寧培志,畢慶貞,王宇晗,石 璟

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

基于五次速度曲線的高柔性加減速前看算法*

寧培志,畢慶貞,王宇晗,石 璟

(上海交通大學(xué) 機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，上海 200240)

為了減小機(jī)床振動(dòng)，提高連續(xù)小線段加工速度，提出了一種基于S型加減速的前看插補(bǔ)算法。采用五次多項(xiàng)式速度曲線，可以實(shí)現(xiàn)加速度和躍度的連續(xù)變化。首先根據(jù)NC代碼的目標(biāo)進(jìn)給速度、機(jī)床動(dòng)力性能和微段幾何特征預(yù)求速度約束，然后反向掃描求解滿足減速要求的速度約束，最后根據(jù)線段長(zhǎng)度規(guī)劃出約束之下的速度曲線，發(fā)送至位控模塊進(jìn)行實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)控制。集成到三軸數(shù)控試驗(yàn)平臺(tái)上試驗(yàn)，算法運(yùn)行穩(wěn)定，大大提高銜接速度，仿真結(jié)果表明加工時(shí)間比傳統(tǒng)插補(bǔ)算法縮短了77.31%。

五次多項(xiàng)式;速度規(guī)劃;高柔性加減速

0 引言

實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)小線段的高速高精度加工是當(dāng)前機(jī)床研究的一個(gè)重要課題[1]。對(duì)CAM軟件離散出的微小線段加工時(shí)，常規(guī)插補(bǔ)器要在每個(gè)線段的終點(diǎn)減速到零，頻繁啟動(dòng)停止，速度局限在很低的范圍內(nèi)，發(fā)揮不出機(jī)床應(yīng)有的性能。而通常的直線加減速會(huì)造成加速度的突變，更使得機(jī)床的沖擊振動(dòng)加劇，造成加工效率低，表面質(zhì)量差[1]。因此，消除機(jī)床沖擊，提高小線段銜接速度是高檔機(jī)床亟待解決的問(wèn)題。

為此國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)S型加減速和前看算法進(jìn)行了深入研究[2-6]，同時(shí)也采取用Bezier,、B-spline、NURBS等過(guò)渡小線段拐角，或者直接擬合線段群來(lái)進(jìn)行速度光順[6,9-11]。王宇晗等[2]基于直線加減速模型，預(yù)處理一定段數(shù)，采用循環(huán)迭代遞歸不等式的方法求解約束速度。Leng等[3]提出了一種五次多項(xiàng)式的速度曲線，并根據(jù)線段長(zhǎng)度分析了單段直線的幾種速度輪廓曲線，在前看研究時(shí)候卻對(duì)三次曲線采取先減速點(diǎn)預(yù)測(cè)再整體跨段加減速的算法[4]。Zhao等[5]將預(yù)處理的段數(shù)看成是一個(gè)浮動(dòng)窗口，在窗口內(nèi)進(jìn)行速度規(guī)劃，該窗口不斷前移推動(dòng)著前看算法的實(shí)施。

本文基于五次多項(xiàng)式的速度曲線進(jìn)行前看規(guī)劃，能夠?qū)崿F(xiàn)加速度和躍度的連續(xù)變化，消除機(jī)床沖擊振動(dòng)，提高段間銜接速度。先介紹了五次速度曲線多項(xiàng)式，根據(jù)邊界條件推導(dǎo)出計(jì)算公式，然后對(duì)預(yù)處理的線段節(jié)點(diǎn)速度進(jìn)行反向掃描和正向規(guī)劃，提出了一種優(yōu)化節(jié)點(diǎn)速度的算法。

1 五次多項(xiàng)式速度曲線

1.1 五次多項(xiàng)式曲線公式

為了保證速度、加速度和躍度的連續(xù)變化，速度曲線采用五次多項(xiàng)式[3-4]：

V(t)=a0+a1t+a2t2+a3t3+a4t4+a5t5

(1)

對(duì)速度進(jìn)行規(guī)劃，要滿足起始速度為Vs，終止速度為Ve。為了避免相鄰速度規(guī)劃段過(guò)渡時(shí)的沖擊，起始和終止的加速度、躍度都設(shè)為0，則邊界條件為：

V(ts)=Vs,V(te)=Ve,a(ts)=0,a(te)=0,

J(ts)=0,J(te)=0

記速度規(guī)劃段持續(xù)時(shí)間為td，從ts=0到t=te，則td=te-ts；記速度跨度為Vd=Ve-Vs；代入式子(1)則可以得到：

(2)

(3)

考慮機(jī)床動(dòng)力性能約束，加速度和躍度不得超過(guò)最大值A(chǔ)m、Jm。對(duì)速度函數(shù)求導(dǎo)得到加速度和躍度隨時(shí)間變化的函數(shù)，進(jìn)而可求得該段內(nèi)加速度、躍度的最值：

(4)

1.2 五次S曲線速度與長(zhǎng)度的計(jì)算

要發(fā)揮機(jī)床的最大加速能力實(shí)現(xiàn)Vd的速度跨度，根據(jù)式(4)取最短時(shí)間。一般情況下躍度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于加速度的值，即Jm>>Am，所以由Vs到Ve的變速時(shí)間為：

(5)

將(5)式中td的值代入(3)式，可得：

(6)

從式(6)可知，若已知要規(guī)劃始末速度可以直接算出加減速所需要距離；若已知起始速度和線段長(zhǎng)度L，所能達(dá)到的速度也可以直接算出，計(jì)算公式為：

(7)

2 前看多段速度規(guī)劃

2.1 預(yù)求存在的速度約束

段內(nèi)進(jìn)給速度在各軸的分量不能超過(guò)各個(gè)軸的最大速度限制[7]：

段間轉(zhuǎn)向時(shí)，速度方向瞬時(shí)發(fā)生變化會(huì)導(dǎo)致各軸速度大小發(fā)生變化，要確保不能超過(guò)各個(gè)軸的最大伺服能力：

由兩段夾角大小決定的速度約束：

其中符號(hào)代表意義為：

Li：第i段的長(zhǎng)度；

Ts：插補(bǔ)周期

ΔΛi：第i段距離在Λ軸的位移分量Λ=X,Y,Z,A,C

VΛmax：Λ軸的最大進(jìn)給速度

aΛmax：Λ軸允許的最大加速度。

2.2 反向求解滿足減速要求的速度限制

圖1 反向求解速度約束流程圖

2.3 正向規(guī)劃速度曲線

在得到滿足減速要求的各節(jié)點(diǎn)速度約束Vic2之后，開始對(duì)預(yù)處理的N段進(jìn)行前看速度規(guī)劃。根據(jù)線段長(zhǎng)度、節(jié)點(diǎn)速度和段內(nèi)目標(biāo)進(jìn)給速度，正向規(guī)流的速度曲線可分為七類：只加速，只減速，加速減速，加速勻速減速，加速勻速，勻速減速，只勻速。流程圖如圖2，相關(guān)公式見1.2節(jié)。

圖2 正向前看速度規(guī)劃流程圖

3 數(shù)學(xué)仿真和機(jī)床試驗(yàn)

3.1 數(shù)學(xué)仿真

為驗(yàn)證算法，對(duì)20個(gè)隨機(jī)小線段進(jìn)行速度規(guī)劃，各段的長(zhǎng)度和各段內(nèi)進(jìn)給速度為(mm,mm/s)：0.88/100、1.68/100、1.51/100、0.56/100、1.83/100、0.55/80、1.71/80、0.68/80、0.37/80、2.21/80、2.14/80、0.41/50、1.27/50、0.996/50、0.56/50、0.86/100、0.43/100、0.68/100、1.43/100、3.40/100。用于試驗(yàn)的數(shù)控平臺(tái)參數(shù)為：最大速度Vm=100mm/s，最大加速度Am=3000mm/s2，插補(bǔ)周期4ms，最大躍度Jm=106mm/s3。分別前看不同的段數(shù)進(jìn)行仿真，預(yù)處理1段(不前看)、2段、4段、8段的速度隨時(shí)間變化結(jié)果如圖3。圖中橫坐標(biāo)為加工時(shí)間，縱坐標(biāo)為速度，豎直的線為段間分割線也即節(jié)點(diǎn)處，水平的線為NC代碼的目標(biāo)進(jìn)給速度。

圖3 節(jié)點(diǎn)軌跡圖和前看不同段數(shù)的速度曲線圖

這些小線段長(zhǎng)度在0.3～3mm之間，段間拐角也在6°～180°之間，不同段的進(jìn)給速度也不盡相同，如圖3a。對(duì)這些線段處理時(shí)，如果不進(jìn)行前看如圖3b，每段結(jié)束都將速度減為0，則加工時(shí)間為1048.5ms，最大速度大部分在40mm/s以下。每次前看兩段的時(shí)候如圖3c，加工時(shí)間為502.7ms，減少了52.1%，最大進(jìn)給速度也得到提升。當(dāng)前看4段的時(shí)候如圖3d，加工時(shí)間為439.3ms，最大速度也盡可能的達(dá)到了100mm/s。

當(dāng)再提高前看的段數(shù)達(dá)到8段時(shí)候如圖3e，時(shí)間已經(jīng)幾乎沒(méi)有變化，速度曲線也沒(méi)有更大變化，這是因?yàn)橹虚g兩個(gè)尖銳拐點(diǎn)限制了速度的提升。在一定程度上，前看段數(shù)越多效率提高的越多，當(dāng)達(dá)到一定段數(shù)之后效率達(dá)到最大?？紤]到系統(tǒng)計(jì)算實(shí)時(shí)性和存儲(chǔ)空間的要求，前看的段數(shù)并不是越多越好，段數(shù)越多相應(yīng)算法耗時(shí)越長(zhǎng)內(nèi)存要求越大，所以在本算法中采取前看8段。應(yīng)用前看8段算法對(duì)表1的20個(gè)線段進(jìn)行規(guī)劃，隨著每步的前進(jìn)速度曲線變化如圖4所示。

圖4 每次前看8段逐步向前推進(jìn)的速度曲線變化

圖5以實(shí)例展示了算法每次處理8段逐步前移不斷推進(jìn)的過(guò)程。圖中虛線表示第一次到達(dá)該段時(shí)候規(guī)劃的速度曲線，隨著逐段的向前推進(jìn)會(huì)規(guī)劃出新的速度曲線，更優(yōu)化的速度會(huì)覆蓋掉舊的曲線?？傮w趨勢(shì)是在不超過(guò)速度限制的情況下盡可能提高進(jìn)給速度，以提高效率。

3.2 機(jī)床試驗(yàn)

將前看模塊應(yīng)用到本實(shí)驗(yàn)室開放式數(shù)控系統(tǒng)試驗(yàn)平臺(tái)中，加工一個(gè)蝴蝶圖案，該輪廓是由588個(gè)長(zhǎng)度在0.02～0.75mm的極小微段組成，如圖5。本試驗(yàn)數(shù)控平臺(tái)為自主開發(fā)，性能滿足基本切削要求：F=3000，Am=0.03×g。仿真結(jié)果表明系統(tǒng)不用前看算法的時(shí)候加工時(shí)間為45.3 s，使用本算法后加工時(shí)間為10.3s，效率提高了77.31%，如圖6,7所示。

圖7 使用前看算法前后速度曲線對(duì)比

4 結(jié)論

基于五次多項(xiàng)式的速度曲線，提出一種預(yù)處理特定段數(shù)的前看算法。在前看的段數(shù)內(nèi)先根據(jù)機(jī)床性能和NC代碼編程速度進(jìn)行速度約束求解，再根據(jù)線段長(zhǎng)度反向求解滿足減速要求的速度約束，然后正向進(jìn)行速度規(guī)劃。仿真和試驗(yàn)都證明該算法正確可行，穩(wěn)定可靠，能大大提高段間銜接速度，進(jìn)而提高加工效率和表面質(zhì)量。

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(編輯 趙蓉)

A High-flexible Acc/Dec Look-ahead Algorithm Based on Quintic Polynomial Feedrate Curve

NING Pei-zhi,BI Qing-zhen,WANG Yu-han,SHI Jing

(School of Mechanical Engineering, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai 200240, China)

This paper proposes a interpolation algorithm to reduce vibration and optimize the junction federates between consecutive small line segments. Quintic polynomial is used to ensure the continuities of acceleration and deceleration. First, the algorithm calculates the initial feedrate constraints according to NC code, machine dynamic performance and geometrical characteristic of the lines. Next, the constraints are recalculated from the end of the preprocessing segments so that the feedrate can decelerate to an expected value. At last, the optimized feederate curve is planed regarding the constrains and the lengths of the lines, and the results are sent to the real-time position control module. and reduce the cutting time. When integrated into 3-axis CNC system, simulations indicate that the method can greatly increase the jounction feedrates, and reduce the cutting time by 77.31% compared to the conventional methods.

quintic polynomial;feedrate plan;high-flexible Acc/Dec

1001-2265(2014)04-0015-04

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.04.004

2013-08-05

國(guó)家自然科學(xué)基金青年科學(xué)基金項(xiàng)目(51005155)；中國(guó)博士后科學(xué)基金特別資助(201104270)；上海市重大技術(shù)裝備研制專項(xiàng)(ZB-ZBYZ-03-11-2190)

寧培志(1989—), 男, 河南商丘人, 上海交通大學(xué)碩士生, 主要從事數(shù)控技術(shù)和五軸加工研究，(E-mail) ningppz@163.com。

TH166;TG659

A