徐廣鐸，王立強(qiáng)，童建民

(清華大學(xué) 核能與新能源技術(shù)研究院，北京 102201)

X射線測(cè)厚儀在冶金行業(yè)板帶材生產(chǎn)的厚度質(zhì)量控制中得到廣泛使用，其測(cè)量控制精度的高低將直接影響產(chǎn)品的質(zhì)量等級(jí)。當(dāng)X射線穿過(guò)被測(cè)物質(zhì)時(shí)，射線與物質(zhì)的相互作用使透射射線強(qiáng)度減弱，當(dāng)其他條件固定時(shí)，透射射線強(qiáng)度由被測(cè)物質(zhì)厚度唯一決定，若已知射線的衰減規(guī)律，通過(guò)測(cè)量透射射線強(qiáng)度即可得到被測(cè)物質(zhì)厚度，這即是X射線測(cè)厚的基本原理。當(dāng)射線為單能窄束時(shí)，射線衰減遵循指數(shù)定律，但X射線能量具有一定的范圍分布，在實(shí)際測(cè)量系統(tǒng)中也不滿足窄束測(cè)量條件，所以射線強(qiáng)度隨被測(cè)物質(zhì)厚度的變化并不遵循指數(shù)衰減規(guī)律。因此，在實(shí)用中通常需先測(cè)量若干厚度已知的標(biāo)定片進(jìn)行標(biāo)定，再通過(guò)擬合或插值等方法得到射線強(qiáng)度與被測(cè)板材厚度的關(guān)系，這種方法的精度取決于標(biāo)準(zhǔn)片的厚度間距，當(dāng)采用足夠多的標(biāo)準(zhǔn)片使厚度間距足夠小時(shí)，能達(dá)到很高的精度。文獻(xiàn)[1]提出了一種描述寬束單能γ射線衰減的非線性模型，文獻(xiàn)[2]將上述方法應(yīng)用于薄膜X射線測(cè)厚儀中。文獻(xiàn)[3-4]在瑞美公司生產(chǎn)的RM312型X射線板形儀中采用了分段多項(xiàng)式擬合的方法進(jìn)行厚度刻度校正。但文獻(xiàn)[1]的方法不能直接應(yīng)用到非薄膜的X射線測(cè)厚儀的刻度校正中，線性插值與文獻(xiàn)[3-4]中的多項(xiàng)式擬合法雖可達(dá)到一定的測(cè)量精度，但刻度校正過(guò)程中需較多的標(biāo)定片，給系統(tǒng)維護(hù)穩(wěn)定運(yùn)行帶來(lái)不便。

本文研究一種新的刻度校正數(shù)學(xué)模型，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理將該刻度校正模型方法與文獻(xiàn)中提出的3種方法進(jìn)行對(duì)比，比較4種方法隨刻度校正數(shù)據(jù)點(diǎn)減少，其測(cè)量精度和穩(wěn)定性的變化情況。

1 新的刻度校正非線性模型

文獻(xiàn)[1]對(duì)單能γ射線測(cè)厚儀提出了一種非線性模型，本文模型在其模型基礎(chǔ)上，擴(kuò)展到X射線測(cè)厚系統(tǒng)。一般測(cè)厚儀中使用的X射線能量具有能譜分布、非單能，而測(cè)量系統(tǒng)也通常不滿足窄束條件，因此射線在透射中存在硬化和散射現(xiàn)象，使X射線的衰減情況非常復(fù)雜，不能用指數(shù)衰減定律準(zhǔn)確描述，需進(jìn)行修正，為此，設(shè)X射線穿過(guò)厚度為x的被測(cè)物質(zhì)后的射線強(qiáng)度I滿足：

I=I0e-μ(x)x

(1)

式中，μ(x)替代了指數(shù)衰減公式中的線性吸收系數(shù)。當(dāng)X射線能譜分布一定時(shí)，測(cè)量同種材料物質(zhì)，射線衰減情況與被測(cè)物質(zhì)厚度一一對(duì)應(yīng)，因此μ(x)為被測(cè)物質(zhì)厚度x的函數(shù)，下面需確定μ(x)的形式。

由于射線的硬化和散射，μ(x)隨物質(zhì)厚度的增加而減小，最后趨近于一極值，即：

μ(x)=μ∞

(2)

滿足式(2)的函數(shù)有很多，其中形式較簡(jiǎn)單的函數(shù)為：

(3)

為使式(2)成立，p(x)還需滿足：

∞

p′(x)>0x∈(0,+∞)

(4)

上述模型非線性，難以求得解析解，需數(shù)值求解，對(duì)式(3)兩邊取對(duì)數(shù)得：

(5)

根據(jù)式(3)、(4)有：

μ(x)=μ∞μ0

(6)

將式(6)代入式(5)得：

(7)

μ0、μ∞的值取決于材料性質(zhì)和射線能量，對(duì)于同種材料在相同射線能量下μ0、μ∞為確定的常數(shù)。

設(shè)對(duì)厚度為xi(i=1,2,…,n)的標(biāo)定片進(jìn)行校正測(cè)量時(shí)得到的透射射線強(qiáng)度為Ii，通過(guò)式(1)計(jì)算出μ(xi)，通過(guò)外延法確定μ∞，通過(guò)式(7)進(jìn)行多項(xiàng)式擬合可得到p(x)、μ0與β，即確定了模型的所有參數(shù)。

將式(1)兩邊取對(duì)數(shù)可得：

(8)

若實(shí)驗(yàn)測(cè)得射線穿過(guò)某厚度為x的被測(cè)物質(zhì)后的強(qiáng)度為I，根據(jù)標(biāo)定點(diǎn)數(shù)據(jù)先選取射線衰減值最接近I的標(biāo)定片的厚度為迭代初值x0，根據(jù)精度需選取迭代收斂判定閾值ε。按式(8)進(jìn)行不動(dòng)點(diǎn)迭代，式(8)可記為x=G(x)，迭代公式為xn+1=G(xn)，反復(fù)迭代直至xn+1-xn的絕對(duì)值小于ε，判定收斂，輸出xn+1，即得到滿足精度要求的x。

2 文獻(xiàn)中3種校正方法模型

2.1 線性插值模型

若被測(cè)物厚度x在第i個(gè)標(biāo)定片厚度xi附近，即x=xi+Δx，衰減后的射線強(qiáng)度I=Ii+ΔI，由式(1)可得：

Ii=I0e-μ(xi)xi

(9)

Ii+ΔI=I0e-μ(xi+Δx)(xi+Δx)

(10)

當(dāng)Δx不大時(shí)，式(10)可近似為：

Ii+ΔI≈I0e-μ(xi)(xi+Δx)=

Iie-μ(xi)Δx=Ii[1-μ(xi)Δx]

(11)

進(jìn)而得到：

(12)

于是被測(cè)厚度為：

(13)

這樣測(cè)得透射射線強(qiáng)度I即可通過(guò)式(13)計(jì)算被測(cè)物厚度x。該方法計(jì)算簡(jiǎn)單，但為了達(dá)到要求的精度，要求標(biāo)定片厚度間距足夠小，從而需較多數(shù)量的標(biāo)定片，使刻度校正工作十分繁瑣。

2.2 單能射線非線性模型

對(duì)于單能寬束γ射線的衰減規(guī)律，文獻(xiàn)[1]給出了一種非線性模型：

I=I0e-μ(x)x

(14)

其中，α、β為正常數(shù)。新非線性模型采用了與式(14)類(lèi)似的公式，區(qū)別在于新模型中用多項(xiàng)式p(x)代替了式(14)中的-αx。式(14)在γ射線測(cè)厚儀刻度校正中取得了較好的效果。但γ射線為單能，透射中無(wú)硬化現(xiàn)象，因此式(14)用于描述X射線透射過(guò)程精度相對(duì)新模型精度較低。

2.3 多項(xiàng)式模型

以標(biāo)定片厚度xi(i=1,2,…,n)為因變量，對(duì)應(yīng)的射線強(qiáng)度對(duì)數(shù)值lnIi為自變量進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，則：

xi=PnlnIi

(15)

其中，Pn為n次多項(xiàng)式。

為了保證精度，一般采用五次多項(xiàng)式擬合，當(dāng)厚度跨度范圍較大時(shí)需分段擬合，理論上不分段時(shí)至少需6片標(biāo)定片，分段擬合時(shí)所需標(biāo)定片數(shù)量加倍，因?qū)嵱弥卸嗖捎枚囗?xiàng)式擬合，標(biāo)定工作量較大。

3 不同模型數(shù)據(jù)處理結(jié)果的對(duì)比分析

通過(guò)實(shí)驗(yàn)室的X光機(jī)測(cè)厚儀對(duì)0～4.1 cm厚度區(qū)間內(nèi)已知厚度的25塊標(biāo)定片進(jìn)行了標(biāo)定測(cè)量，其射線強(qiáng)度為20位ADC轉(zhuǎn)換后的測(cè)量數(shù)值(已扣除本底零點(diǎn)數(shù)值)(表1)。X光機(jī)電壓為80 keV，電流為0.8 mA，濾片為0.2 mm不銹鋼片，經(jīng)過(guò)濾片后X射線能譜形狀近似為具有一定能量寬度的正態(tài)分布的曲線，標(biāo)定片為鐵片，所有標(biāo)定片采用同一材料制成。

從上述測(cè)量值中選取不同的數(shù)據(jù)點(diǎn)分別采用前文所述的各刻度校正模型求解被測(cè)物質(zhì)的厚度，根據(jù)計(jì)算厚度與已知厚度求出各模型厚度測(cè)量的均方差和相對(duì)偏差，對(duì)比各模型的精度。改變所取數(shù)據(jù)點(diǎn)重復(fù)上述計(jì)算，考察不同情況下各模型的精度變化，比較各模型在數(shù)據(jù)點(diǎn)變化時(shí)的穩(wěn)定性。

3.1 選擇全部數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)各模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

選取所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，分別采用新非線性模型、單能射線非線性模型和多項(xiàng)式模型進(jìn)行擬合，新非線性模型中p(x)選取三次以上多項(xiàng)式擬合精度較高。為使模型簡(jiǎn)單，下面以三次多項(xiàng)式擬合結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果示于圖1。可看出，多項(xiàng)式模型與新非線性模型的擬合精度相近，單能射線非線性模型的誤差明顯大于前兩者。

3.2 選擇部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)各模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比

實(shí)際應(yīng)用中，由于工作環(huán)境的變化，需定時(shí)刻度校正，因此希望能簡(jiǎn)化刻度校正過(guò)程，使用少量的標(biāo)定片確定射線的衰減曲線，為檢驗(yàn)在減少標(biāo)定片個(gè)數(shù)時(shí)各模型精度，選取部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)，使用不同模型進(jìn)行擬合并對(duì)比計(jì)算結(jié)果。選取數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，考慮不同數(shù)量數(shù)據(jù)點(diǎn)及數(shù)據(jù)點(diǎn)的不同分布等多種情況，并考察當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含整個(gè)厚度區(qū)間時(shí)的對(duì)刻度區(qū)間外部數(shù)據(jù)點(diǎn)計(jì)算的誤差，以檢驗(yàn)各模型的穩(wěn)定性。

表1 X射線測(cè)厚儀標(biāo)定測(cè)量數(shù)據(jù)

圖1 各擬合模型的相對(duì)誤差

1) 數(shù)據(jù)點(diǎn)包含全厚度區(qū)間

數(shù)據(jù)點(diǎn)包含最小厚度點(diǎn)和最大厚度點(diǎn)，其中空載數(shù)據(jù)在各模型中作為常數(shù)參與計(jì)算。首先按厚度均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)，數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)分別取4、5、6、8、10，按各模型進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果列于表2。由表2可看出，新非線性模型在數(shù)據(jù)點(diǎn)減少時(shí)計(jì)算的相對(duì)誤差基本穩(wěn)定，多項(xiàng)式模型的計(jì)算誤差隨選取數(shù)據(jù)點(diǎn)不同有小幅波動(dòng)，但變化幅度較小并在精度上略優(yōu)于新非線性模型。單能非線性模型計(jì)算的相對(duì)誤差基本穩(wěn)定，線性插值法計(jì)算的相對(duì)誤差隨數(shù)據(jù)點(diǎn)的減少明顯增大，這兩者相對(duì)誤差較前兩模型均較大。

考慮非均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)的情況，分別取5和7數(shù)據(jù)點(diǎn)，考察數(shù)據(jù)點(diǎn)集中在厚度較小、較大區(qū)間時(shí)各模型的誤差，結(jié)果列于表3。由表3可看出，對(duì)于非均勻數(shù)據(jù)點(diǎn)，新非線性模型的計(jì)算誤差與均勻選取時(shí)相比變化很小，穩(wěn)定性高，而多項(xiàng)式模型計(jì)算誤差變化相對(duì)較大，但總體上兩模型精度相當(dāng)。線性插值模型和單能非線性模型的計(jì)算誤差仍較大。

2) 數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含全厚度區(qū)間

在射線測(cè)厚中，若被測(cè)物厚度超出標(biāo)定范圍時(shí)通常會(huì)有較大的誤差，因此考察當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含整個(gè)厚度區(qū)間時(shí)的各模型對(duì)外延部分?jǐn)?shù)據(jù)點(diǎn)的計(jì)算誤差。分別選取4和6數(shù)據(jù)點(diǎn)，考察數(shù)據(jù)點(diǎn)不含最大厚度、不含最小厚度和二者均不含時(shí)的情況，計(jì)算結(jié)果列于表4。從表4可看出，當(dāng)選取數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含全厚度區(qū)間時(shí)，各模型計(jì)算結(jié)果的誤差均增大，而新非線性模型的精度變化相對(duì)較小，并在多數(shù)情況下優(yōu)于其他模型。誤差的增大主要來(lái)自于選取厚度區(qū)間外的數(shù)據(jù)點(diǎn)，圖2對(duì)比了當(dāng)選取不同數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)，新非線性模型和多項(xiàng)式模型擬合結(jié)果在各數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對(duì)誤差。從圖2可看出，在標(biāo)定范圍外兩個(gè)模型計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差均會(huì)增大，對(duì)于多項(xiàng)式模型，超出標(biāo)定范圍時(shí)誤差顯著增加，并呈發(fā)散趨勢(shì)，而新非線性模型在標(biāo)定范圍外誤差穩(wěn)定，無(wú)發(fā)散現(xiàn)象，在標(biāo)定范圍外各數(shù)據(jù)點(diǎn)的相對(duì)誤差均在1%以內(nèi)。

表2 均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)各模型均方相對(duì)誤差

表3 非均勻選取數(shù)據(jù)點(diǎn)時(shí)各模型均方相對(duì)誤差

表4 數(shù)據(jù)點(diǎn)不包含全厚度區(qū)間時(shí)各模型均方相對(duì)誤差

a——[1 4 7 10 13 15]；b——[9 12 15 18 21 25]；c——[1 7 13 19]；d——[8 14 20 25]

4 結(jié)論

本文通過(guò)實(shí)驗(yàn)室X光機(jī)測(cè)厚儀對(duì)已知厚度的25塊標(biāo)定片的測(cè)量數(shù)據(jù)，對(duì)比了選取不同標(biāo)定數(shù)據(jù)時(shí)各模型擬合結(jié)果的精度，當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)足夠多時(shí)，多項(xiàng)式模型的精度略優(yōu)于本文的新非線性模型，然而當(dāng)數(shù)據(jù)點(diǎn)減少且分布不均勻時(shí)，多項(xiàng)式模型的誤差顯著增加，新非線性模型精度基本穩(wěn)定，并在多數(shù)情況下優(yōu)于多項(xiàng)式模型，通常只取4數(shù)據(jù)點(diǎn)即能以較高精度確定衰減曲線。當(dāng)測(cè)量厚度在標(biāo)定范圍外時(shí)，新非線性模型的精度顯著優(yōu)于其他模型。

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