●方云兵 陳美英

(浙江師范大學(xué)婺州外國語學(xué)校 浙江金華 321025)

現(xiàn)代教學(xué)論認為，教學(xué)過程歸根到底是如何教會學(xué)生學(xué)習(xí).“學(xué)為中心”的數(shù)學(xué)課堂就是把學(xué)生學(xué)習(xí)作為教學(xué)中心，以學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主思考解決問題為主要學(xué)習(xí)形式，通過教師啟發(fā)學(xué)生思考達到深入理解數(shù)學(xué)的一種教學(xué)形式.“學(xué)生怎樣學(xué)，怎樣引導(dǎo)學(xué)生學(xué)，怎樣幫助學(xué)生學(xué)”是“學(xué)為中心”的精髓.本文試著從“三理解”的角度,即：理解教材、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)的角度，通過3個教學(xué)設(shè)計的案例談?wù)勛约旱囊恍┳龇?

1 理解教材——關(guān)注“怎樣引導(dǎo)學(xué)生學(xué)”

在對教材進行分析時，堅持宏觀把握教材、微觀分析教材，樹立“整體教材觀”，既要分析教學(xué)內(nèi)容所在節(jié)的教材處理、理解章前圖的內(nèi)涵，又要看到這部分內(nèi)容在整章中的地位和作用，甚至各種版本教材對這節(jié)內(nèi)容的處理，這樣就能從整體上理解本節(jié)內(nèi)容，更深入理解教材對于這部分內(nèi)容及其相關(guān)內(nèi)容的編寫意圖.首先要理解教學(xué)內(nèi)容，弄清“是什么”，明確例題的地位和作用，弄清習(xí)題與例題的關(guān)系，揣摩插圖的編排意圖，鉆研提示語和旁注；其次要理解教材整體結(jié)構(gòu)及前后關(guān)系，在概念體系中認識核心概念；最后要理解教學(xué)內(nèi)容所反映的思想方法.在依托教材的基礎(chǔ)上，根據(jù)實際需要把教材內(nèi)容通過問題的形式，對學(xué)生的有效思考進行啟發(fā)，最大程度地發(fā)揮教材的功能，把著力點放在“怎樣引導(dǎo)學(xué)生學(xué)”上.

案例1 “嘗試檢驗法”的教學(xué)設(shè)計(浙教版七年級上冊第5.1節(jié)“一元一次方程”)：

表1 代數(shù)式對應(yīng)值

教材的設(shè)計本意是銜接合作學(xué)習(xí)問題(3)(小強、小杰、張明參加投籃比賽，每人投了20次．小強投進10個球，小杰比張明多投進2個，3個人平均每人投進14個球．問小杰和張明各投進多少個).但是在實際教學(xué)過程中，絕大多數(shù)學(xué)生都是采用小學(xué)所學(xué)的逆運算的方法解方程(班級44位學(xué)生，只有10位學(xué)生采用嘗試檢驗).學(xué)生們很困惑，明明可以用小學(xué)的逆運算解簡單方程的方法直接求解，為什么要這么復(fù)雜進行嘗試檢驗?zāi)?？這樣的教學(xué)設(shè)計重教材、輕學(xué)生；重接受、輕理解；重結(jié)果、輕過程.在教學(xué)時教師講到為止，學(xué)生聽到為止，速戰(zhàn)速決，思想過程匆匆而來又匆匆而去，學(xué)生就囫圇吞棗地接受了，而沒有進行思想方法的引導(dǎo).學(xué)生對方程解的探究過程帶有一定的盲目性，完成不了知識內(nèi)容的內(nèi)化和數(shù)學(xué)經(jīng)驗的積累，更沒有從質(zhì)和量上豐富原有的思想方法.

設(shè)計改進 在上一環(huán)節(jié)讓學(xué)生自學(xué)判斷t=3是不是方程3t+1=7的解后思考：剛才我們在計算時發(fā)現(xiàn)，t=3不是原方程的解，那么方程的解是比3大還是比3?。磕闶窃趺聪氲?？

生：當(dāng)t=3時，左邊=10，比右邊大，說明取值太大了，應(yīng)取比3小的數(shù).

師：你會試著取幾？

生：取t=2.

師：按照剛才總結(jié)的判斷一個未知數(shù)的值是否為一元一次方程的解的方法和程序(代、算、比、判)，試一試.

這種求一元一次方程解的方法叫做嘗試檢驗法！

設(shè)計意圖 通過這一環(huán)節(jié)完成從“一元一次方程的解”教學(xué)環(huán)節(jié)過渡到“嘗試檢驗法解方程”，讓學(xué)生的思維有一個順勢而上的過程.

然后指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材內(nèi)容，思考以下問題：

師：x必須是整數(shù)嗎？

生：因為進球數(shù)不可能是小數(shù)，所以肯定都是整數(shù).

師：通過分析，方程解的范圍縮小了！

師：x可以取21，20嗎？

生：21不行，因為題目要求每人投20次.20也不行，如果是20的話，小杰就投了22次了，不符合題意.

師：通過分析，未知數(shù)的范圍又縮小了！

此時，教師又追問：x可以取9，10嗎？

生：不可以，因為平均數(shù)是14，小強只投進了10個球，另外2個人要比他投得多，平均數(shù)才會到14.

教師和學(xué)生一起歸納：嘗試檢驗法的一般步驟(略).

設(shè)計意圖 通過4個問題迫使學(xué)生不斷思考未知數(shù)取值的方法，體驗嘗試未知數(shù)取值的縮小過程.

跟蹤練習(xí) 對于方程3x-8=x，表2已給出部分未知數(shù)的值,請回答下列問題．

表2 方程對應(yīng)值

(1)表2中a=______,b=______，思考：方程的解應(yīng)在哪2個整數(shù)之間？

(2)寫出方程3x-8=x的解.

設(shè)計意圖 嘗試檢驗法是這節(jié)課的難點，筆者在處理時，增添教學(xué)環(huán)節(jié)間的過渡，深挖學(xué)生閱讀文本時容易“滑過”之處，設(shè)計啟發(fā)學(xué)生深度思考的問題，通過不斷追問，順著人們的認知規(guī)律把判斷一個未知數(shù)的值和嘗試檢驗法這2個知識點自然地銜接在一起.重新編制嘗試檢驗法的教學(xué)素材，由于教材例題中的數(shù)都是整數(shù)，給學(xué)生造成不科學(xué)的嘗試路徑，這又是本節(jié)課的一個難點，于是教師改編了上面的跟蹤練習(xí)，其目的是：使學(xué)生體會逐漸逼近的思想，把單純地填表格(代數(shù)式求值)變?yōu)殚_放地思考；使學(xué)生明白嘗試取值時，既可以是正數(shù)，也可以是負數(shù)，還可以是小數(shù).這樣既加強了對未知數(shù)取值的學(xué)法指導(dǎo)，又引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習(xí)信息進行整理歸納,使學(xué)生完整經(jīng)歷嘗試檢驗、嘗試取值的過程.

2 理解學(xué)生——關(guān)注“學(xué)生怎樣學(xué)”

在課堂教學(xué)中要始終堅持以學(xué)為中心，從學(xué)生的認知水平出發(fā)，以學(xué)定“問”，充分考慮學(xué)生已有的經(jīng)驗、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、思維特點，立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，用學(xué)生的眼睛看數(shù)學(xué)，由感性到理性、由淺入深地設(shè)計問題，真正引導(dǎo)和幫助學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題.

案例2 九年級上冊第1.1節(jié)“反比例函數(shù)概念”鞏固問題設(shè)計(案例來源：浙江省金華市開發(fā)區(qū)優(yōu)質(zhì)課評比).

1.下列函數(shù)中,y是x的反比例函數(shù)嗎？如果是，比例系數(shù)k是多少？

2.辨析題:兄弟2個人分吃1碗餃子，每人吃餃子的個數(shù)如表3所示:

表3 每人吃餃子的個數(shù)

(1)寫出兄吃的餃子個數(shù)y與弟吃的餃子個數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫x，y的取值范圍)；

(2)因為當(dāng)?shù)艹缘娘溩觽€數(shù)x增多時，兄吃的餃子個數(shù)y在減少，所以y與x成反比例,你認為對嗎？說說你是怎么想的.

3.y是x的反比例函數(shù)，表4給出了x與y的一些值:

表4 x與y的對應(yīng)值

(1)寫出這個反比例函數(shù)的表達式;

(2)根據(jù)表達式完成表4.

教師通過設(shè)計2個練習(xí)暗含反比例函數(shù)的2種表示方式(解析式法、表格法)，使學(xué)生在辨析中深刻理解反比例函數(shù)的本質(zhì).在鞏固練習(xí)2中，把學(xué)生存在的疑點、易混點呈現(xiàn)給學(xué)生.從字面上理解“反比例”，學(xué)生就有“增大而減小”這一首印象，再加上學(xué)生受小學(xué)所學(xué)和七年級科學(xué)相關(guān)知識中的成反比例關(guān)系的負遷移的影響，認為只要一個量增加、一個量減少就是反比例函數(shù)，特別是表3中的“逐漸增大”與“逐漸減少”更有迷惑性.這樣設(shè)計的優(yōu)點是通過學(xué)生的活躍爭執(zhí)以理服人，最后回到反比例函數(shù)的概念上，達到“理越辯越明”的教學(xué)效果.這個過程真正做到了“學(xué)為中心”，既關(guān)注結(jié)果，更關(guān)注過程.列表法本身也是函數(shù)的3種形式之一.設(shè)計表格的形式，把反比例函數(shù)的解析式隱藏在表格中，先判斷比例系數(shù)k，然后再求其余自變量和因變量的值，灌輸了“待定系數(shù)法”的數(shù)學(xué)思想.

3 理解數(shù)學(xué)——關(guān)注“怎樣幫助學(xué)生學(xué)”

理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提.教師“理解數(shù)學(xué)”的目的是讓學(xué)生“理解數(shù)學(xué)”，這也是教學(xué)的首要任務(wù).讓學(xué)生能“理解數(shù)學(xué)”主要通過課堂教學(xué)來完成，而進行課堂教學(xué)的效果要依托于教學(xué)設(shè)計.從課堂本身出發(fā)，教師更應(yīng)重視教學(xué)設(shè)計，使教學(xué)設(shè)計的落腳點放在“怎樣幫助學(xué)生學(xué)”，關(guān)注:學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識點的起點是什么？難點在哪里？怎樣突破難點？怎樣把復(fù)雜的問題通過層次設(shè)計使學(xué)生比較容易理解，理解深刻?

案例3 二元一次方程組解法1(案例來源:浙江省金華市三區(qū)教研活動公開課).

(1)

(2)

學(xué)生嘗試解答后,教師請學(xué)生口答解題過程.

生1：把式(2)代入式(1)得y=3，代入式(2)得x=1.

師：你們和他的答案一樣嗎？

生(全體)：一樣！

師：為什么把式(2)代入式(1)呀？為什么把y=3代入式(2)而不代入式(1)？

生2：這樣可以直接求出x，更簡單.

師：怎樣檢驗？

生3：代入方程組中的每一個方程,看方程2邊是否相等.

師：例1的解題步驟是什么？先做什么？再做什么？

生4：代入消元→回代求解→檢驗作答.

師：還有哪些注意點？

生5：整體代入時要添加括號、最后要檢驗.

本節(jié)課的核心思想是消元與轉(zhuǎn)化，除此之外，還涉及到程序化思想和簡化、優(yōu)化思想，在教學(xué)中也應(yīng)注意適度滲透.同時教師還應(yīng)時刻在課堂中把基本的數(shù)學(xué)思想方法與知識、技能融于一體，使學(xué)生在學(xué)習(xí)知識、技能的同時領(lǐng)悟到一定的數(shù)學(xué)思想方法，在運用思想方法的同時鞏固知識、技能，這樣，思想方法就有了載體，知識技能就有了靈魂，真正做到“學(xué)為中心”的課堂.鑒于以上認識，筆者對本環(huán)節(jié)進行了如下改進：

講解例題后，變式練習(xí)：

(1)如何把方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程？怎樣轉(zhuǎn)化比較簡便？

(2)哪個未知數(shù)的值可以先求出來？從哪里入手？問題解完了嗎？

(3)另一個未知數(shù)的值如何求？

(4)可以把x=y-2代回x-y=-2求解嗎？為什么？

(5)先求出的一個未知數(shù)的值可以代回到方程組中，求出另一個未知數(shù)的值嗎？代入哪個更簡單？

(6)你能總結(jié)代入法解二元一次方程組的一般步驟嗎？

代入消元法解二元一次方程組的基本步驟如圖1所示：

圖1

程序化解法也有消極的一面,它使運算成為一種機械操作.可能出現(xiàn)的情況是：學(xué)生遇到特定的情景，就機械地套用代入法的一般步驟；面對三元一次方程組時更是感到束手無策.

對問題的設(shè)置改進如下：

解二元一次方程組的本質(zhì)是消元，即把“二元”轉(zhuǎn)化為一元.消元的基本方法是代入法、加減法，這2種方法的本質(zhì)差別在消元的具體步驟上.代入消元先要將其中一個二元一次方程變形成用一個未知數(shù)的代數(shù)式表示另一個未知數(shù)的形式.變形的基礎(chǔ)是等式的基本性質(zhì)，這一步變形也是學(xué)習(xí)一次函數(shù)內(nèi)容必備的基礎(chǔ)，因此這種變形能力對學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)非常重要.加減消元法的本質(zhì)內(nèi)涵是整體思想，學(xué)生先利用等式的性質(zhì)把2個方程中其中一個未知數(shù)的系數(shù)變成相同，這樣整體加減時，才能達到消元的目的.加減消元中的整體思想是數(shù)學(xué)中常用的思想方法.從2種解法的運算程序和推理步驟看，代入消元法更具通性，加減消元法側(cè)重于方程變形的技巧，因此教材安排2個課時讓學(xué)生先學(xué)習(xí)代入法，再學(xué)習(xí)加減法.通過這樣的設(shè)計改進，幫助學(xué)生理解解二元一次方程組的通性通法，真正打造“學(xué)為中心”的成長課堂.

每個學(xué)生的學(xué)習(xí)品質(zhì)存在差異，對數(shù)學(xué)的理解存在差異，而教材的重、難點是教學(xué)的重心所在，是學(xué)生認知矛盾的焦點，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的困惑點.學(xué)習(xí)是新知識的生長過程，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中往往會遇到思維的障礙.“學(xué)為中心”的成長課堂要求學(xué)生在閱讀課本中的概念、定理等文本內(nèi)容以后，幫助學(xué)生深入理解概念的內(nèi)涵或定理的條件、結(jié)論而設(shè)置問題，面對不同層次的學(xué)生，使不同的學(xué)生思有所得、思有所悟.立足于學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”的問題串設(shè)計給學(xué)生搭建起“適切”的“腳手架”，由淺入深，環(huán)環(huán)相扣，層次遞進，形成了一條完整的問題鏈，滿足了不同層次的學(xué)生需求，幫助學(xué)生思考問題、分析問題，突破了學(xué)困點.

從教為中心到學(xué)為中心，是從研究怎樣教，到研究怎樣學(xué)，即怎樣引導(dǎo)學(xué)生學(xué)、怎樣幫助學(xué)生學(xué)的過程；是讓學(xué)生嘗試自主學(xué)習(xí)，主動獲取知識的過程；是生生合作、小組交流的進一步升華.“學(xué)為中心”的成長課堂，要求教師變“規(guī)定描述”為“引導(dǎo)建構(gòu)”，教學(xué)設(shè)計要找準知識的生長點，重學(xué)生感悟；變“列舉告知”為“辨析發(fā)現(xiàn)”;要能拓展知識的“延伸點”，重教師引悟；變“真題訓(xùn)練”為“內(nèi)化匹配”;要能突破學(xué)生的學(xué)困點，重學(xué)生頓悟.

[1] 李海東.理解數(shù)學(xué)是教好數(shù)學(xué)的前提——“中學(xué)數(shù)學(xué)核心概念、思想方法結(jié)構(gòu)體系及其教學(xué)設(shè)計的理論與實踐”初中第五次課題會議成果綜述[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2010(4)：1-4.

[2] 向慧英，李家寶.聯(lián)系實際巧設(shè)計 生成新知見實效——反比例函數(shù)的定義的教學(xué)實錄及評析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教育，2011(12):22-26.[3] 徐曉紅.問題設(shè)計應(yīng)基于理解[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2012(1/2):25-27.

[4] 楊紅芳.殊途能否同歸——兩節(jié)同課異構(gòu)案例引發(fā)的思考[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)：初中版，2011(11)：33-35.