(1.92941部隊 葫蘆島 125001)(2.海軍駐連云港地區(qū)軍事代表室 連云港 222006)

艦炮隨動控制系統(tǒng)PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域計算研究*

夏全國1張志華2

(1.92941部隊 葫蘆島 125001)(2.海軍駐連云港地區(qū)軍事代表室 連云港 222006)

PID控制器因其結構簡單、魯棒性強,是艦炮隨動控制系統(tǒng)應用最為廣泛的控制策略。在艦炮隨動控制系統(tǒng)PID控制器設計中,獲得控制效果優(yōu)良控制器的最大難點就是準確地獲得控制器參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域,因此論文針對艦炮隨動控制系統(tǒng)設計的特點,給出了一種基于廣義Hermite-Biehler定理計算艦炮隨動控制系統(tǒng)PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的算法,通過Matlab仿真計算驗證了算法的有效性。

艦炮隨動控制系統(tǒng);PID控制器;穩(wěn)定域

ClassNumberTJ391

1 引言

PID控制器是艦炮隨動控制系統(tǒng)應用最為廣泛的控制策略[1～6]。PID控制器參數(shù)的優(yōu)化設計目的是在保證控制系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下,控制系統(tǒng)同時還滿足一定指標要求。PID控制器參數(shù)優(yōu)化設計的方法很多,從某種意義上,設計出控制效果優(yōu)良的PID控制器的最大難點就是準確地獲得PID控制器參數(shù)的穩(wěn)定區(qū)域[7]。判定穩(wěn)定問題吸引研究人員超過了一個世紀,最早的、最為人熟知的解決方案是Routh-Hurwitz準則。還有其它一些與之等價條件,Hermite-Biehler(以下簡稱HB)定理[8]就是其中一個,HB定理給出了一個判定給定實多項式是Hurwitz的充要條件,即通過計算HB定理中定義的符號關系式的值是否等于閉環(huán)特征多項式的最高次冪來判斷多項式是否為Hurwitz的,但利用HB定理計算艦炮隨動控制器參數(shù)穩(wěn)定域時,不難發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式的實部和虛部都含有控制器參數(shù)kp、ki、kd,無法對HB定理中定義的符號關系式的值進行求解。因此本文給出了一種運用文獻[9]中的廣義HB定理計算艦炮隨動控制控制器參數(shù)穩(wěn)定域的算法,使得計算參數(shù)穩(wěn)定域的問題得到簡化。

2 問題描述與定義

艦炮隨動PID控制系統(tǒng)結構框圖如圖1所示,圖中u(t)為控制輸入,e(t)為誤差信號,rin(t)為輸入量,yout(t)為輸出量。

圖1 隨動系統(tǒng)結構框圖

閉環(huán)特征多項式:δ(s,kp,ki,kd)=sD(s)+(ki+kds2)N(s)+kpsN(s)。

穩(wěn)定域問題描述:對于確定的kp,ki,kd范圍,閉環(huán)特征多項式δ(s,kp,ki,kd)是Hurwitz,也就是多項式的所有根在開左半平面。

定義1 標準符號函數(shù)sgn[x]表達式:

(1)

定義2 一n階關于s的實系數(shù)多項式a(s)=a0+a1s+…+ansn,定義l(a(s))和r(a(s))分別表示a(s)在開平面左半平面和右半平面根的個數(shù)。

定義3a(s)奇、偶分解表達式為a(s)=ae(s2)+sao(s2),頻域表達式為

a(s)=ae(-ω2)+jωao(-ω2)

(2)

閉特征多項式δ(s,kp,ki,kd)頻域表達式為

δ(ω,kp,ki,kd)=p(ω,ki,kd,kp)+jq(ω,ki,kd,kp)

(3)

δ(ω,kp,ki,kd)的實部和虛部都含kp,ki,kd,造成求解kp,ki,kd范圍困難,因此引入N*(s)=N(-s)=Ne(s2)-sNo(s2),則

v(s) =δ(s,kp,ki,kd)N*(s)

=[s2(Ne(s2)Do(s2)-De(s2)No(s2))

+(ki+kds2)((Ne(s2)Ne(s2)

-s2No(s2)No(s2))]

+s[(De(s2)Ne(s2)-s2Do(s2)No(s2)

+kp(Ne(s2)Ne(s2)-s2No(s2)No(s2))]

(4)

由于N*(s)的引入,這樣v(s)的實部包含ki,kd,虛部包含kp,使求解問題簡單,當且僅當v(s)和N*(s)在閉右半平面有相同的零點個數(shù)時,δ(s,kp,ki,kd)是Hurwitz的。

v(s)頻域表達式為v(jw)=δ(jw,kp,ki,kd)N*(jw)=p(ω,ki,kd)+jq(ω,kp)其中:

p(ω,ki,kd)=p1(ω)+(ki-kdω2)p2(ω)
q(ω,kp)=q1(ω)+kpq2(ω)

p1(ω)=-ω2(Ne(-ω2)Do(-ω2)

-De(-ω2)No(-ω2))

p2(ω)=Ne(-ω2)Ne(-ω2)+ω2No(-ω2)No(-ω2)
q1(ω)=ω(De(-ω2)Ne(-ω2)+ω2Do(-ω2)No(-ω2))
q2(ω)=ω(Ne(-ω2)Ne(-ω2)+ω2No(-ω2)No(-ω2))

(5)

3 計算穩(wěn)定域中kp范圍算法

v(s)和N*(s)在閉右半平面有相同的零點個數(shù)的必要條件是q(ω,kp)至少有M個不同的奇重非負實根[10]。

(6)

式中m為N(s)的最高階數(shù),m

由上述判斷條件可以得到容許的kp范圍,但不是穩(wěn)定域中kp范圍,kp范圍最終還得通過是否能找到與其匹配的ki-kd來確定。計算算法步驟如下:

步驟1 對給定的N(s)和D(s),根據(jù)式(4)和式(5)計算p1(ω)、p2(ω)、q1(ω)和q2(ω);

步驟2 計算l(N(s))和r(N(s)),根據(jù)式(6)計算M值,確定q(ω,kp)最少不同的奇重非負實根。

步驟3 依據(jù)M值、q1(ω)和q2(ω)計算容許的kp范圍[kpmin,kpmax]。

4 計算穩(wěn)定域中ki-kd域算法

由廣義Hermite-Biehle定理可知,如果0=ω0<ω1<ω2<…<ωl-1是q(ω,kp)不同的奇重非負實根,且ωm=∞則有

n-(l(N(s))-r(N(s)))=

(7)

式中ij=sgn[p(ωj)],j=0,1,…,l。

一個kp對應一組q(ω,kp)不同的奇重非負實根,由于式(7)左邊為已知,則可以得到一組或幾組ij組合滿足等式,再通過ij=sgn[p(ωj)],j=0,1,…l得到p(ωj,ki,kd)的符號,進而得到一組或幾組(跟ij的組合有關)關于ki,kd的不等式組,通過求解不等式組,得到一組或幾組ki-kd的域,取并集,即得到某一kp值下ki-kd的域。計算算法步驟如下:

步驟1 設定kp=kpmin,step=(kpmax-kpmin)/N,N為采樣次數(shù);

步驟2 如果kp>kpmax跳到步驟5,否則根據(jù)kp計算得到q(ω,kp)不同的奇重非負實根0=ω0<ω1<ω2<…<ωl-1,ωm=∞;

步驟3 依據(jù)n-(l(N(s))-r(N(s)))值,得到ij各種組合Ik={ij},k=1,2…,根據(jù)ij=sgn[p(ωj)],j=0,1,…,l確定p(ωj,ki,kd)的符號,進而得到k組關于ki,kd不等式組;

步驟4 解每組關于ki,kd不等式組,得到k組ki-kd域Sg,g=1,2,…,k,如果Sg的并集非空,則作為本次kp對應的ki-kd域,kp=kp+step返回步驟2;如果Sg的并集是空集,kpmin=kp+step,kp=kp+step返回到步驟2;

步驟5 繪制三維kp,ki,kd域,算法結束。

5 仿真計算

假設被控對象傳遞函數(shù):

5.1 計算kp容許范圍

N(s)=S3-2S2-S-1;

N*(s)=N(-s)=-S3-2S2+S-1;

D(s)=S6+2S5+32S4+26S3+65S2-8S+1;

Ne(s2)=-2S2-1;No(s2)=S2-1;

De(s2)=S6+32S4+65S2+1;

Do(s2)=2S4+26S2-8;Ne(-ω2)=2ω2-1;

No(-ω2)=-ω2-1;

De(-ω2)=-ω6+32ω4-65ω2+1;

Do(-ω2)=2ω4-26ω2-8。

由式(5)可得:

p1(ω)=ω10-35ω8+87ω6+54ω4-9ω2
p2(ω)=ω6+6ω4-3ω2+1
q1(ω)=-4ω9+89ω7-128ω5+7ω3-ω
q2(ω)=ω7+6ω5-3ω3+ω

(8)

則q(ω,kp)=-4ω9+(89+kp)ω7+(6kp-128)ω5+(75-3kp)ω3+(kp-1)ω。

計算l(N(s))=2和r(N(s))=1,根據(jù)式(6)計算可得M=3,即q(ω,kp)至少有三個不同的奇重非負實根,才能保證閉環(huán)特征多項式是Hurwitz,通過Matlab編程,解得kp∈(-24.75,1)。

5.2 計算ki-kd域

當kp=-18時

q(ω,-18)=q1(ω)-18q2(ω)

=-4ω9+71ω7-236ω5+129ω3-19ω

這時q(ω,-18)不同的奇重非負實根為

ω0=0,ω1=0.5195,ω2=0.6055,
ω3=1.8804,ω4=3.6848

同時定義ω5=∞,因為m+n=10是偶數(shù),且l(N(s))-r(N(s))=2-1=1,(-1)l-1sgn[q(∞,-18)]=-1,由式(7)可得I={i0,i1,i2,i3,i4,i5}有五種組合滿足,I=6={i0,i1,i2,i3,i4,i5}·(-1),分別是:

I1={-1,-1,-1,1,-1,1}
I2={-1,1,1,1,-1,1}
I3={-1,1,-1,-1,-1,1}
I4={-1,1,-1,1,1,1}
I5={1,1,-1,1,-1,-1}

(9)

對于I1,kp=-18時,ki-kd穩(wěn)定域必須滿足下面不等式組:

(10)

解上述不等式可得ki-kd穩(wěn)定域S1,同理可以求出I2,I3,I4,I5對應的穩(wěn)定域S2,S3,S4,S5。最后取S1,S2,S3,S4,S5并集,獲得圖2,kp=-18時對應的ki-kd穩(wěn)定域。對于kp∈(-25,1)每個不同值,重復上述計算,能夠得到使系統(tǒng)穩(wěn)定的(kp,ki,kd)集合值,集合如圖3所示。

圖2 kp=-18時對應的ki-kd穩(wěn)定域

圖3 系統(tǒng)穩(wěn)定的(kp,ki,kd)集合

圖2中共有三個區(qū)域,兩個黑色區(qū)域為穩(wěn)定區(qū)域,每個區(qū)域各取一組PID控制器參數(shù),通過Matlab仿真可得控制系統(tǒng)對輸入階躍信號的響應曲線,如圖4所示。

圖4 控制系統(tǒng)對階躍信號響應曲線

仿真結果表明:PID控制器參數(shù)在本文給出算法計算出的穩(wěn)定區(qū)域取值時,控制系統(tǒng)對輸入階躍信號的響應在震蕩若干個周期后趨于穩(wěn)定,進而驗證了算法的有效性。

6 結語

本文把廣義HB定理應用到艦炮隨動系統(tǒng)P1D控制器參數(shù)穩(wěn)定域計算之中。首先將閉環(huán)特征多項式構造成方便求解的形式,使得多項式實部只包含ki、kd,虛部只包含kp;再通過判定兩多項式閉右半平面有相同零點個數(shù)的必要條件計算kp的范圍;再利用廣義Hermite-Biehler定理計算控制系統(tǒng)穩(wěn)定時PID控制器參數(shù)ki、kd的范圍;最后通過仿真驗證了算法的有效性。本方法可為工程設計人員提供工程指導,具有一定的工程應用價值。

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[10]DATTA A, HO M T, S P Bhattacharyya. Structure and Synthesis of PID controllers[M]. London:Springer,2000.

CalculationofthePIDControllerParameterforNavalGunServoControlSystem

XIA Quanguo1ZHANG Zhihua2

(1. No. 92941 Troops of PLA, Huludao 125001)(2. Naval Agent Office in Lianyungang, Lianyungang 222006)

PID controller is the most widely used control strategy in naval gun servo control system, because of its simple structure and strong robust. How to accurately obtain the stability of the controller parameter region is the biggest difficulty in design of effective PID controller. Therefore, according to the characteristics of naval gun servo control system design, an algorithm for calculating the PID controller parameter stability domain is presented based on generalized Hermite-Biehlef theory. The effectiveness of algorithm is verified by Matlab simulation.

naval gun servo control system, PID controller, stability domain

2013年11月17日,

:2013年12月28日

夏全國,男,碩士,研究方向:艦炮武器系統(tǒng)。張志華,男,碩士,研究方向:艦炮火控系統(tǒng)。

TJ391DOI:10.3969/j.issn1672-9730.2014.05.014