羅超 鄭建華

(1 中國空間技術研究院載人航天總體部, 北京 100094)

(2 中國科學院空間科學與應用研究中心, 北京 100190)

太陽帆日心定點懸浮轉移軌道設計

羅超1鄭建華2

(1 中國空間技術研究院載人航天總體部, 北京 100094)

(2 中國科學院空間科學與應用研究中心, 北京 100190)

研究了太陽帆航天器日心定點懸浮軌道(HFDO)的轉移軌道設計問題，以球坐標形式建立了太陽帆的動力學模型，基于該模型給出在日心懸浮軌道基礎上實現(xiàn)定點懸浮的條件，提出了一種實現(xiàn)日心定點懸浮的轉移軌道設計方法。首先，確定定點懸浮的位置；然后，設計經過該位置的繞日極軌軌道；最后，實施軌道減速實現(xiàn)定點懸浮，并給出了解析形式的軌道控制律。結合太陽極地觀測任務，設計了定點懸浮在太陽北極1 AU處的太陽帆轉移軌道。仿真結果表明：該軌道轉移方案總耗時3.5年，太陽帆定點到黃北極距日心1 AU處，此后只要保持太陽光垂直照射帆面，即可維持穩(wěn)定的懸浮狀態(tài)。

太陽帆；日心懸浮軌道；軌道設計；定點懸浮

1 引言

太陽帆航天器是一種利用太陽光壓獲得推進力進行宇宙航行的新型飛行器，被認為是未來人類探索深空的有效手段。太陽帆航天器與傳統(tǒng)的采用化學推進的航天器最大區(qū)別在于，它不需要攜帶燃料，在太陽光壓作用下可以持續(xù)加速，最終達到傳統(tǒng)航天器5～10倍的速度。

高性能的太陽帆可以實現(xiàn)一些具有特殊科學意義的非開普勒軌道，日心懸浮軌道就是其中很具有代表性的一類軌道。文獻[1]提出太陽帆在太陽光壓作用下能夠懸浮在黃道面的上方或下方，且軌道為周期性軌道，稱這類軌道為日心懸浮軌道。由于日心懸浮軌道完全脫離了黃道面，且軌道面不包含中心天體太陽，對日觀測將不受黃道面內小天體及宇宙塵埃的影響，觀測精度大大提高，合適的軌道參數(shù)設計還能實現(xiàn)與地球公轉同步的日心懸浮軌道，方便對地通信。

文獻[2-4]系統(tǒng)地研究了日心懸浮軌道的設計和穩(wěn)定性，通過選擇不同的軌道周期將懸浮軌道分為三種類型，并給出了軌道的實現(xiàn)條件和保持方案，分析了軌道的穩(wěn)定性。文獻[5]研究了日心懸浮軌道附近的編隊飛行問題。文獻[6]應用遺傳算法結合序列二次規(guī)劃(SQP)算法的混合優(yōu)化算法，設計了從地球逃逸軌道到日心懸浮軌道的太陽帆轉移軌道。文獻[7]在圓型限制性三體動力學模型下研究了實現(xiàn)行星懸浮軌道的太陽帆轉移軌道設計問題。然而，文獻[6-7]的研究對象均為普通懸浮軌道，其轉移軌道設計方法不適用于定點懸浮。太陽極地觀測任務要求太陽帆定點懸浮在黃北極上空，相對太陽的軌道速度為零，相對普通懸浮軌道而言，實現(xiàn)定點懸浮的轉移軌道設計難度更大。

本文首先描述了日心懸浮軌道，以球坐標形式建立了太陽帆的軌道動力學模型，并在該模型的基礎上提出了一種日心定點懸浮軌道(HFDO)的轉移軌道設計方法。該方法可實現(xiàn)太陽帆的日心定點懸浮，且軌道控制律具有解析形式，太陽帆的姿態(tài)不需要頻繁機動，易于工程應用。最后，結合太陽極地觀測任務，利用本文提出的方法設計了定點懸浮在黃北極1 AU處的太陽帆轉移軌道，并對軌道設計方案進行了驗證。

2 日心懸浮軌道

繞日飛行的太陽帆由于遠離行星，可以認為只受到太陽引力和太陽光壓的作用。太陽光壓在理想太陽帆上產生的加速度ac可由式(1)表示[2]。

(1)

式中：α為太陽光與帆面法向矢量n的夾角，稱為錐角；μ為太陽引力常數(shù)；r為太陽帆到日心距離矢量r的大??；β為太陽帆的光壓因子，定義為太陽光垂直照射帆面時的光壓與太陽對帆引力的比值，只與太陽帆自身的質量面積比σ有關，即

(2)

式中：標稱質量面積比σ*=1.53g/m2。

圖1為懸浮高度z、軌道半徑ρ、軌道角速度ω的日心懸浮軌道，ψ和φ分別為黃道經度和緯度。sτζγ為太陽帆軌道坐標系，其中，δ為帆面法線矢量n在sτζ平面內的投影與sζ的夾角，稱為轉角，與錐角α共同描述n在空間內的指向。圖中使用的慣性坐標系OXYZ為J2000日心黃道坐標系，O′X′Y′Z′為旋轉坐標系。在旋轉坐標系下，太陽帆的運動方程如下。

(3)

式中：V為太陽引力在帆上產生的速度矢量，其大小V=-μ/r，-V為太陽引力在帆上產生的加速度。

圖1 日心懸浮軌道

(4)

(5)

分析可知，式(4)和式(5)分別是維持懸浮軌道對太陽帆姿態(tài)控制的要求和對太陽帆光壓因子的要求。只要根據(jù)任務要求設計日心懸浮軌道的3個獨立參數(shù)z，ρ，ω，就可以唯一確定太陽帆的錐角和光壓因子，結合式(2)，可確定太陽帆的質量面積比σ，進而確定太陽帆的尺寸。

3 日心定點懸浮轉移軌道設計

3.1軌道動力學模型的球坐標形式

如圖1所示，以球坐標(r,ψ,φ)表示的太陽帆軌道動力學模型[8]如下。

(6)

式中：黃道經度ψ∈[0,2π]；黃道緯度φ∈[-π/2,π/2]。

(7)

(8)

3.2轉移軌道設計

因為式(7)和式(8)在太陽帆軌道面與黃道面垂直條件下才成立，為了實現(xiàn)太陽帆日心定點懸浮的目標，首先要將太陽帆送入繞日極軌軌道，然后設計一種軌道控制律來實現(xiàn)軌道減速，在到達目標懸停點時軌道速度恰好減為零，這樣就能夠實現(xiàn)日心定點懸浮。

3.2.1 軌道傾角抬升

顯然，常規(guī)推進方式不能實現(xiàn)軌道傾角為90°的繞日極軌軌道，要設計一種利用太陽帆推進抬升軌道傾角的方法。該階段太陽帆軌道控制律可由式(9)表示[9]。

(9)

式中：α*為一個定值，由太陽帆的光壓因子β決定；u為緯度幅角，數(shù)值上等于近心點幅角f與真近角θ之和。

控制規(guī)律的物理意義可由圖2說明。太陽帆所受的太陽光壓可以分解為3個方向的力：日心與太陽帆連線方向的徑向力R，在軌道面內垂直于R指向前進方向的切向力T，垂直于軌道面的法向力N。它們與太陽帆姿態(tài)角α和δ的關系為

(10)

變軌目的是軌道傾角抬升，由動量矩定理可知，在軌道拱線方向上施加如圖2所示的外力矩M，可使軌道角動量h繞節(jié)線向M旋轉，軌道傾角i逐漸增大，實現(xiàn)了軌道傾角抬升。法向力N可以產生外力矩M。在cosu≥0時，N的方向垂直于軌道面向上；在cosu<0時，垂直于軌道面向下。N越大，軌道傾角抬升越快，即要求δ=0或π，此時，切向力T為零，可以保持軌道形狀大體不變。因此，該階段太陽帆的帆面法向矢量n是在δ=0或π之間切換，每個軌道周期指向發(fā)生2次變化。保持式(9)的軌道控制律，太陽帆就可以抬升到軌道傾角為90°的繞日極軌軌道。

圖2 太陽帆軌道傾角抬升原理

3.2.2 軌道減速

分析式(7)，當β=1，且α=0時，太陽帆在徑向受力平衡，有實現(xiàn)定點懸浮的可能性。由于引力與太陽光壓都與距離的平方成反比，即平衡條件與距離無關，理論上，太陽帆可以在距離太陽任意遠的地方實現(xiàn)定點懸浮。

(11)

(12)

由式(11)得

(13)

對式(11)求導得

(14)

聯(lián)立式(12)與式(14)，得

(15)

聯(lián)立式(11)和式(14)，得

(16)

結合邊界條件對式(16)積分，得

(17)

可見，錐角α由初值-π/2到0，φ相應地變化了3π/4的角度，即太陽帆從圓形開普勒軌道減速到定點懸浮軌道，φ角共轉過3π/4。該結論有助于軌道設計時選擇合適的時機開始實施軌道減速，使太陽帆在到達目標點時軌道速度恰好為零，進而實現(xiàn)定點懸浮。

通過上述分析，可以總結出太陽帆日心定點懸浮軌道的轉移軌道設計步驟：①確定定點懸浮的位置，該位置應位于與黃道面垂直的平面內；②設計經過該位置的繞日極軌軌道，這一階段只需根據(jù)太陽帆光壓因子β來設計太陽帆錐角α的大小，轉角δ的變換規(guī)律是確定的；③在適當?shù)能壍牢恢脤嵤┸壍罍p速，使太陽帆在到達懸停點時軌道速度恰好減為零，實現(xiàn)定點懸浮。

4 設計實例

以太陽極地觀測任務為例，設計日心定點懸浮軌道方案。該任務要求太陽帆脫離黃道面進入太陽極軌軌道，從黃道面的上方(或下方)遙感觀測日冕物質拋射(CME)的傳播和演化，并對其進行成像。

考慮到任務要求及節(jié)省軌道轉移的時間等因素，太陽帆定點位置可選擇在黃北極距日心1 AU處，稱為懸停A點。太陽帆的光壓因子β為1，由式(2)可知，太陽帆的質量面積比σ為1.53 g/m2。

軌道轉移方案分為兩個階段：首先，從地球逃逸軌道轉移到繞日極軌軌道；然后，在距A點3π/4處實施軌道減速，直至速度減為零；太陽帆將定點懸浮在黃北極的上空。

第一階段的太陽帆指向控制規(guī)律可由式(18)表示。

(18)

經過第一階段的變軌，太陽帆軌道由地球逃逸軌道變?yōu)槔@日極軌軌道，伺機進行軌道減速，進入第二階段變軌。在第二階段，太陽帆指向控制規(guī)律見式(15)；當減速飛至A點時，軌道速度恰減為零，實現(xiàn)了太陽帆在A點的定點懸浮。

設太陽帆于2015年7月4日發(fā)射，在地球逃逸軌道上展開，轉移軌道仿真如圖3所示。藍色曲線表示變軌第一階段的軌跡，紅色曲線表示第二階段的軌跡。仿真結果表明，第一階段耗時701 d，太陽帆的軌道傾角由0°抬升到87.5°。之后，太陽帆沿著繞日極軌圓軌道運行44 d，到達距A點3π/4處(圖3標☆處)，開始第二階段的變軌。第二階段耗時550 d，太陽帆速度由29.42 km/s減至0.287 km/s。此時，太陽帆的軌道速度并不為零，這是因為第一階段控制后的軌道并不是嚴格的圓軌道，偏心率e為0.017。如果選擇逐次逼近的控制方法，偏心率e可以更加逼近于0。太陽帆以0.287 km/s的軌道速度定點在黃北極上空，平均1年漂移3.47°。

圖4為太陽帆姿態(tài)角α和δ隨時間變化的曲線，符合太陽帆指向控制律式(15)和式(18)。圖5為太陽帆與太陽間的距離r隨時間變化的曲線，由圖可知，在發(fā)射701 d之后，太陽帆與太陽間的距離基本保持1 AU不變，說明太陽帆在第二階段基本沿著半徑為1 AU的圓軌道運行。圖6為太陽帆軌道速度V隨時間的變化情況，由圖可知，在發(fā)射后745～1295 d，軌道速度由29.42 km/s減至接近0 km/s。

圖3 太陽極地觀測任務日心定點懸浮軌道設計結果

圖4 太陽帆姿態(tài)角α和δ隨時間變化情況

圖5 太陽帆相對于太陽的距離r隨時間變化情況

圖6 太陽帆軌道速度V隨時間變化情況

5 結束語

本文研究了利用太陽帆實現(xiàn)日心定點懸浮軌道的轉移軌道設計問題，提出了一種軌道設計方案。以太陽極地觀測任務為例，設計了定點懸浮在黃北極1 AU處的日心懸浮軌道，并進行了仿真驗證。結果表明，該軌道設計方案能夠實現(xiàn)任務要求的日心定點懸浮軌道。本文提出的軌道設計方案要求太陽帆的質量面積比達到1.53 g/m2。目前，美國國家航空航天局(NASA)蘭利研究中心(LRC)研發(fā)的太陽帆材料面密度已經可以達到4～5 g/m2[10]，雖然尚不能滿足材料要求，但是隨著材料科學的發(fā)展，用于建造日心定點懸浮的太陽帆材料也必將被開發(fā)出來，因此，更為輕質的太陽帆材料也成為后續(xù)研發(fā)的重點。

References)

[1]Forward R L. Light-levitated geostationary cylindrical orbits[J]. Journal of Astronomical Science, 1981,29(1):73-80

[2]McInnes C R.Solar sailing: technology, dynamics and mission applications[M].Chichester，UK：Springer & Praxis Publishing,1999：173-196

[3]McInnes C R. Dynamics, stability, and control of displaced non-Keplerian orbits[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998, 21(5):799-805

[4]McInnes C R. Inverse solar sail trajectory problem [J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2002, 26(2):369-371

[5]龔勝平,李俊峰,寶音賀西.太陽帆懸浮軌道附近的相對運動[J].力學學報,2007,39(4):522-527

Gong Shengping, Li Junfeng, Baoyin Hexi. Relativemotion around displaced solar orbit[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics, 2007, 39(4):522-527 (in Chinese)

[6]Hughes G W, McInnes C R. Solar sail hybrid trajectory optimization for non-Keplerian orbit transfers[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2002, 25(3):602-604

[7]Bookless J, McInnes C R. Dynamics and control of displaced periodic orbits using solar-sail propulsion[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2006, 29(3):527-537

[8]Wie B. Thrust vector control analysis and design for solar-sail spacecraft[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2007, 44(3):545-557

[9]羅超,鄭建華,高東.太陽帆航天器的軌道動力學和軌道控制研究[J].宇航學報,2009,30(6):2111-2117

Luo Chao, Zheng Jianhua, Gao Dong. Study on orbit dynamics and control of solar-sail spacecraft[J]. Journal of Astronautics, 2009, 30(6):2111-2117 (in Chinese)

[10]Laue G, Case D, Moore,J. Fabrication and deployment testing of 20-meter solar sail quadrants for a scaleable square solar sail ground test system[C]//Proceedings of the 41st AIAA/ASME/SAE/ASEE Joint Propulsion Conference & Exhibit. Washington D. C.：AIAA，2005：3930-3944

(編輯：夏光)

Solar Sail Trajectory Design for Transferring Heliocentric Fixed Displaced Orbit

LUO Chao1ZHENG Jianhua2

(1 Institute of Manned Spacecraft System Engineering, China Academy of Space Technology, Beijing 100094, China)

(2 Center for Space Science and Applied Research, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China)

This paper investigates the transfer trajectory design for solar sail HFDO (heliocentric fixed displaced orbit). The conception of heliocentric displaced orbit is described, and the orbital equations in spherical coordinates are given. The conditions for static equilibria are identified based on the equations. A method of solar sail trajectory design is proposed for transferring HFDO. Firstly，the fixed displaced point is confirmed. Secondly， the solar polar orbit is designed. Thirdly， the orbit velocity is decreased to reach the fixed displaced point， and an analytic orbit control method is presented. Solar polar region observation mission is designed and simulated as a HFDO example, which levitates a solar sail spacecraft 1AU above the ecliptic north pole. The results show that the trajectory design method can realize the transfer to HFDO in 3.5 years.

solar sail; heliocentric displaced orbit; trajectory design; fixed displaced point

2013-07-31；

：2013-09-27

國家自然科學基金(40574070)

羅超，男，博士，工程師，從事航天器動力學與控制研究工作。Email:luochaocasc@163.com。

V412.4

：ADOI：10.3969/j.issn.1673-8748.2014.03.003