時(shí)統(tǒng)業(yè), 吳 涵, 韋曉萍

(海軍指揮學(xué)院 信息系, 南京 211800)

關(guān)于定積分的一個(gè)性質(zhì)及其加權(quán)推廣

時(shí)統(tǒng)業(yè), 吳 涵, 韋曉萍

(海軍指揮學(xué)院 信息系, 南京 211800)

通過建立與高階可微函數(shù)有關(guān)的恒等式, 證明了有關(guān)文獻(xiàn)給出的關(guān)于定積分的一個(gè)上界, 并給出誤差估計(jì),最后給出對(duì)帶有權(quán)函數(shù)的定積分的一個(gè)上界．

定積分; 可微函數(shù); 上界; 誤差估計(jì); 權(quán)函數(shù)

引言

定理A[1]設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 且f(2n)(x)≥0. 令

則有

設(shè)函數(shù)f在[a, b]上有任意階導(dǎo)數(shù), 且存在常數(shù)M>0, 使得|f(2n)(x)|≤M對(duì)任意n∈Z+和任意x∈[a, b]都成立, 則有

本文的目的是通過建立關(guān)于2n階或2n?1階可微函數(shù)的一個(gè)積分恒等式, 給出定理A的一個(gè)不同的證明．然后分別在的情況下, 給出不等式(1)的誤差估計(jì), 最后給出不等式(1)的帶有兩個(gè)獨(dú)立參數(shù)的加權(quán)推廣．

為方便起見, 記

引理1設(shè)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則有

其中

證明記

簡(jiǎn)單計(jì)算可得

由分部積分法, 得

式(3)、(4)相加即得式(2)．

引理2設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則有

其中

證明容易看出p1′(x)=?k1( x),p′2(x)=?k2(x ). 由分部積分法, 得

由引理1的式(2), 即可得到式(5)．

引理3設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 令

則有

其中

證明簡(jiǎn)單計(jì)算可得

由分部積分法, 得

式(7)、(8)相加即得式(6)．

主要結(jié)果

定理1設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n階(n≥2)連續(xù)導(dǎo)數(shù), 若f(2n)≥0, 則式(1)成立．

證明利用引理1并注意到k( x)在[a, c]∪(c, b]上關(guān)于x=c對(duì)稱, 得

因?yàn)閒(2n)≥0, 故f(2n?1)在[a, c]上單調(diào)不減, 于是當(dāng)x∈[a, c]時(shí)有f(2n?1)(x)?f(2n?1)(a+b?x )≤0. 又因k1( x)≤0, 故有Jn≥0, 即式(1)成立．

定理2設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), 則有

證明由引理1, 有

利用|k( x)|在[a, b]上關(guān)于x=c對(duì)稱及k2(x)≥0, 得

由式(10)、(11)可得到式(9)的第一個(gè)不等式．由引理2類似可證式(9)的第三個(gè)不等式．

由引理1, 得

當(dāng)x∈(a, x0)時(shí), k1′(x)<0; 當(dāng)x∈(x0, c)時(shí), k1′( x)>0, 故k1( x)在x=x0取最小值. 又k1(x)≤0, 故

由式(12)、(13)得式(9)的第二個(gè)不等式．由引理2類似可證式(9)的第四個(gè)不等式．

由引理2和H?lder不等式, 得

利用|p( x)|在[a, b]上關(guān)于x=c對(duì)稱及p1( x)≥0, 得

由式(14)、(15)、(16)得式(9)的第五個(gè)不等式．

定理3設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), g:[a, b]→R是正的可積函數(shù), 且

若f(2n)≥0, 且是常數(shù)), 則有

證明式(17)即Kn≥0. 由引理3, 有

因f(2n)≥0, 故要證明只需證明(x)≥0即可. 當(dāng)x∈(a, c)時(shí),可表示為

所以?(x)在(a, c)單調(diào)增加, 故有?(x)≤?(c)=d1≤c1, 于是有l(wèi)1( x)≥0. 類似可證l2(x)≥0．

注式(17)可表示為

其中

利用Taylor展開式, 得

其中ξ∈(a, c). 同理有γ2≥0．故式(17)的最好結(jié)果是在c1=d1, c2=d2時(shí)取得．

推論1設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), g:[a, b]→R是正的可積函數(shù), 且關(guān)于x=c對(duì)稱, 常數(shù)若f(2n)≥0, 則有

由于式(18)中λ的系數(shù)非負(fù), 故式(18)的最好結(jié)果在λ=d1時(shí)取得．特別是當(dāng)g≡1,時(shí), 得

證明在定理3中取c1=c2=λ即得．

推論2設(shè)函數(shù)f:[a, b]→R有2n( n≥2)階連續(xù)導(dǎo)數(shù), g:[a, b]→R是正的可積函數(shù). 若f(2n)≥0, 則

特別是當(dāng)g關(guān)于x=c對(duì)稱時(shí), 有

當(dāng)n=2時(shí), 由上式得到文[2]的結(jié)果:

[1] 文家金, 張日新, 王挽瀾．Hermite-Hadamard 不等式的擴(kuò)張(英文)[J]. 成都大學(xué)學(xué)報(bào), 2005, 24(4): 241～247

[2] 程海來(lái). Fejér不等式的注記[J]. 大學(xué)數(shù)學(xué), 2014, 30(1): 38～40

A Property and Its Weighted Generalization About Definite Integral

SHI Tong-ye, WU Han, WEI Xiao-ping
(Department of Information, PLA Naval Command College, Nanjing 211800, China)

Some integral identities involving higher order differentiable functions are established. A new proof of an upper bound on definite integral is given by the identity. Error estimations and an upper bound on definite integral with weighted function also are given.

definite integral; differentiable function; upper bound; error estimation; weighted function

O178; O172

A

: 1672-5298(2014)04-0001-05

2014-08-20

時(shí)統(tǒng)業(yè)(1963?), 男, 河北張家口人, 碩士, 海軍指揮學(xué)院信息系副教授. 主要研究方向: 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)