曹競文，胡衛(wèi)敏

（伊犁師范學院數學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧835000）

兩點分數階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題的解

曹競文，胡衛(wèi)敏*

（伊犁師范學院數學與統(tǒng)計學院，新疆伊寧835000）

討論一類非線性分數階微分方程耦合系統(tǒng)的兩點邊值問題，應用Green函數將微分系統(tǒng)轉化為等價的積分系統(tǒng)，應用不動點定理證明系統(tǒng)正解的存在性和唯一性，并給出系統(tǒng)無解的充分條件。

分數階微分方程；耦合系統(tǒng)；邊值問題；不動點定理

0 引言

分數階微分方程在工程、科技、經濟等諸多領域都有重要應用，近年來受到越來越多人的關注，也獲得了不少研究成果［1-4］。值得注意的是，分數階耦合系統(tǒng)邊值問題作為分數階邊值問題的一種情況，也得到研究者們的重視。文獻［5］應用Schauder不動點定理研究下面耦合系統(tǒng)的邊值問題

文獻［6］應用偏序集上的一個不動點定理研究一類非線性分數階奇異的耦合系統(tǒng)

正解的存在性和唯一性，其中3＜α，β≤4，Dα、Dβ是Riemann-Liouville型分數階導數。受以上文獻啟發(fā)，本文應用不動點定理研究一類非線性分數階耦合系統(tǒng)

正解的存在性和唯一性，并給出系統(tǒng)無解的充分條件。其中1＜α，β≤2，、是Riemann-Li?ouville型分數階導數，f，g:[0，1]×[0，∞)→[0，∞)連續(xù)。

1 預備知識

本文用到Riemann-Liouville型分數階導數的定義和基本性質可參見文獻［7-9］，這里不再贅述。

引理1[10]設函數h(t)∈C[0，1]，1＜α≤2，則邊值問題

存在唯一u(解t)=

其中Green函數為

令

引理2[10]有下面性質：并且其中

考慮積分方程系統(tǒng)

引理3[11]若f，g:[0，1]×[0，∞)→[0，∞)為連續(xù)函數，則(u，v)是系統(tǒng)（1）的解當且僅當它是系統(tǒng)（3）的解。

引理4[11]設D是Banach空間X的一個非空閉子集，而T是D到其自身內的映像，它在D內滿足Lipschitz條件，即對任意的x，y∈D，有

（這里η稱為Lipschitz常數），則必存在唯一的x*∈D，使Tx*=x*，即T有且只有一個不動點。

引理5[11]（Leray-Schauder非線性抉擇）假設Ω是Banach空間X上的凸集K的一個相對子集，令T:→K是緊的且0∈Ω，則

否則

（ii）存在一個點u∈?Ω和λ∈() 0，1，使得u=λTu。

引理6[11]假設X是Banach空間，P?X是X中的錐，設Ω1，Ω2為X中的開子集且0∈Ω1??Ω2，令T:P∩(Ω1)→P為一全連續(xù)算子，若滿足下列條件之一：

（i）當u∈P∩?Ω1時，‖Tu‖≤‖u‖；

當u∈P∩?Ω2時，‖Tu‖≥‖u‖，

（ii）當u∈P∩?Ω1時，‖Tu‖≥‖u‖；

當u∈P∩?Ω2時，‖Tu‖≤‖u‖，

2 主要結果及其證明

設I=[0，1]，X=C(I)表示定義在I上的連續(xù)函數類，范數在X×X上定義范數‖(u，v)‖=max{‖u‖，‖v‖}，則(X×X，‖·‖)是Banach空間。定義X×X中的錐P為

為

則T有不動點等價于系統(tǒng)（3）有解。

下面證明T：P→P為全連續(xù)算子。

證明由引理2知

另一方面，

因此可得

同理，

故T(P)?P。

容易證明T(P)?P是一致有界的，且等度連續(xù)。證明過程類似于文獻［12］的方法。綜上所述T是一致有界并是等度連續(xù)的。由Arzela-Ascoli定理知T(P)是相對緊的，故T是全連續(xù)的。

為敘述方便，引入一些記號：

對任意的(t，u)，(t，v)∈[0，1]×[0，+∞)，設f，g:[0，1]×[0，+∞)→(0，+∞)是連續(xù)函數，函數k(t)，l(t)∈C(I)，ψ，φ:[0，+∞)→(0，+∞)是非減函數，ω1，ω2是兩個正常數。給出下列條件：

定理1若(H1)和(H2)成立，則系統(tǒng)（1）存在唯一的正解。

證明對任意的(u，v)∈P有

同理可得：

故

由(H2)知T1，T2為壓縮映射，所以T:P→P是壓縮映射，由引理4知算子T存在唯一不動點(u，v)∈P，則(u，v)就是系統(tǒng)（1）的唯一正解。

定理2若(H3)和(H4)或(H5)和(H6)成立，則系統(tǒng)（1）存在一個正解。

證明若算子T滿足(H3)和(H4)，則令是全連續(xù)的，假設存在(u，v)∈?Ω，λ∈(0，1)，使得(u，v)=λT(u，v)。由條件(H3)，?t∈[0，1]有

同理可得

則

從而

若‖(u，v)‖=r，則與(H4)矛盾。故‖(u，v)‖≠r，這與(u，v)∈?Ω矛盾，所以假設不成立。由引理5知T有不動點(u，v)∈，故系統(tǒng)（1）有一個正解。

若算子T滿足(H5)和(H6)，則令

當(u，v)∈P∩?Ω1時

同理有‖T2v‖≥ω1，故‖T(u，v)‖≥ω1=‖(u，v)‖。

另一方面，令Ω2={(u，v):‖(u，v)‖＜ω2}，

同理有‖T1v‖≤ω2，故‖T(u，v)‖≤ω2=‖(u，v)‖。

定理3若條件(H7)或(H8)成立，則系統(tǒng)（1）無解。

證明若條件(H7)成立，假設(u，v)是系統(tǒng)（1）的解，則同理‖v‖＜‖u‖。得出矛盾，故結論得證。

若條件(H8)成立，假設(u，v)是系統(tǒng)（1）的解，則

同理‖v‖＞‖u‖。得出矛盾。故結論得證。

（References）

［1］KILBAS A A，SRIVASTAVA H M，TRUJILLO J J. Theory and application of fractional differential equa?tions［M］.Amsterdam：Elsevier B V，2006.

［2］PODLUBNY I.Fractional differential equations：mathe?matics in science and engineering［M］.New York：Aca?demic Press，1999.

［3］SAMKO S G，KIBAS A A，Marichev O I.Fractional in?tegral and derivatives（theory and applications）［M］. Switzerland：Gordon and Breach，1993.

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［5］蘇新衛(wèi).分數階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題解的存在性［J］.工程數學學報，2009，26（1）：133-137.

［6］郭建敏，郭彩霞，康淑瑰.一類非線性分數階奇異耦合系統(tǒng)正解的存在性［J］.生物數學學報，2013，28（1）：143-148.

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［8］ZHANG S Q.Positive solution for boundary value prob?lem of nonlinear fractional differential equations［J］. Electronic Journal for Differential Equations，2006，36：1-12.

［9］XIONG Y，ZHONG L W，WEI D.Existence of positive solution for boundary value problem of nonlinear frac?tional differential equations［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2012，17：85-92.

［10］SU X W.Boundary value problem for a coupled system of nonlinear fractional differetial equations［J］.Applied Mathematics Letters，2009，22：64-69.

［11］申騰飛.分數階微分方程耦合系統(tǒng)邊值問題正解的存在性［J］.黑龍江科技學院學報，2012（1）：98-10.

［12］BAI Z B，LV H S.Positive solutions for boundary value problem of nonlinear fractional differential equation［J］. J Math Anal Appl，2005，311（2）：495-505.

（責任編輯：強士端）

Solution for Two-point Boundary Value Problems of Fractional Differential Equation of Coupling System

CAO Jingwen，HU Weimin*
（College of Mathematics and Statistics，Yili Normal University，Yining835000，Xingjiang，China）

Discusses a class of the two-point boundary value problems of nonlinear fractional differ?ential equation of coupling system，using the Green function，differential system can be converted to equivalent integral system，with the fixed point theorem，the existence and uniqueness of positive solutions for system are abtained，sufficient conditions of no solutions are given.

fractional differential equation；coupled system；boundary value problem；fixed point theorem

O175.8

A

1673-0143（2014）03-0023-04

2013-12-24

新疆維吾爾自治區(qū)自然科學基金項目（201318101-14）

曹競文（1988—），女，碩士生，研究方向：微分方程理論及其應用。

*通訊作者：胡衛(wèi)敏（1968—），男，教授，碩士生導師，研究方向：微分方程理論及其應用。E-mail：hwm680702@163.com