貢玉昌， 張志良

(浙江師范大學 數(shù)理與信息工程學院, 浙江 金華 321004)

0 引 言

號筒揚聲器因其能量轉換效率遠高于直接輻射式揚聲器而獲得廣泛應用.為改善聲學性能，需在號筒揚聲器的壓縮驅動單元中設置相位塞.相位塞和球冠形振膜同軸，兩者之間形成等厚度的空腔.空腔中空氣在振膜驅動下形成聲波，經(jīng)相位塞的同軸環(huán)形通道傳播至號筒的喉口.若相位塞設計不當，該空腔中空氣的固有模態(tài)將會引起揚聲器聲輻射頻率響應的不均勻[1].迄今為止尚未有該固有模態(tài)和頻率的解析解.本文首先給出該問題的冪級數(shù)形式的解析解，然后給出近似解.

1 冪級數(shù)解析解

采用球坐標系，徑向距離r，天頂角θ，周向方位角φ.由于球冠形振膜和相位塞間的空腔厚度很薄(通常小于1 mm)，因此，徑向模態(tài)的本征頻率遠高于音頻范圍，音頻范圍內其他方向的模態(tài)在徑向可近似認為作均勻振動.另外，振膜和相位塞旋轉對稱，周向不均勻的模態(tài)不會被激發(fā).在此近似和假設下，空腔中空氣的聲波本征值問題可簡化為θ方向的勒讓德方程[1-2]

(1)

和邊界條件[1]

(2)

式(2)中,θ0為空腔邊緣處的張角.且有固有頻率和本征值l的關系式[1-2]

(3)

式(3)中:r0為空腔半徑；c0為空氣聲速.

在一般的波動問題中，波沿徑向傳播，勒讓德方程的本征值由θ=0和π時p值有限的自然邊界條件得到，即l為正整數(shù)[2].本問題中，聲波沿垂直于徑向的θ方向傳播，并要求在空腔邊緣處滿足剛性邊界條件，勒讓德函數(shù)一般不滿足該邊界條件.因此，勒讓德函數(shù)不是本問題的本征函數(shù)，本征值l不是整數(shù).當l不是整數(shù)時，傳統(tǒng)問題的勒讓德方程的解在θ=0時發(fā)散.筆者的任務是尋找非整數(shù)l本征值，同時在θ =0收斂的冪級數(shù)解.為此，將展開中心由傳統(tǒng)的常點θ=π/2改為奇點θ=0，即對方程作自變量變換

x=cosθ-1,

(4)

并對所得方程

x(x+2)p″+2(x+1)p′-l(l+1)p=0

(5)

在x=0處展開其解.容易證明該點為正則奇點，且奇點性質判定方程的根為重根0.故方程存在1個收斂的冪級數(shù)解

(6)

其系數(shù)遞推公式為

(7)

對足夠大的n，有an～-2-n.因此，解的收斂半徑為|x|<2，且收斂較快，計算中取30項已足夠精確.

方程的另一個解在展開中心θ=0處具有對數(shù)奇異性，因而在本問題中舍去.邊界條件(2)可表為

(8)

這是一個關于本征值l的非線性代數(shù)方程，可由數(shù)值方法確定，例如二分法或牛頓迭代法[3].l一旦確定，由式(6)計算模態(tài)，由式(3)得與第n個l值對應的固有頻率

(9)

2 近似解

文獻[4]發(fā)現(xiàn)了勒讓德函數(shù)和零階貝塞爾函數(shù)間的近似變換關系，本文利用該關系將勒讓德方程化為近似的貝塞爾方程，從而得到近似解.

勒讓德方程和零階貝塞爾方程分別對應從極點沿球面均勻傳播和從圓心向四周平面上均勻傳播的波.聲波從單位半徑的球面北極出發(fā)經(jīng)過弧長θ后，緯圈周長為2πsinθ，從聲能量流角度可知，該處聲波振幅平方應反比于sinθ.而如果在平面上，經(jīng)過同樣距離后，圓周長將是2πθ，該處振幅平方應反比于θ.按照以上物理分析，對勒讓德方程(11)作因變量變換[4]

(10)

得到

(11)

式(11)中，

(12)

由于Δl不是常數(shù)，所以，方程(11)不是嚴格的零階貝塞爾方程.但容易驗證，當θ在一般的實際號筒揚聲器的區(qū)間[0，π/3]內時，Δl的數(shù)值為0.333～0.355，變化幅度很小.對Δl取平均得

(13)

(14)

(15)

舍去在θ=0發(fā)散的諾埃曼函數(shù)，其解為零階貝塞爾函數(shù)

y=J0(λθ).

(16)

(17)

其不同h值的根已列表可查[2].由上述方程的一系列根xn，得本征值

λn=xn/θ0.

(18)

(19)

最終，模態(tài)由合并式(10)、式(16)和式(18)得到

(20)

而對應的固有頻率由合并式(9)、式(15)、式(13)和式(18)得到

(21)

表1 方程(17)的根的精確值和由式(9)計算的近似值比較

3 比較和結論

為了驗證近似解的精確程度，表2列出了2種解法計算得到的ln值，精確值根據(jù)式(8)計算，近似值由綜合了式(15)、式(18)和式(19)的下式

(22)

計算.結果表明，2種結果極為吻合.其原因如前所述：方程(11)中,Δl的最大0.015的變動幅度相對于l(l+1)最小13.41的值相比，其變動影響微不足道，在此情形下，方程已成為近似度極高的零階貝塞爾方程了.結果還表明ln值確實不是整數(shù).

表2 2種解法得到的ln值比較

模態(tài)的比較顯示在圖1中，同樣原因，2種方法得到的結果幾乎完全重合.隨著模態(tài)序數(shù)的增大，節(jié)圓數(shù)目增加，兩者數(shù)值相同.由邊界條件知，模態(tài)在邊緣處斜率為零.

圖1 前3個模態(tài)精確解與近似解完全重合

由于2種解所得結果極為吻合，實際數(shù)值計算中可綜合應用.例如由式(22)可方便得到本征值l(l+1)，進而由式(6)和式(9)計算模態(tài)和相應固有頻率.

通過在奇點展開冪級數(shù)，給出了號筒揚聲器壓縮驅動單元中振膜和相位塞間空腔內空氣本征振動的非整數(shù)階勒讓德方程的解析解，進一步將該方程轉換為零階貝塞爾方程，巧妙解決了本征超越方程的求根問題，由此得到的近似解結果與精確解結果極為吻合.本文結果可直接應用于號筒揚聲器相位塞的優(yōu)化設計和聲輻射頻響分析，同時對沿球面?zhèn)鞑ゲ▌訂栴}的研究和非整數(shù)階勒讓德方程的求解有借鑒作用.

參考文獻：

[1] 沈勇.2009電聲技術新進展[M].北京: 科學出版社,2010：105-130.

[2]梁昆淼.數(shù)學物理方法[M].2版.北京:人民教育出版社,1979.

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[4] 劉峰,唐香蓮,朱江.從振動波形研究貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)的漸近關系[J].大學物理,2009,28(8):11-14.