何世娜，胡曉毅

（廈門大學 信息科學與技術學院，水聲通信與海洋信息技術教育部重點實驗室，福建 廈門361005）

隨機共振的概念是由邦濟等［1－3］在研究古氣象冰川問題上提出的，它是在一定的非線性條件下，由弱周期信號、噪聲、非線性系統(tǒng)協(xié)同作用而導致的系統(tǒng)強周期輸出的現(xiàn)象.該理論目前已廣泛應用于生物、化學、光學等弱信號檢測的研究中，以及雷達、聲納、圖像處理和語音識別等通信領域的工作中.常規(guī)的弱信號處理方法都是采用線性濾波器，達到濾除帶外噪聲的作用，但對與信號同頻帶的帶內噪聲就束手無策了，特別是在寬帶噪聲的背景下，提取微弱信號就更困難.隨機共振與傳統(tǒng)檢測算法的不同之處就在于它不是以盡可能的濾除噪聲為目的，而是最大限度地利用噪聲，通過非線性系統(tǒng)將噪聲能量轉化為信號能量，從而起到增強弱信號的效果.因此，它不存在帶外還是帶內的概念，這為我們實現(xiàn)水聲信道中低信噪比環(huán)境下的信號檢測提供了新的思路，將其應用于水聲通信系統(tǒng)中可以克服傳統(tǒng)濾波效果的局限性、信噪比瓶頸、功率受限等問題，進而降低檢測成本，有很高的研究價值.通常情況下，水聲信道的頻段范圍在2～30kHz左右，而受到絕熱近似理論的條件限制，傳統(tǒng)的隨機共振只能應用于小于1Hz左右的小參數(shù)（低頻）信號［4－5］，因此，必須采用大參數(shù)（高頻）信號的隨機共振法提取水聲信號.目前，針對大參數(shù)的信號提取，研究人員相繼提出了一些算法，主要有調制法、二次采樣法、時域變換法和參數(shù)調節(jié)法［6－7］.前3種方法是從信號變換入手，核心思想是變頻處理.調制法提取出的信號頻點很準確，但前提是需知道信號的大致頻率，而實際通信系統(tǒng)中，比如跳頻系統(tǒng)，接收端并不知道該時刻的頻點是什么，并且由于該算法會造成信號的幅度發(fā)散，收斂效果不好，對于非相干解調的系統(tǒng)而言會對系統(tǒng)性能產生一定的影響；二次采樣對采樣率有比較嚴格的要求，計算復雜度提升；時域變換的方法相對簡單，但具體壓縮倍數(shù)多少為最匹配并沒有準確的定義.參數(shù)調節(jié)法是通過改變系統(tǒng)參數(shù)，使雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)共振的頻段往高頻移動.參數(shù)變換法可以實現(xiàn)信號、系統(tǒng)之間的最佳匹配，但目前參數(shù)的選取還是靠經驗值.本文結合參數(shù)變換和頻域壓縮變換法綜合對信號進行處理，并通過水池實驗，證實了該方法在水池環(huán)境、低信噪比下有很好的弱信號提取效果.該方法既保留了頻域壓縮變換的低復雜度又擁有參數(shù)變換法的最佳匹配度.

1 隨機共振原理

受隨機白噪聲與外力作用的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)模型可以由Langevin方程表示，即

其中，x為系統(tǒng)輸出，a、b為非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的結構參數(shù)，二者為大于0的實數(shù)，該非線性雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的勢函數(shù)可以表示為

其勢阱圖如圖1所示.

式（1）和（2）表示單位質點同時受到外力和噪聲驅動時，在雙勢阱中的過阻尼運動.可以看出，沒有外力和噪聲作用時，勢壘高為勢函數(shù)在x處取極小值，在x＝0處取極大值.當僅僅存在周期信號時，雙穩(wěn)態(tài)勢阱在信號的驅動下隨著信號頻率f發(fā)生周期傾斜，相對勢壘高度交替地升降，當信號的幅度（A）小于臨界值時，質點只能在某個勢阱中進行局部周期運動，具體哪個勢阱由初始狀態(tài)決定；當只有噪聲作用時，質點在兩個勢阱間按Kramers躍遷率（rk）進行躍遷切換，rk取決于噪聲分布和強度，表達式為

圖1 當s（t）與Γ（t）均為0時，式（1）表示的雙穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)Fig.1 Potential function of the bistable system，when s（t）＝0，Γ（t）＝0in equation（1）

當系統(tǒng)受到弱信號和噪聲同時作用時，周期信號給系統(tǒng)勢阱的切換引入周期性變化，逐漸與噪聲達成同步.當信號、噪聲、系統(tǒng)非線性達到匹配時，即使此時信號幅度A小于AC，質點也可以在兩個勢阱間按信號頻率f躍遷.換句話說，這里匹配的意思就是假設信號不變，當噪聲強度由小變大時，系統(tǒng)的輸出信噪比也隨之由小增大，當達到一個峰值點（即最佳匹配）時，信噪比又由大到小減小，這類似于物理過程中的共振現(xiàn)象.

2 高頻弱信號的隨機共振

對于雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)來說，實現(xiàn)共振必須滿足3個條件［8］：1）信號本身并不足以推動系統(tǒng)越過勢壘進入另一個狀態(tài)；2）當信號與噪聲混合后，有推動系統(tǒng)進入另外一個狀態(tài)的可能，也就是說，噪聲的大小要“足夠”；3）信號頻率、幅度、噪聲都較小.由于粒子受阻尼作用的影響，描述非線性系統(tǒng)的郎之萬方程隨著信號頻率的增大，達到共振所需的信號能量闕值增高，并且噪聲通過雙穩(wěn)系統(tǒng)后呈現(xiàn)出能量向低頻轉移的現(xiàn)象，高頻部分能量甚微，導致隨機共振對于高頻信號不敏感、難實現(xiàn).為了解決這個問題，本文先通過尺度變換法將信號頻率壓縮到低頻段，再通過改變系統(tǒng)參數(shù)使之達到最佳匹配.具體實現(xiàn)過程如下：

1）參數(shù)變換：參數(shù)b描述的是雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)本身運動速度，本文統(tǒng)計出了b值相對于a值的最佳倍數(shù)與具體信噪比之間的關系.根據(jù)隨機共振的條件，輸入的周期信號的振幅A必須滿足：A≤AC，AC為系統(tǒng)躍遷闕值；同時對于噪聲來說，必須含有足夠大的能量完成躍遷，即σ＞AC（其中σ是噪聲的均方根值），所以發(fā)生隨機共振必須滿足A＜AC＜σ，實驗過程中可以在信號沒來前觀測到噪聲的幅度范圍，根據(jù)輸出信噪比的經驗值估計出信號幅值，從而

同時，已經證明，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)隨機共振數(shù)值仿真的必要條件為

2）時域變換：該部分有2種變換方式，假設信號為s（t）＝Asin（2πf0t），則式（1）寫為

第1種變換：假設τ＝kt，則式（6）可以表示為

從式（7）可以看出，時間尺度變換相當于系統(tǒng)整體引入一個壓縮系數(shù)k.

該種變換方法是在將系統(tǒng)的參數(shù)歸一化，然后把變頻的功能集中在信號幅度上，即歸一化變換后相當于信號和噪聲同時乘以比例因子當b＝a時，系統(tǒng)（8）相當于a＝b＝k的系統(tǒng)（7），本文將這2種方法結合，一方面根據(jù)信號真實頻率選擇適合的a來將信號歸一化到想要的頻點上，另一方面微調k進一步平滑信號，接著調節(jié)b使系統(tǒng)達到最佳匹配.

3）采樣率和碼元時寬的選取：根據(jù)奈奎斯特采樣定律，采樣率大于信號頻率的2倍即可，但實際上［9］即使采樣率達到信號的30多倍時，雙穩(wěn)系統(tǒng)還是會發(fā)散，采樣率需達到信號頻率的200倍時系統(tǒng)才有可能發(fā)生共振.對碼元時寬而言，通過仿真結果顯示，隨機共振的效果隨著碼元時寬的增加而增大，但在現(xiàn)階段的水聲通信系統(tǒng)中，單載波非相干調制技術的最高可靠通信速率在200～400bits／s之間，因此，假設采用四進制碼元，對應的最佳時長為即5～10ms之間，這里為了使雙穩(wěn)系統(tǒng)得到足夠的能量，將時長選擇為10ms.

3 水池實驗

本文選用2kHz的高頻單頻點信號進行水池實驗，驗證了隨機共振技術在水池環(huán)境條件下有很好的弱信號提取效果.信號參數(shù)為采樣率：600kHz，總符號個數(shù)：10，單頻信號頻點：2kHz，碼元長度：10ms，發(fā)送信號幅度：1V，同步信號頻段：2～3kHz上調頻，數(shù)據(jù)幀格式如表1所示.

從圖2可以看出信號3和信號4已淹沒在噪聲中，從接收信噪比上看，這4組信號分別大概有7，5，1dB以及小于0dB左右.將該2組數(shù)據(jù)進行隨機共振處理.根據(jù)a值為100倍信號頻率這一經驗值［9］，左右遍歷尋找最佳性能a值，再循環(huán)搜索最佳匹配b值并壓縮5倍的k值，共振前后信號的時域波形如圖3～4.

這里將隨機共振前的接收信號與本地信號相關，得到一個未經過隨機共振處理的相關峰，記作before＿max，再將通過隨機共振后的信號與本地信號相關，得到另一個相關峰，記作after＿max，暫且將這兩個相關峰的差值叫做相關峰增益，即A＝after＿max－before＿max，由于相干解調的判決依據(jù)是相關峰的大小，自相關峰能量越大，判決準確度越高，從這個相關峰增益可以看出信號經過隨機共振處理前后信號能量的變化情況.這里通過調整不同的系統(tǒng)參數(shù)a和b，得到了相關峰增益與a、b的關系，如圖5所示.

從信號3和信號4的隨機共振處理后信號的自相關峰值增益結果可得：隨著信噪比的降低，隨機共振的效果有所下降，在不同的系統(tǒng)參數(shù)下，自相關峰增益最大值由230降到110左右；信噪比一定的條件下，隨著a的增大，系統(tǒng)性能逐漸增大，當a從700 000再繼續(xù)增大時，增益趨于穩(wěn)定；同時，a值一定的情況下，系統(tǒng)性能隨著b值的增大呈現(xiàn)先增大后減小的趨勢，且增益達到最大值時的b值隨著信噪比的降低而增大，由信號3的70增大到信號4的110左右.

表1 數(shù)據(jù)幀格式Tab.1 Data frame format

time－domain waveform of single－frequency signal

圖3 信號3隨機共振前后時域波形Fig.3 Time－domain waveform of signal 3before and after processed by the stochastic resonance system

圖4 信號4隨機共振前后時域波形Fig.4 Time－domain waveform of signal 4before and after processed by the stochastic resonance system

圖5 信號3與信號4在不同系統(tǒng)參數(shù)下隨機共振后自相關峰值增益Fig.5 Autocorrelation peak－gain of signal 3and signal 4processed under different parameter of the stochastic resonance system

為了更明顯地給出隨機共振的效果，給出信號2和信號4隨機共振處理前后相關峰的大小，這里需要說明的是，信號2和信號4在隨機共振處理前后未做任何預處理.從圖6可以看出，隨機共振前，信號2的自相關峰值為316，信號4的自相關峰值為103，共振后信號4的自相關峰值為375，比信號2共振前的峰值還大，且信號2比信號4的發(fā)射功率大12dB，由此可見，隨機共振技術有效地取得了一定的信噪比增益.

圖6 信號4隨機共振前、后與信號2隨機共振前的自相關峰Fig.6 Autocorrelation peak－gain of signal 4before，after processed and signal 2 after processed by the stochastic resonance system

4 結 論

本文在傳統(tǒng)小參數(shù)雙穩(wěn)態(tài)隨機共振系統(tǒng)的基礎上，結合尺度變換與參數(shù)調節(jié)2種方法，實現(xiàn)了單頻點2kHz的高頻弱信號的提取，并通過水池實驗驗證了該方法的有效性.然而在實際應用中還存在一些問題：首先是采樣率的問題，實驗過程中，采樣率需高于信號頻率200倍時系統(tǒng)才會收斂，隨著信號本身頻率的提升，采樣率隨之大幅度增大.如何降低系統(tǒng)的采樣率是后續(xù)研究的課題.其次，關于特定頻點所對應的最佳系統(tǒng)參數(shù)的選擇目前仍是遍歷的方法，最佳參數(shù)與頻點之間的對應關系仍需進一步探討研究.

［1］Benzi R，Sutera A，Vulpiani A.The mechanism of stochastic resonance［J］.J Phys A，1981，14（11）：453－457.

［2］McNamara B，Wiesenfeld K，Roy R.Observation of stochastic resonance in a ringLaser［J］.Physical Review Letters，1988，60：2626－2629.

［3］Collins J，Chow C C，Imhoff T T.A periodic stochastic sonance in excitable systems［J］.Physical Review E，1995，52（4）：R3321.

［4］李華鋒，鮑榮浩，徐博候.應用隨機共振進行海洋噪聲背景下的信號檢測［J］.浙江大學學報：工學版，2004，38（5）：640－643.

［5］薛力偉.隨機共振系統(tǒng)的參數(shù)選取與應用研究［D］.蘭州，蘭州大學，2009.

［6］劉利姣，黃光明，杜茜，等.大參數(shù)隨機共振的兩種方法及數(shù)值仿真［J］.信息與電子工程，2007，5（3）：182－185.

［7］張良斌，張良英.調頻隨機共振實現(xiàn)大參數(shù)信號檢測［J］.測控技術，2009，28（1）：89－91.

［8］高雯.基于非線性動力學原理的弱信號檢測理論及提取方法研究［D］.北京：北京郵電大學，2009.

［9］胡蔦慶.隨機共振微弱特征信號檢測理論與方法 ［M］.北京：國防工業(yè)出版社，2012.