董之然，楊 煒

（廈門大學(xué)物理與機(jī)電工程學(xué)院，福建 廈門361005）

在航天、軍事、日常生活領(lǐng)域中，光學(xué)元件在各種精密光學(xué)系統(tǒng)中的應(yīng)用日益廣泛，對光學(xué)元件的表面精度要求也越來越高.在現(xiàn)有方法中，多采用統(tǒng)計(jì)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)，如用峰谷（PV）值、均方根誤差來反映光學(xué)元件的表面形貌［1］，但是光學(xué)元件表面的微觀形貌結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出隨機(jī)性、無序性和多尺度性特征，反映出的是一種非平穩(wěn)的隨機(jī)過程，對于同一光學(xué)表面，不同的采樣長度、儀器分辨率和測量方法所測出的統(tǒng)計(jì)參數(shù)值是不同的［2］.大量研究表明：光學(xué)元件表面具有統(tǒng)計(jì)學(xué)上的自相似性結(jié)構(gòu)［3］，在一定尺度范圍內(nèi)具有分形特征，而分形幾何理論對描述具有標(biāo)度律特征的自然現(xiàn)象具有很好的適用性.因此，本文采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算化學(xué)機(jī)械拋光（chemical mechanical polishing，CMP）加工后光學(xué)元件表面的分形維數(shù)，同時(shí)分析了分形維數(shù)與表面?zhèn)鹘y(tǒng)評價(jià)參數(shù)PV值近似線性的關(guān)系，驗(yàn)證了可以用分形維數(shù)來評價(jià)光學(xué)元件表面形貌.

其次，對于如何提高CMP光學(xué)元件的表面精度，國內(nèi)外學(xué)者觀點(diǎn)較為統(tǒng)一，都是采用控制拋光壓力、拋光盤和工件相對轉(zhuǎn)速2種參數(shù)來實(shí)現(xiàn)，但是對于這2個(gè)因素何者更顯著影響精度鮮有報(bào)道.因此，本文提出了建立分形維數(shù)與拋光參數(shù)的響應(yīng)曲面回歸模型，評價(jià)各拋光參數(shù)對分形維數(shù)的影響權(quán)重，旨在通過控制顯著性較強(qiáng)的拋光參數(shù)來獲取更好的光學(xué)元件表面質(zhì)量.

1 分形維數(shù)計(jì)算方法

分形幾何理論是研究和處理具有標(biāo)度率特征不規(guī)則圖形的強(qiáng)有力工具［4］，其重要參數(shù)“分形維數(shù)D”能完全地表達(dá)出光學(xué)元件表面所有的微觀結(jié)構(gòu)信息，是一種描述微觀輪廓的有效手段.分形維度常用計(jì)算方法有尺碼法、盒計(jì)數(shù)法、方差法、功率譜法和結(jié)構(gòu)函數(shù)法等［5］.尺碼法和盒維數(shù)的計(jì)算結(jié)構(gòu)與理論維數(shù)相差太大，方差法抗干擾性差，功率譜法的本質(zhì)是傅里葉變換，計(jì)算過程存在許多近似，精度不高，因此在工程運(yùn)用中，多采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法來計(jì)算分形維數(shù).結(jié)構(gòu)函數(shù)法直接使用表面高度數(shù)據(jù)，能比較真實(shí)地反映光學(xué)元件的微觀結(jié)構(gòu).

結(jié)構(gòu)函數(shù)法是將表面輪廓曲線視為一個(gè)空間序列Z（x），則它具有分形特征的光學(xué)元件表面輪廓曲線采樣數(shù)據(jù)，其結(jié)構(gòu)函數(shù)滿足［6］

其離散表達(dá)式為

式中，τ為尺度；X［i］為測量輪廓高度；N為采樣點(diǎn)數(shù)；n為i的任意增量；G為形貌特征參數(shù).

根據(jù)已知輪廓高度數(shù)據(jù)，求出結(jié)構(gòu)函數(shù)S（τ），在雙對數(shù)logS（τ）－logτ坐標(biāo)中用最小二乘法進(jìn)行擬合，得到直線斜率α，則分形維數(shù)可表示為：

2 光學(xué)表面分形維數(shù)計(jì)算

為了研究光學(xué)元件表面分形特點(diǎn)，尋找分形維數(shù)與PV值的關(guān)系，本文設(shè)計(jì)了光學(xué)元件CMP實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證分形維數(shù)評價(jià)光學(xué)元件表面形貌的可行性，實(shí)驗(yàn)條件如下：POLI－400CMP拋光機(jī)，主要包括夾持工件的拋光頭、拋光盤、拋光液噴射裝置等部件，如圖1所示，拋光加工材料為JGS1、K9光學(xué)玻璃，采用120nm SiO2CMP拋光液，拋光機(jī)可控參數(shù)為拋光壓力P和轉(zhuǎn)速V（文中的轉(zhuǎn)速均為拋光盤和工件相對轉(zhuǎn)速）.基于2個(gè)可控參數(shù)，設(shè)計(jì)一個(gè)二因素三水平的完全因子實(shí)驗(yàn)，參數(shù)具體設(shè)置如表1所示.拋光完成后，利用Taylor Hobson 1240輪廓儀（測針長度為60mm，分辨率為0.8nm）對光學(xué)元件表面輪廓進(jìn)行測量（采樣長度為10mm，采樣間隔為0.125μm，共采集80 000個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)），從而得到PV值，最后采用結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算出分形維數(shù)，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表2所示.

圖1 POLI－400CMP拋光機(jī)Fig.1 POLI－400CMP polishing machine

圖2為JGS1、K9光學(xué)玻璃CMP加工后的輪廓曲線，根據(jù)輪廓曲線上的采樣數(shù)據(jù)，利用式（2）計(jì)算出結(jié)構(gòu)函數(shù)S（τ）與尺度τ的雙對數(shù)曲線，分別如圖3所示.可以看出，拋光表面存在一個(gè)有限界定尺度nc，在一定的尺度范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)函數(shù)主要由工藝參數(shù)決定［7］，結(jié)構(gòu)函數(shù)與尺度具有良好的線性關(guān)系，存在明顯的分形特征.但超出這個(gè)范圍后，微觀輪廓相互作用減弱，工藝參數(shù)的作用減弱，其他外界干擾因素對表面輪廓的影響逐步明顯，使得結(jié)構(gòu)函數(shù)與尺度呈現(xiàn)出非線性的關(guān)系.

表1 CMP拋光實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置Tab.1 CMP polishing experiment parameter settings

表2 光學(xué)玻璃不同輪廓線的分形維數(shù)Tab.2 The fractal dimension of the profile of optical glass is different

圖2 JGS1，K9光學(xué)玻璃的表面輪廓曲線Fig.2 GS1，K9optical glass surface profile curve

通過實(shí)驗(yàn)，可以看出JGS1、K9光學(xué)玻璃表面的分形維數(shù)具有以下特征：

1）分形維數(shù)不受采樣長度的影響，分形維數(shù)包含光學(xué)元件表面的所有結(jié)構(gòu)信息，是光學(xué)表面信息的一個(gè)固有特性，具有尺度不變性的特征，適合所有測量尺度下運(yùn)用.

2）采樣點(diǎn)數(shù)數(shù)量對分形維數(shù)有一定的影響，如圖3所示，分形維數(shù)是通過結(jié)構(gòu)函數(shù)法計(jì)算求得的，大量的測量數(shù)據(jù)點(diǎn)會降低計(jì)算誤差，會使結(jié)構(gòu)函數(shù)與尺度的關(guān)系趨于穩(wěn)定，提高分形維數(shù)計(jì)算值的穩(wěn)定性；相反過于少量的數(shù)據(jù)使得結(jié)構(gòu)函數(shù)與尺度的線性關(guān)系不明顯，分形維數(shù)容易受到測量儀器、外界環(huán)境的干擾因素的影響，分形維數(shù)計(jì)算值產(chǎn)生較大誤差，根據(jù)文獻(xiàn)［8－10］，每毫米采樣長度的采樣點(diǎn)數(shù)一般都要在1 000個(gè)以上為宜.

圖3 JGS1，K9的雙對數(shù)曲線Fig.3 The double logarithmic curve of JGS1，K9

3）分析表2中PV值和分形維數(shù)的關(guān)系可以看出，PV值與分形維數(shù)存在一定的近似線性關(guān)系，PV值反映的是光學(xué)元件表面微觀輪廓的幅值參數(shù)，而分形維數(shù)反映的是表面間距和幅值的綜合參數(shù)，使得這種線性關(guān)系并不確定.PV值越小，所對應(yīng)的分形維數(shù)的值就越大，分形維數(shù)值越大，表面輪廓越復(fù)雜，微觀結(jié)構(gòu)越精細(xì)，表面越光滑，質(zhì)量越好，所以當(dāng)PV值小且分形維數(shù)大時(shí)，可認(rèn)為表面質(zhì)量較高.

3 拋光參數(shù)與分形維數(shù)的關(guān)系

為了更好地指導(dǎo)加工，在分析了分形維數(shù)與PV值的基礎(chǔ)上，需研究拋光參數(shù)對分形維數(shù)的影響權(quán)重，為此，利用上述實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)建立拋光參數(shù)與分形維數(shù)的響應(yīng)曲面回歸模型.

響應(yīng)曲面法，也稱為回歸設(shè)計(jì)，這類實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)主要是尋找實(shí)驗(yàn)指標(biāo)與各因子間的定量規(guī)律，并建立響應(yīng)曲面回歸模型［11］.與多元線性正交設(shè)計(jì)、正交多項(xiàng)式設(shè)計(jì)等相比較，響應(yīng)曲面法考慮的因素很多，運(yùn)算非常繁雜，建立的是復(fù)雜的多維空間曲面較接近實(shí)際情況.響應(yīng)曲面法首先要尋找一個(gè)合適的近似方程來表征響應(yīng)‘y’與一系列可控參數(shù)｛x1，x2，…，xn｝之間的真正的函數(shù)關(guān)系，通常一些未知或者非線性的函數(shù)關(guān)系可以利用二次響應(yīng)模型［12］來表示：

式中，y為響應(yīng)；b為回歸系數(shù)；x為可控參數(shù)；ε為噪聲誤差.

根據(jù)以上分析，本實(shí)驗(yàn)有2個(gè)可控參數(shù)，故響應(yīng)曲面方程形式可改為：

利用表2實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，得到拋光壓力、轉(zhuǎn)速、分形維數(shù)的響應(yīng)曲面方程如下：

JGS1的響應(yīng)曲面方程：

K9的響應(yīng)曲面方程：

對上述響應(yīng)曲面方程進(jìn)行方差分析，結(jié)果如表3所示.由表3方差分析可以看出：JGS1響應(yīng)曲面方程的F值大于F分布下95%置信水平下單側(cè)臨界值F0.05（5，3）＝9.01且p＝0.018＜0.05，說明該回歸方程擬合程度好，實(shí)驗(yàn)誤差小，模型顯著，能用來表征CMP拋光工藝中拋光壓力、轉(zhuǎn)速和分形維數(shù)之間的關(guān)系；而K9響應(yīng)曲面方程的F值大于F0.05（5，3）＝9.01且p＝0.035＜0.05，該回歸方程能表征拋光參數(shù)與分形維數(shù)三者之間關(guān)系，但方程擬合程度較小，實(shí)驗(yàn)誤差較大，顯著性也不如JGS1回歸方程.

表3 JGS1和K9響應(yīng)曲面方程的方差分析Tab.3 Analysis of variance of JGS1and K9response surface equation

圖4為拋光壓力和轉(zhuǎn)速對JGS1光學(xué)表面分形維數(shù)的影響.當(dāng)拋光壓力處于固定水平值時(shí)，分形維數(shù)隨著轉(zhuǎn)速的提高而逐漸增大，且增長幅度較大.當(dāng)轉(zhuǎn)速處于固定水平值時(shí)，分形維數(shù)隨著拋光壓力的提高而逐漸減小，但減小幅度較小.對拋光壓力、轉(zhuǎn)速進(jìn)行雙因子方差分析，得到分析結(jié)果，如表4所示.由表4拋光參數(shù)顯著性檢測結(jié)果可知，拋光壓力的F＝12.49＞F0.05（2，4）＝6.94且p＝0.019＜0.05，拋光壓力對分形維數(shù)有顯著影響；轉(zhuǎn)速的F＝27.59＞F0.05（2，4）＝6.94，p＝0.005＜0.01；說明轉(zhuǎn)速對分形維數(shù)有極顯著影響.

圖4 JGS1光學(xué)玻璃CMP拋光參數(shù)對分形維數(shù)影響的響應(yīng)面（a）和等高線圖（b）Fig.4 Response surface（a）and contour plot indicating the effect of the CMP polishing parameters on the fractal dimension of JGS1optical glass

圖5 K9光學(xué)玻璃CMP拋光參數(shù)對分形維數(shù)影響的響應(yīng)面（a）和等高線圖（b）Fig.5 Response surface（a）and contour plot（b）indicating the effect of the CMP polishing parameters on the fractal dimension of K9optical glass

結(jié)合圖5拋光壓力和轉(zhuǎn)速對K9光學(xué)表面分形維數(shù)的影響與表4拋光參數(shù)顯著性檢測結(jié)果可得出，轉(zhuǎn)速對分形維數(shù)有極顯著影響，當(dāng)拋光壓力一定時(shí)，分形維數(shù)隨著轉(zhuǎn)速增加而逐漸減小，減小幅度較大；拋光壓力對分形維數(shù)有顯著影響，且當(dāng)轉(zhuǎn)速一定時(shí)，分形維數(shù)隨著拋光壓力的增加而逐漸減小，但減小幅度較小.

根據(jù)上述分析，在CMP加工中，拋光壓力與轉(zhuǎn)速對JGS1、K9光學(xué)表面分形維數(shù)有顯著影響，但轉(zhuǎn)速的顯著性要遠(yuǎn)大于拋光壓力.拋光壓力的提高使JGS1、K9光學(xué)表面分形維數(shù)逐漸減小，減少幅度較??；轉(zhuǎn)速的提高使JGS1光學(xué)表面分形維數(shù)逐漸增大，K9光學(xué)表面分形維數(shù)逐漸減小，且幅度較大.拋光參數(shù)對JGS1光學(xué)表面分形維數(shù)的顯著性影響都要略大于K9光學(xué)表面的分形維數(shù).

表4 JGS1和K9拋光參數(shù)P、V的方差分析Tab.4 Analysis of variance of JGS1and K9polishing parameters P，V

4 結(jié) 論

本文采用分形幾何理論對JGS1、K9光學(xué)玻璃表面質(zhì)量的評價(jià)方法進(jìn)行研究和探討，并通過CMP實(shí)驗(yàn)分析了JGS1、K9光學(xué)玻璃表面的分形特征以及CMP拋光參數(shù)、分形維數(shù)、PV值之間關(guān)系，得到以下結(jié)論：

1）光學(xué)元件表面具有分形特性，分形維數(shù)具有尺度不變性的特征，但一定程度上受采樣點(diǎn)數(shù)的影響.

2）PV值與分形維數(shù)存在一定的近似線性關(guān)系，可認(rèn)為當(dāng)PV值小且分形維數(shù)大的，光學(xué)元件表面質(zhì)量較高.

3）CMP實(shí)驗(yàn)中，擬合出的JGS1、K9光學(xué)玻璃表面響應(yīng)曲面回歸模型方程適合用于表征分形維數(shù)與拋光壓力、轉(zhuǎn)速之間的關(guān)系，比較接近實(shí)際情況；拋光壓力、轉(zhuǎn)速對分形維數(shù)的值都有顯著影響，但轉(zhuǎn)速的影響要大得多.

4）基于拋光參數(shù)、分形維數(shù)、PV值之間關(guān)系，在今后實(shí)際加工中，應(yīng)優(yōu)先控制轉(zhuǎn)速，以取得較高的光學(xué)元件表面分形維數(shù)和較低的PV值，獲得較好的光學(xué)元件表面質(zhì)量.

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