張盼盼,張 倩,韓惠麗

(寧夏大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院,寧夏 銀川 750021)

分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老而又新鮮的概念.早在整數(shù)階微積分創(chuàng)立的初期,就有像L’Hospital, Leibniz等這樣的數(shù)學(xué)家開(kāi)始考慮分?jǐn)?shù)階微積分的定義. 一般地, 具有分形幾何特性的函數(shù)均存在分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù), 所以說(shuō)分?jǐn)?shù)階微積分是描述反常物理現(xiàn)象的一種強(qiáng)有力工具. 近年來(lái)分?jǐn)?shù)階微積分被廣泛地應(yīng)用于流體力學(xué)、粘彈性阻尼器、混沌現(xiàn)象等反常問(wèn)題[1-2], 這些問(wèn)題經(jīng)過(guò)建模后得到的方程大多數(shù)都是分?jǐn)?shù)階積分方程甚至是分?jǐn)?shù)階積分微分方程[3-4]. 但由于分?jǐn)?shù)階微積分具有歷史依賴(lài)性與全域相關(guān)性的特點(diǎn),增加了分?jǐn)?shù)階方程的求解難度, 分?jǐn)?shù)階積分方程的求解更是眾多學(xué)者所關(guān)注的問(wèn)題.

泰勒級(jí)數(shù)是求解積分方程及積分微分方程的有力工具, 文獻(xiàn)[5-7]分別利用泰勒級(jí)數(shù)求解Volterra、Fredholm及非線(xiàn)性的Volterra-Fredholm積分方程; 文獻(xiàn)[8]利用泰勒級(jí)數(shù)求解一類(lèi)分?jǐn)?shù)階積分微分方程. 然而, 迄今為止分?jǐn)?shù)階積分方程數(shù)值理論研究還處于萌芽狀態(tài),文獻(xiàn)[9]利用R-L分?jǐn)?shù)階積分定義特點(diǎn), 將分?jǐn)?shù)階積分算子離散化,并求得一類(lèi)方程的數(shù)值解; 文獻(xiàn)[10]利用Haar小波方法求得分?jǐn)?shù)階Volterra積分方程的數(shù)值解. 受上述文獻(xiàn)的啟發(fā), 本文給出分?jǐn)?shù)階積分方程的另一種數(shù)值解法, 即利用泰勒級(jí)數(shù)將分?jǐn)?shù)階積分方程轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性方程組,利用Cramaer法則求得原方程的數(shù)值解,并以數(shù)值算例驗(yàn)證該算法有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

定義[1]設(shè)f(x)∈L[a,b],α>0. 則稱(chēng)

(1)

為Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分, 其中t∈[a,b],Γ(α)為Gamma函數(shù).

引理[6]u(x)在[a,b]上可導(dǎo), 若u(k)(a)=0,k=0,1,…,n-1, 且m≤u(n)(a)≤M, 則

(2)

定理若函數(shù)u(x)在[a,b]上n+1階連續(xù)可導(dǎo), 則對(duì)于任意x,x0∈[a,b], 有

(3)

其中:Rn(x)→0(x→x0,n→∞)

證明由條件知u(x)具有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 所以u(píng)(n+1)(x)在[a,b]上連續(xù). 此時(shí), 必存在常數(shù)A,B, 使得A≤u(n+1)(x)≤B, 令

易見(jiàn),Rn(x)→0(x→x0,n→∞).

2 主要結(jié)果

對(duì)分?jǐn)?shù)階積分方程

(4)

經(jīng)變形有

(5)

由上述定理知,

(6)

即

(7)

將式(7)代入方程(5), 得

整理得

令

則有

a00(x)u(x)+a01(x)u'(x)+…+a0n(x)u(n)(x)=f(x).

(8)

式(8)是關(guān)于未知函數(shù)u(x)的沒(méi)有初始條件的n階線(xiàn)性常微分方程, 所以解微分方程求u(x)的辦法不可行. 我們?cè)噲D構(gòu)造另外n個(gè)關(guān)于u(x)的n階線(xiàn)性常微分方程, 然后解方程組求解未知函數(shù). 為此, 利用Leibniz求導(dǎo)公式對(duì)方程(5)兩端關(guān)于變量x求導(dǎo),

(9)

將式(6)代入式(9)并整理得

則有

a10(x)u(x)+a11(x)u'(x)+…+a1n(x)u(n)(x)=f'(x).

(10)

重復(fù)上面的步驟, 可得

ai0(x)u(x)+ai1(x)u'(x)+…+ain(x)u(n)(x)=f(i)(x).

(11)

其中

i=1,2,…,n；j=0,1,…,n.

由此, 得到關(guān)于u(x),u'(x),…,u(n)(x)的方程組

AU=F,

其中

只要矩陣A可逆, 利用Cramer法則, 就可求解未知函數(shù)u(x). 為此, 我們對(duì)矩陣A進(jìn)行可逆性分析.

經(jīng)驗(yàn)證, 上式右端的行列式的值不為0. 因此, 當(dāng)x≠a時(shí),|A|≠0, 即矩陣A可逆. 由Cramer法則得

u(x)=det(M)/det(A),

其中:

圖1 數(shù)值解與解析解的比較

3 數(shù)值算例

求解分?jǐn)?shù)階積分方程

(12)

為了檢驗(yàn)本文逼近算法的有效性及優(yōu)越性,表1給出方程(12)的解析解及對(duì)應(yīng)的絕對(duì)誤差.

表1 方程(12)的誤差估計(jì)

若采用文獻(xiàn)[9]的數(shù)值逼近算法，方程(12)數(shù)值解的絕對(duì)誤差大致在1×10-3左右，而本文給出的算法雖然簡(jiǎn)單，但當(dāng)n取到很小的值時(shí)就能獲得很好的逼近效果.

參考文獻(xiàn):

[1]陳文,孫洪文,李西成. 力學(xué)與工程問(wèn)題的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)建模[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2010.

[2]郭柏靈,蒲學(xué)科,黃鳳輝. 分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M]. 北京: 科學(xué)出版社, 2011.

[3]Podlubny I. Fractional Differential Equation[M]. New York: Academic Press, 1999.

[4]Almeida R, Torres D F M. Calculus of variations with fractional ferivatives and fractional Integrals[J]. Appl Math Lett,2009,22(12): 1816-1820.

[5]Maleknejad K, Aghazadeh N. Numerical solution of Volterra integral equations of the second kind with convolution kernel by using Taylor series expansion method[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,161(3): 915-922.

[6]Maleknejad K, Aghazadeh N. Numerical solution of second kind Fredholm integral equations system by using a Taylor series expansion method [J]. Applied Mathematics and Computation,2006,175(2): 1229-1234.

[7]Yalcinbas S. Taylor polynomial solutions of nonlinear Volterra-Fredholm integral equations[J]. Applied Mathematics and Computation,2002,127(3): 195-206.

[8]Huang Li, Li Xianfang. Approximate solution of fracional integro-differential equations by Taylor expansion method[J]. Computer Math Appl, 2011,24(62): 1127-1134.

[9]Shakoor P, Ricardo A, Delfim F M T. Approximation of fractional integrals by means of derivatives[J]. Computer Math Appl,2012,64(13): 3090-3100.

[10]朱雙云,苗福生,韓惠麗. 分?jǐn)?shù)階第一類(lèi)Volterra積分方程小波解法[J]. 寧夏大學(xué)學(xué)報(bào): 自然科學(xué)版,2012,33(2): 130-134.