陳仕軍,沈吟東

(華中科技大學(xué) 自動化學(xué)院,武漢 430074)

加速列生成法求解乘務(wù)調(diào)度問題

陳仕軍,沈吟東*

(華中科技大學(xué) 自動化學(xué)院,武漢 430074)

列生成法是求解乘務(wù)調(diào)度問題的有效數(shù)學(xué)規(guī)劃方法,但傳統(tǒng)列生成法存在收斂速度慢的缺點(diǎn).基于乘務(wù)問題特點(diǎn),提出三種加速列生成求解的策略:在列生成迭代過程中,每隔一定周期移除受限主問題的部分“差”變量,以減小問題規(guī)模;提出基于乘務(wù)問題特征的強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則和基于該準(zhǔn)則的二階段子問題求解法以加速子問題求解;利用分支樹求解整數(shù)解時,提出一個能充分利用已有解信息的班次池策略,以減小整數(shù)解求解時間.利用實(shí)際公共交通中的 10 組案例對所提加速策略進(jìn)行測試.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,這些加速策略能夠有效加速列生成的求解,適用于求解大規(guī)模的乘務(wù)調(diào)度問題.

系統(tǒng)工程;列生成法;加速策略;乘務(wù)調(diào)度;問題特征

1 引 言

乘務(wù)調(diào)度問題是公交企業(yè)普遍面對的重要問題,也是計(jì)算科學(xué)界的 NP 難題.有效的調(diào)度方法能提高管理效率,并節(jié)約大量的人力成本.從上世紀(jì)60年代開始,眾多學(xué)者和交通領(lǐng)域?qū)＜覍υ搯栴}進(jìn)行了深入研究,提出了各種有效的優(yōu)化模型和解決方法[1].

列生成方法是求解大規(guī)模線性規(guī)劃問題(LP)的有效方法,它通常與分支定界方法結(jié)合,用于解決大規(guī)模整數(shù)規(guī)劃問題(ILP)[2].該方法也被廣泛用于求解各類交通領(lǐng)域(公共交通、鐵路、航空等)的乘務(wù)調(diào)度問題[3,4].對于某些大規(guī)模 LP 問題( 稱主問題,記作 MP),其變量數(shù)可能太多以至于難于直接求解整個 LP 問題.此時,列生成方法顯示出其優(yōu)越性.其主要過程是:求解時只考慮分部分變量集上的 LP 問題(稱受限主問題,記作 RMP);求解后,根據(jù)其對偶乘子信息求解一個子問題(SP),以期得到能改進(jìn)目標(biāo)值的新變量(列);將新列加入 RMP 以擴(kuò)大其規(guī)模,再求解新的 RMP 問題.以上過程重復(fù)進(jìn)行,直到?jīng)]有改進(jìn) RMP 的新列為止.盡管列生成法已被應(yīng)用于解決多種大規(guī)模 ILP,但仍然存在不穩(wěn)定、收斂速度慢的缺點(diǎn)[2].

由列生成法的求解過程可知,列生成法的效率主要由兩方面決定:RMP 問題的求解速度與 SP 問題的求解速度.目前,部分文獻(xiàn)針對各種不同具體問題,從不同側(cè)面提出了一些改進(jìn)列生成效率的方法.例如,Gondzio[5]提出一種原始對偶內(nèi)點(diǎn)方法用于加速求解 RMP 的近似解.Elhallaoui 等[6]提出一個動態(tài)約束集結(jié)方法,來減小 RMP 的退化程度以加快其收斂速度.由于乘務(wù)調(diào)度的子問題等價于帶資源約束的最短路問題 (RCSPP),是 NP 難題,部分學(xué)者對 RCSPP 求解提出一些改進(jìn)方法,例如雙向動態(tài)定界法[7]、狀態(tài)空間松弛法[8]等,并用于求解車輛路徑問題. 此外,Leitner 等[9]、 Alves 與 De Carvalho[10]基于問題特征,研究了對偶乘子穩(wěn)定性方法以加速列生成法的收斂速度,分別用于解決網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)和變尺度裝箱問題.上述加速求解方法都需要結(jié)合具體問題特征,難以直接應(yīng)用于解決乘務(wù)調(diào)度問題.本文基于乘務(wù)問題特點(diǎn),從主問題、子問題及整數(shù)解求解等方面,提出了三種加速策略用于解決乘務(wù)調(diào)度問題.

首先,在傳統(tǒng)列生成方法中,RMP 的規(guī)模在持續(xù)增大.當(dāng) RMP 增大到一定規(guī)模后,其求解會花費(fèi)較長時間.為此,本文設(shè)計(jì)了一個“差”(無助于改進(jìn)目標(biāo)值)變量移除策略來降低 RMP 的增長規(guī)模,并加速列生成求解.其次,在求解子問題時,需要利用多標(biāo)號動態(tài)規(guī)劃方法求解 RCSPP.為了提高求解效率,一般采用標(biāo)號消除準(zhǔn)則消除部分標(biāo)號,只保留帕累托(Pareto) 最優(yōu)標(biāo)號集[11].注意到實(shí)際中 Pareto 最優(yōu)解仍然包含大量標(biāo)號(特別是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)和資源集規(guī)模較大時),且很多標(biāo)號不會成為最優(yōu)解.為此,本文基于乘務(wù)問題特點(diǎn),提出一種新的強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則,并基于此提出一個二階段子問題求解方法,以提高子問題求解效率.最后,利用分支定界方法求解整數(shù)解時,需要在每個節(jié)點(diǎn)利用列生成法計(jì)算其相應(yīng) LP 解.因此,子問題對應(yīng)的RCSPP 求解也要在整個分支樹進(jìn)行,使得整數(shù)解求解花費(fèi)太多時間.本文考慮在搜索整個分支樹時,充分利用已有解信息,提出一種班次池策略:即為每個節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)一個班次池用于繼承其父節(jié)點(diǎn)已生成的既有班次.在求解子節(jié)點(diǎn)的子問題時,優(yōu)先考慮其班次池中的班次,只有當(dāng)班次池中沒有班次能改進(jìn)目標(biāo)值時才調(diào)用 RCSPP 以生成新班次.該方法能減少子問題的求解時間,從而能縮小整數(shù)解的求解時間.

2 乘務(wù)調(diào)度模型

乘務(wù)調(diào)度問題可描述為[12,13]:在滿足各種勞動法規(guī)約束下,合理安排乘務(wù)員去執(zhí)行所有給定的車輛任務(wù),并使得所用乘務(wù)員數(shù)量最少或總工時成本最小.

一般,乘務(wù)調(diào)度可以用集覆蓋模型來表示.記最小值乘段集合 M={1,2,…,m},所有可行班次集合 N={1,2,…,n},班次 j∈ N 的成本 cj.對于?i∈ M 和 ?j∈ N, 若班次 j包含 i,則記 aij=1;否則記 aij=0.對于 ?j∈ N,定義決策變量 xj如下:xj=1 表示班次 j被選擇,否則 xj=0.則乘務(wù)調(diào)度模型可描述為

目標(biāo)函數(shù)(1)是最小化總成本;約束(2)表明每個最小值乘段至少被一個乘務(wù)班次所覆蓋;約束

(3)是0-1 決策變量.

3 基于列生成法的乘務(wù)調(diào)度問題求解

3.1 基本的列生成算法

列生成算法主要用于求解 ILP 的線性松弛問題(稱為主問題,記做 MP),以得到 ILP 的下界.其主要是通過迭代求解一系列的受限主問題(RMP)和子問題(SP),最終收斂到最優(yōu)解.其中,RMP 對應(yīng)部分變量(列或班次)集上的線性松弛問題,SP在于生成能改進(jìn) RMP 目標(biāo)函數(shù)值的新班次.記第 r次迭代時,受限主問題為 RMPr,子問題為 SPr.記 RMPr對應(yīng)的部分變量集,則 RMPr為如下優(yōu)化問題:

由于 RMPr只考慮了部分變量集以外仍可能有改進(jìn)目標(biāo)值的變量.根據(jù)線性規(guī)劃單純型原理,能改進(jìn)目標(biāo)值的變量是具有負(fù)判別數(shù)的變量.記約束(5)對應(yīng)的對偶乘子向量為, 則對于 ?j∈ N,其判別數(shù) rcj計(jì)算如下:

為了判斷 N-r以外是否具有負(fù)判別數(shù)的變量,需要求解具有最小負(fù)判別數(shù)的變量.因此,子問題SPr為如下優(yōu)化問題:式(8)中,Pr返回具有最小負(fù)判別數(shù)的變量集.

有了上述定義,列生成算法求解乘務(wù)調(diào)度問題的基本步驟如下:

Step1r ← 0,構(gòu)造初始列集,形成初始受限主問題 RMP0;

Step2求解受限主問題 RMPr,得到約束(5)對應(yīng)的對偶乘子向量 πr;

Step3求解子問題 SPr,以得到改進(jìn) RMPr目標(biāo)值的班次集 Pr;

Step4若 Pr= ? ,則已經(jīng)求得 MP 的最優(yōu)解,轉(zhuǎn) Step6;

Step5將新班次集 Pr加入到 RMPr,即

Step6若 MP 最優(yōu)解是整數(shù)解,則停止;

Step7對當(dāng)前節(jié)點(diǎn)分支,用分支定界方法求解整數(shù)解.

在 Step1 中,通過設(shè)置人工變量方法構(gòu)造初始列集,從而形成初始 RMP0.由于新生成的班次需要滿足多種班次合法性約束,因此 Step3 中的子問題 SPr等價于帶資源約束的最短路問題(RCSPP),需要利用多標(biāo)號動態(tài)規(guī)劃方法求解[11].最后,Step7中利用基于換班機(jī)會(RO)的分支策略求整數(shù)解,具體參見 3.3 節(jié).

3.2 三種列生成法的加速策略

本文基于乘務(wù)問題特點(diǎn)從主問題求解、子問題求解及整數(shù)解等方面,提出了三種列生成的加速求解策略.

(1)列移除策略.

基本列生成算法中,RMPr的規(guī)模隨迭代次數(shù) r在不斷增大,其求解速度會逐漸變慢(特別是對大規(guī)模問題).為了限制 RMPr的增長規(guī)模,考慮迭代求解過程中移除 RMPr中較“差” (無助于改進(jìn)RMPr目標(biāo)值) 的變量集,從而加快求解 RMPr速度.根據(jù)線性規(guī)劃單純型原理,具有負(fù)判別數(shù)的變量可能會改進(jìn) RMPr的目標(biāo)值,而且負(fù)判別數(shù)越小,有可能改進(jìn) RMPr的目標(biāo)值越多.相反,具有正判別數(shù)的變量無助于改進(jìn) RMPr目標(biāo)值.基于此,本文“差”變量將指具有非負(fù)判別數(shù)的變量,判別數(shù)越大,相應(yīng)的變量就越差.但需注意,對于任何變量,其判別數(shù)會隨 RMPr的變化而改變,因此“差”變量在 RMP求解迭代一定次數(shù)后,也可能變成非“差”變量,并改進(jìn) RMPr的目標(biāo)值.而且,RMPr對應(yīng)的變量集與對偶乘子是相互影響的,頻繁移除變量可能會影響對偶乘子 πr的穩(wěn)定性.因此,本文采取每隔一定迭代次數(shù) rout( 列移除頻率) 從 RMP 中移除一部分“差”變量,且在列生成的迭代初期和迭代末期,不移除變量.記 zr為的 RMPr目標(biāo)值, εphase為接近 0的正數(shù).首先,將列生成過程分三個階段:當(dāng) r ＜ 5時,稱迭代初期;當(dāng) (zr-1-zr)/zr≥ εphase時,為迭代中期;其余為迭代末期.記當(dāng)前 RMPr的變量數(shù) nr,解中非零基變量的數(shù)量為,從 RMPr移除的列數(shù)量按如下計(jì)算:,此處α ∈ [0,1) 表示從 RMPr中移除“差”變量的比例.

(2)強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則.

利用 RCSPP 求解子問題時,先構(gòu)建有向網(wǎng)絡(luò)圖 G(V,A),V 與 A 分別表示節(jié)點(diǎn)集和弧集.記 s與 t分別為 G(V,A) 的開始點(diǎn)與結(jié)束點(diǎn).利用多標(biāo)號動態(tài)規(guī)劃求解 RCSPP 時,用標(biāo)號表示從 s到達(dá)當(dāng)前節(jié)點(diǎn) i∈ V 的有向路徑.這里,ci表示該路徑的成本,sri表示該路徑消耗資源 r∈ R 的量,R 表示全部資源集.由于每個標(biāo)號 li都需要通過有向弧 (i,j) 延伸至結(jié)點(diǎn) j( 當(dāng)滿足資源約束時),得到節(jié)點(diǎn) j的標(biāo)號 lj.因此,標(biāo)號延伸過程將生成大量標(biāo)號.為了消除不會成為最優(yōu)解的標(biāo)號(只保留 Pareto 最優(yōu)標(biāo)號),一般采取如下標(biāo)號消除準(zhǔn)則[11]:

該標(biāo)號消除方法能夠減少各個節(jié)點(diǎn)的標(biāo)號數(shù)量,且保證最優(yōu)標(biāo)號不會被消除.為了進(jìn)一步加快求解速度,本文提出一個強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則,主要是在定義標(biāo)號消除準(zhǔn)則時只考慮部分重要資源集 R? R,從而能消除更多的標(biāo)號.不失一般性,假定標(biāo)號消除準(zhǔn)則只考慮前個資源,則新的強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則如下:

此標(biāo)號消除準(zhǔn)則,能夠消除更多標(biāo)號集,但可能會損失某些 Pareto 最優(yōu)標(biāo)號.因此,本文在求解子問題時采取二階段的標(biāo)號消除準(zhǔn)則:在第一階段使用強(qiáng)消除標(biāo)號準(zhǔn)則;當(dāng)無法生成具有負(fù)判別數(shù)的新列時,在第二階段使用原標(biāo)號消除準(zhǔn)則,從而保證子問題的最優(yōu)性.需要注意的是,執(zhí)行強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則時,如何選取重要資源集 R直接影響二階段-子問題求解的性能.對于 R的選擇,需要根據(jù)問題特征或?qū)嶒?yàn)方法決定.對于本文所考慮的乘務(wù)調(diào)度問題,原資源集 R 包含5種資源:a.工作時間長度tw;b.駕駛時間長度 td;c.跨度時間長度 tsp;d.連續(xù)駕駛段時長 tspl;e.連續(xù)駕駛段數(shù)量 nspl.由于工作時間長度 tw直接影響班次成本和效率,本文通過試驗(yàn)也證實(shí)該資源是最為重要的資源,對消除大量非最優(yōu)標(biāo)號起重要作用.因此,本文利用強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則時只考慮該資源,即.需要說明的是,強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則在應(yīng)用于其他問題如車輛路徑問題時,重要資源的選擇仍然依賴于問題相關(guān)經(jīng)驗(yàn)或?qū)嶒?yàn)方法.

(3)班次池策略加速求解整數(shù)解.

利用分支定界求解整數(shù)解時,需要在分支樹的每個節(jié)點(diǎn)調(diào)用 RCSPP 求解子問題,從而搜索整個分支定界樹將消耗太多時間.本文考慮充分利用父節(jié)點(diǎn)已有信息,從而加速子問題求解.方法是:為每個節(jié)點(diǎn)設(shè)計(jì)一個班次池,并繼承父節(jié)點(diǎn)的班次信息.對于節(jié)點(diǎn) k,包含兩個班次集,即班次池與當(dāng)前 RMP 對應(yīng)的班次集.若節(jié)點(diǎn) k 的父節(jié)點(diǎn)為h,則按如下得到:

當(dāng)利用列生成方法求解非根節(jié)點(diǎn) k時,分成兩階段進(jìn)行:先在班次池 Spk里利用列生成方法,直到無改進(jìn)當(dāng)前 RMP 的目標(biāo)值為止;再利用 RCSPP 調(diào)用子問題以得到改進(jìn)的班次.

3.3 整數(shù)解求解

當(dāng)原問題的線性松弛解是整數(shù)解時,則該解即為原乘務(wù)調(diào)度問題的最優(yōu)解.否則(分?jǐn)?shù)解),需要利用分支定界方法以求其整數(shù)解,本文將利用基于換班機(jī)會(RO) 的分支方法.Fores 等[14]曾提出過類似的方法,但沒有給出如何選擇 RO 的具體方法.記當(dāng)前分?jǐn)?shù)解對應(yīng)的班次集 N-,全部換班機(jī)會集合 RO.對 ?r∈ RO,記班次集為

Jr={j|r在班次 j的內(nèi)部,

對當(dāng)前分?jǐn)?shù)解,尋找換班機(jī)會 p ∈ RO,使得

對當(dāng)前節(jié)點(diǎn)采取如下分支:

當(dāng)在整個分支定界樹上使用列生成算法時,上述分支策略很容易在子問題中得到實(shí)現(xiàn),只需要刪除子問題網(wǎng)絡(luò)圖 G(V,A) 上與分支策略不兼容的弧集即可.

4 計(jì)算與實(shí)驗(yàn)結(jié)果

為測試算法性能,采用實(shí)際公共交通中遇到的10 組實(shí)例.算法代碼用 C++編寫,在具有奔騰雙核T4300 2.1G 處理器、2 G 內(nèi)存的筆記本上運(yùn)行,并利用 CPLEX 12.4 作為線性規(guī)劃求解器來求解受限主問題 RMP.實(shí)驗(yàn)結(jié)果中,所有時間用秒表示.

(1)列移除策略與強(qiáng)標(biāo)號消除規(guī)則的實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

在執(zhí)行列移除策略時,需要設(shè)置如下 3個參數(shù):列生成 迭代期劃分參數(shù)εphase、 移除列頻率rout、移除列比例參數(shù) α .先通過一些初步實(shí)驗(yàn),發(fā)現(xiàn)列移除頻率 rout對算法性能影響很大.因此,先實(shí)驗(yàn)確定階段劃分參數(shù) εphase=10-6和移除比例 α = 0.2,再實(shí)驗(yàn) rout的取值.表2 統(tǒng)計(jì)了 rout取不同參數(shù)值時列生成求解根節(jié)點(diǎn)到最優(yōu)解所需的時間.因?yàn)閞out太大時,起不到加速作用,只測試了 rout≤ 6 的情況.當(dāng) rout=0 時,表示不移除列,此時算法即為傳統(tǒng)的列生成方法.表1 的最后一列,記錄了利用強(qiáng)標(biāo)號消除規(guī)則后的計(jì)算結(jié)果.

表1 列移除策略與強(qiáng)標(biāo)號消除規(guī)則實(shí)驗(yàn)結(jié)果Table1 The results of column removing strategy and strong label eliminating rule

從表1 中可以看出,當(dāng) rout=3 時采用列移除策略的算法平均性能達(dá)到最好( 與 rout=0 比較).從表1的最后一列可以看出,強(qiáng)標(biāo)號消除準(zhǔn)則總體上能進(jìn)一步降低計(jì)算時間.但實(shí)例6和實(shí)例8的結(jié)果差于只采用列移除策略的測試結(jié)果.一方面與參數(shù)設(shè)置有關(guān),另一方面也說明了兩種策略同時使用時,其間也會相互影響.

(2)班次池策略實(shí)驗(yàn)結(jié)果.

測試整數(shù)解時,采用深度優(yōu)先搜索策略,設(shè)置最大搜索節(jié)點(diǎn)數(shù) nmax=500,分別考慮基于班次池策略的列生成與傳統(tǒng)列生成法.表2與表3分別記錄了傳統(tǒng)列生成法和利用本文班次池策略求解整數(shù)解的結(jié)果.在表2 與表3 中,“t-RMP”記錄求解受限主問題的總時間,“t-SP” 記錄求解子問題的總時間,“t-Total” 記錄求解整數(shù)解的總時間,“ IP”記錄最優(yōu)整數(shù)解,“LP-root” 記錄根節(jié)點(diǎn)線性松弛解,最后一列“nNode”記錄求解的節(jié)點(diǎn)數(shù),“Gap”計(jì)算上下界相對間隙,其計(jì)算公式為 Gap=(IP-LP-root)·100/LP-root.

通過比較兩種方法,發(fā)現(xiàn)本文所提的班次池策略能明顯加速列生成方法.10 組實(shí)例中,只有第 2組花費(fèi)了更多時間求解整數(shù)解,但其求解的節(jié)點(diǎn)數(shù)為 500,多于傳統(tǒng)列生成方法求解的節(jié)點(diǎn)數(shù) 155.此外,本文所提的班次池策略,在花費(fèi)較少求解時間的同時,大多數(shù)測試實(shí)例都得到了更好(Gap 更小)的整數(shù)解.只有第 2 組和第 3 組求得的整數(shù)解比傳統(tǒng)的列生成方法略差.因此,總體上本文所提的加速策略能夠改進(jìn)傳統(tǒng)的列生成方法.

表2 傳統(tǒng)列生成方法的整數(shù)解Table2 The integer solutions obtained by traditional column generation

表3 基于班次池策略列生成法的整數(shù)解Table3 The integer solutions obtained by the column generation using column pool strategy

5 研究結(jié)論

本文基于乘務(wù)問題特點(diǎn),提出了三種加速策略以改進(jìn)列生成方法,用于求解乘務(wù)調(diào)度問題.首先,提出了列移除策略,從受限主問題中移除迭代過程中不太可能改進(jìn)當(dāng)前目標(biāo)值的部分列集,目的是減小主問題的求解負(fù)擔(dān).其次,在求解子問題時,提出一種基于乘務(wù)問題特點(diǎn)的強(qiáng)標(biāo)號消除策略,以減小子問題求解時的標(biāo)號數(shù)量,并提出二階段子問題求解法.最后,提出利用班次池策略繼承已有解的班次信息,加速整數(shù)解的求解.通過實(shí)際中的 10 組測試實(shí)例,表明這些策略能對傳統(tǒng)的列生成方法起到改進(jìn)作用.

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Accelerating Column Generation for Solving Crew Scheduling Problems

CHEN Shi-jun,SHEN Yin-dong
(School of Automation,Huazhong University of Science and Technology,Wuhan 430074,China)

Column generation is an efficient math programming approach to solve crew scheduling problems.However,it has the drawback of slow convergence.Three accelerating strategies are presented, based on problem-specific knowledge to speed up its solving process.The first one is to remove some ‘ bad' variables from the restricted master problem after a certain number of iterations.The second one is that a strong label cutting rule is presented,and a two-phase solution approach is proposed to solve the subproblem.The last one is that a shift pool strategy which can use the exiting solution information is proposed to reduce the time to solve integer solutions.Finally,ten real-world instances are tested,and the computational results show that the proposed strategies can accelerate the column generation algorithm.

systems engineering;column generation;accelerating strategies;crew scheduling;problemspecific knowledge

1009-6744(2014)01-0144-06

U268.6

A

2013-09-09

2013-10-31錄用日期:2013-11-12

國家自然科學(xué)基金(70971044,71171087,61304175).

陳仕軍(1980-),男,湖北襄陽人,博士生.*通訊作者:yindong@hust.edu.cn