收費(fèi)、雙階段收費(fèi)和 M(M ≥ 3) 階段收費(fèi),當(dāng) M 趨向于無窮大時(shí),階段收費(fèi)趨近于動(dòng)態(tài)收費(fèi).由于篇幅的限制,本文只討論單階段收費(fèi).根據(jù)收費(fèi)時(shí)間的不同,可將單階段收費(fèi)策略分為兩種情形.

3.1 單階段收費(fèi)策略一

第一種單階段收費(fèi)策略如圖5 所示.設(shè) [t+, t-] 為單階段收費(fèi)區(qū)間, ρ為區(qū)間 [t+,t-] 內(nèi)的收費(fèi)水平,其中,則有在時(shí)間段 [t+,t-] 內(nèi)對(duì)每個(gè)通勤者進(jìn)行收費(fèi)可以抵消該通勤者的一部分排隊(duì)時(shí)間,所以時(shí)間段[t+,t-] 內(nèi)的收費(fèi)總額可以抵消一部分的總排隊(duì)時(shí)間.假設(shè)此種單階段收費(fèi)策略能消除ε′(0＜ε′＜1) 的總排隊(duì)時(shí)間,則有

ε′是交通管理部門的決策目標(biāo),通過設(shè)置不同的目標(biāo)值 ε′,可得到不同的收費(fèi)區(qū)間 [t+,t-]和不 同 的收 費(fèi) 水平 ρ,聯(lián) 立式 (17)- 式 (20)解得:

由上文可知,在最優(yōu)動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略下, ε′=1.根據(jù)式(20)可知,在此種單階段收費(fèi)策略下,通過計(jì)算 TTR 的最大值可得到 ε′的最大值,聯(lián)立式(17)-式(19),有

根據(jù)一階最優(yōu)條件可得:

假設(shè)此種單階段收費(fèi)策略最多能消除ε′max 的總排隊(duì)時(shí)間,則有

由 φ3＞ φ2＞ 0 ＞ φ1＞ φ4,可知＞ 0, ～φ ＜ 0.假設(shè) N足夠大,從而所以,當(dāng)時(shí),有時(shí),有時(shí),有

3.2 單階段收費(fèi)策略二

第二種單階段收費(fèi)策略如圖6 所示.設(shè) [t+,t-]為單階段收費(fèi)區(qū)間,ρ為區(qū)間 [t+,t-] 內(nèi)的收費(fèi)水平,其中 t+∈(t,t),t-∈(t,t),則有

圖6 第二種單階段收費(fèi)策略Fig.6 The second single-step toll scheme

假設(shè)此種單階段收費(fèi)最多能消除 ε″max(0 ＜ ε″max＜ 1) 的總排隊(duì)時(shí)間,同理第一種單階段收費(fèi),求得:

否則,此種單階段收費(fèi)策略不存在.由于

比較以上兩種單階段收費(fèi)策略可知,第一種策略收費(fèi)水平低,但收費(fèi)時(shí)間長(zhǎng);第二種策略收費(fèi)水平高,但收費(fèi)時(shí)間短.而兩種收費(fèi)策略的收費(fèi)效果依賴于通勤者參考點(diǎn)的設(shè)置和相對(duì)效用函數(shù)參數(shù)的取值.如果 k=0, φ2=- φ1, φ3=- φ4,本文中的瓶頸模型與經(jīng)典的瓶頸模型相同;另外還可求得,本文的單階段收費(fèi)策略最多能減少的總排隊(duì)時(shí)間,與Laih的單階段收費(fèi)策略[5,6]相同.

4 研究結(jié)論

本文在經(jīng)典瓶頸模型的基礎(chǔ)上,考慮“最早可接受的到達(dá)時(shí)間”、“最理想的到達(dá)時(shí)間”和“工作開始時(shí)間”這三個(gè)參考點(diǎn),運(yùn)用參考依賴?yán)碚摻⒘烁蠈?shí)際情況和通勤者心理的新瓶頸模型,得到了瓶頸道路動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略.但由于動(dòng)態(tài)收費(fèi)不可行,本文提出了兩種單階段收費(fèi)策略來逼近動(dòng)態(tài)收費(fèi)策略,并得出了它們各自的收費(fèi)水平、收費(fèi)時(shí)間和收費(fèi)效果.得出結(jié)論:基于參考依賴?yán)碚摰钠款i模型能準(zhǔn)確刻畫通勤者的出發(fā)時(shí)刻選擇行為和對(duì)到達(dá)時(shí)間的心理認(rèn)知;單階段收費(fèi)策略的效果不但與收費(fèi)水平和收費(fèi)時(shí)間有關(guān),還與通勤者的參考依賴偏好和損失規(guī)避特性有關(guān);交通管理部門在制定瓶頸道路收費(fèi)策略時(shí),應(yīng)考慮通勤者的實(shí)際出行心理特性.未來進(jìn)一步研究的方向有:考慮雙階段和M(M ≥ 3) 階段收費(fèi)策略;研究收費(fèi)再分配策略;根據(jù)通勤者不同的時(shí)間價(jià)值對(duì)其進(jìn)行分類等.

[1] Vickrey W S.Congestion theory and transport investment [J].American Economic Review,1969,34:414-431.

[2] Yang H,Huang H J.Analysis of the time-varying pricing of a bottleneck with elastic demand using optimal control theory[J].Transportation Research Part B,1997,31(6):425-440.

[3] Arnott R,De Palma A,Lindsey R.Economics of a bottleneck[J].Journal of Urban Economics,1990, 27(1):111-130.

[4] Arnott R,De Palma A,Lindsey R.A structural model of peak-period congestion:a traffic bottleneck with elastic demand[J].American Economic Review, 1993,83(1):161-179.

[5] Laih C H.Queuing at a bottleneck with single and multi-step tolls[J].Transportation Research Part A, 1994,28(3):197-208.

[6] Laih C H.Effects of the optimal step toll scheme on equilibrium commuter behavior[J]. Applied Economics,2004,36(1):59-81.

[7] Lindsey R,Van den Berg V,VerhoefE T.Step tolling with bottleneck queuing congestion[J].Journal of Urban Economics,2012,72:46-59.

[8] Rouwendal J,Verhoef E T,Knockaert J.Give or take? Rewards versus charges for a congested bottleneck

[9] Senbil M,Kitamura R.Reference points in commuter departure time choice:a prospect theoretic test of alternative decision frames[J].Journal of Intelligent Transportation Systems,2004,8(1):19-31.

[10] SenbilM,Kitamura R.Heterogeneity in commuter departure time decision:A prospect theoretic approach [J].International Series in Intelligent Technologies, 2005,28:369-398.

[11] Jou R C,Kitamura R,Weng M C,et al.Dynamic commuter departure time choice under uncertainty [J].Transportation Research Part A,2008,42(5): 774-783.

[12] K?szegi B,Rabin M.A model of reference-dependent preference[J].Quarterly Journal of Economics, 2006,121(4),1133-1165.

[13] Munro A,Sugden R.On the theory of referencedependent preferences[J]. Journal of Economic Behavior and Organization,2003,50(4):407-428.

[14] Lindsey R.State-dependent congestion pricing with reference-dependent preferences[J].Transportation Research Part B,2011,45(10):1501-1526.

Pricing Models in a Highway with Bottleneck Based on Reference-dependent Theory

WANG Wei,SUN Hui-jun
(MOE Key Laboratory for Urban Transportation Complex Systems Theory, Beijing Jiaotong University,Beijing 100044,China)

Every morning commuters travel on a highway that has a bottleneck with fixed flow capacity.If the departure rate of commuters exceeds the capacity of bottleneck,the traffic congestion will develop.This paper studies toll schemes designed to alleviate congestion problems that result from a road bottleneck.With three reference points:the earliest acceptable arrival time,the preferred arrival time and the work starting time,a highway bottleneck model based on reference-dependent theory is constructed.The user equilibrium and social optimum are analyzed,and the optimal time-varying toll scheme is given accordingly.Further, two single-step toll schemes are proposed,and the charging level,pricing time and tolling effect of each single-step toll scheme are obtained.The results show that the effect of single-step toll scheme depend on not only the tolling level and the charging time,but also commuters'reference-dependent preference and lossaversion characteristic.

urban traffic;single-step toll;reference-dependentpreference;bottleneck model; departure time

1009-6744(2014)01-0180-07

U491

A

2013-05-20

2013-07-26錄用日期:2013-08-14

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃(2012CB725400);國(guó)家自然科學(xué)基金(71271023);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)(2012JBZ005).

王偉(1985-),男,湖北黃岡人,博士生.*通訊作者:hjsun1@bjtu.edu.cn