陳海彬，鄭玉，佟曉君，王力

（河北聯(lián)合大學(xué) 建筑工程學(xué)院，河北省地震工程研究中心，河北 唐山063009）

0 引 言

工程結(jié)構(gòu)可靠性理論對結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)能否符合安全可靠、耐久適用、經(jīng)濟(jì)合理、技術(shù)先進(jìn)、確保質(zhì)量要求，起著重要的作用。近年來，隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步與發(fā)展，結(jié)構(gòu)可靠度理論及其方法在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、結(jié)構(gòu)安全評估、結(jié)構(gòu)安全鑒定等諸多領(lǐng)域都得到了有效地運(yùn)用與發(fā)展［1－7］。1工程結(jié)構(gòu)中規(guī)定用可靠指標(biāo)來度量結(jié)構(gòu)的可靠性，目前確定結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的方法主要有：中心點(diǎn)法、驗(yàn)算點(diǎn)法、映射變換法、使用分析法、蒙特卡洛法及隨機(jī)有限元法等。工程上最常用的方法為驗(yàn)算點(diǎn)（即JC法），它的特點(diǎn)是能夠考慮非正態(tài)變量，在計(jì)算工作量增加不多的條件下，可對可靠指標(biāo)β進(jìn)行精度較高的近似計(jì)算。但是，在JC法計(jì)算過程中由于可靠指標(biāo)與設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)相互耦合，彼此制約，給數(shù)值計(jì)算帶來一定的難度。因此，尋求一種相對簡潔的方法進(jìn)行可靠度計(jì)算是目前工程上所需要的。

設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)是在滿足極限狀態(tài)方程條件下，最可能出現(xiàn)的荷載效應(yīng)和抗力效應(yīng)隨機(jī)變量組合，同時(shí)也是確定結(jié)構(gòu)可靠度的基本要素。本文基于這一物理涵義并應(yīng)用最大似然原理，給出了隨機(jī)變量分別為任意分布情況時(shí)確定求解結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的最大似然法，利用加權(quán)最小二乘方法，給出了一種求解可靠性指標(biāo)的新方法，并結(jié)合具體工程算例給出了確定結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的方法。

1 確定設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的似然方程

設(shè)X1，X2，…，Xn為結(jié)構(gòu)中n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且分別服從任意分布，其相應(yīng)的概率密度函數(shù)為fX1（x1），fX2（x2），…，fXn（xn），設(shè)x1，x2，…，xn是 相 應(yīng) 于 樣 本X1，X2，…，Xn的 一 個(gè) 樣 本 值，則 隨 機(jī) 點(diǎn)落在點(diǎn) （x1，x2，…，xn）的邊長分別為dx1，dx2，…，dxn的n維立方體領(lǐng)域內(nèi)的概率為：

設(shè)由隨機(jī)變量表示的結(jié)構(gòu)功能函數(shù)為：

極限狀態(tài)方程為：

依照設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的物理意義，在滿足式（3）條件下隨機(jī)變量X取值落在點(diǎn)x＊1，x＊2…，x＊n的任意小的鄰域時(shí)應(yīng)發(fā)生最大概率，構(gòu)造拉格朗日似然函數(shù)為：

式中：λ為拉格朗日乘子，對xi（i＝1，2，…，n） 和λ分別求偏導(dǎo)，并令其等于零有：

經(jīng)整理得：

l可取1到n之間的任意值。定義為分布密度特征值，（5）式可寫為：

聯(lián)立上面（8）、（9）n個(gè)方程，可解出，即為結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)。

如果獨(dú)立隨機(jī)變量為X1，X2，…，Xn都服從正態(tài)分布，可用下式直接計(jì)算可靠指標(biāo)

如果獨(dú)立隨機(jī)變量為X1，X2，…，Xn不服從正態(tài)分布，可通過當(dāng)量正態(tài)化的方法按下式計(jì)算

2 二維正態(tài)分布可靠性指標(biāo)的計(jì)算方法

國際結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合會（JCsS）推薦使用，驗(yàn)算點(diǎn)法，由于其克服了中心點(diǎn)法的缺點(diǎn)，并且保持了二階矩形式和極限狀態(tài)函數(shù)表達(dá)式之間的關(guān)系，成為結(jié)構(gòu)可靠度理論的重要組成部分。但是，當(dāng)極限狀態(tài)函數(shù)z為非線性時(shí)，通過z＝0的某一超切平面進(jìn)行近似，從而可能引起可靠性指標(biāo)計(jì)算值偏高，導(dǎo)致工程結(jié)構(gòu)安全隱患。

設(shè)

則有：

設(shè)直線方程：

其中：a、b為回歸系數(shù)。

令

由方程組

可以得到：

式中：

P1、P2和P3分別為點(diǎn)和驗(yàn)算點(diǎn)的概率，則有：

求得新的可靠性指標(biāo)為：

綜合考慮極限狀態(tài)方程的各種情況，所以二維正態(tài)分布的可靠性指標(biāo)為：

3 工程算例

（1）由分布密度特征值定義，可以得到

（2）任取l＝2并代入式（8）、（9）得到

聯(lián)立上兩式，運(yùn)用數(shù)值方法可解出設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)值：

按式（10）計(jì)算出可靠性指標(biāo)：

（3）由式（13）、（14）可以得到：

由三點(diǎn)求得加權(quán)權(quán)數(shù)為：

由式（16）、（17）可以得到回歸系數(shù)為：

求得新的可靠性指標(biāo)為：

所以可靠性指標(biāo)為：

4 結(jié) 論

（1）在滿足極限狀態(tài)方程的條件下，利用最大似然原理，提出一種確定設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)及可靠性指標(biāo)的最大似然方法。文中提出的方法計(jì)算相對簡潔，物理意義比較明晰，能夠滿足目前工程上可靠性計(jì)算的要求。

（2）利用加權(quán)最小二乘法，給出了一種求解二維正態(tài)分布的可靠性指標(biāo)方法，該方法求得的可靠性指標(biāo)更加接近真值，從而減少安全隱患。此方法可以進(jìn)一步推廣到多維正態(tài)分布，甚至多維非正態(tài)分布情況。

（3）將本文方法應(yīng)用到工程算例中，表明最大似然方法在求解可靠性指標(biāo)及設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的過程中避免了傳統(tǒng)方法的反復(fù)迭代，簡化了計(jì)算過程。加權(quán)最小二乘方法得到的可靠性指標(biāo)更精確，更安全。

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