母德強，崔 博，謝新旺，陳 懿

(長春工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院,長春 130012)

時域與頻域兩點法誤差分離技術(shù)的精度分析*

母德強，崔 博，謝新旺，陳 懿

(長春工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院,長春 130012)

為了分析時域與頻域兩點法誤差分離技術(shù)中所包含的原理誤差及該原理誤差的規(guī)律和特性，建立了進行誤差分離的零件模型，通過對不同影響因素的分析找到了兩點法誤差分離技術(shù)所含原理誤差的規(guī)律和特性，并對兩種誤差分離技術(shù)的精度進行了比較。使用時域與頻域兩種誤差分離技術(shù)和圓度測量儀對同一零件進行測量比對，發(fā)現(xiàn)仿真結(jié)果和實驗結(jié)果與理論分析相符。因此得出結(jié)論：采樣點數(shù)N每擴大一倍，各參數(shù)的絕對誤差值的比值越來越接近于2；對置安裝傳感器使兩點法分離結(jié)果的誤差最?。辉谙嗤牟蓸訁?shù)下，頻域法誤差分離技術(shù)的分離精度高于時域法。

兩點法；誤差分離；原理誤差；影響因素；影響規(guī)律

0 引言

近年來，隨著高精度機械加工技術(shù)的不斷發(fā)展，對零件形位誤差也在不斷地提高。為了保證被加工工件的形位精度要求，在線測量是首選的檢測方法。而由于加工系統(tǒng)中存在著許多不可預(yù)測的影響因素，使得對工件形位誤差的在線測量變得十分困難，誤差分離技術(shù)(Error separation technique，EST)的出現(xiàn)為形位誤差的在線測量提供了可能[1]。

在眾多的誤差分離技術(shù)中，兩點法誤差分離技術(shù)因容易安裝而受到許多研究者的青睞。兩點法誤差分離技術(shù)也可以分為時域兩點法誤差分離技術(shù)和頻域兩點法誤差分離技術(shù)，但無論是時域兩點法還是頻域兩點法，他們都存在缺陷：因原理誤差的存在，使該方法無法完全分離零件的偏心誤差。此外兩點法誤差分離技術(shù)的分離結(jié)果的誤差規(guī)律還沒有一個明確的規(guī)則。本文正是基于此而進行的探索，分別對時域兩點法和頻域兩點法原理誤差的影響因素及影響規(guī)律進行了研究，并比較兩種方法的分離精度，力求提高兩點法誤差分離技術(shù)在線測量的精度。

1 兩點法誤差分離原理

兩點法誤差分離技術(shù)是從三點法誤差分離技術(shù)發(fā)展而來的。三點法誤差分離原理如圖1所示。

O為傳感器A、B和C所在位置處的位移敏感中心線的交點。在以O(shè)為原點，A、B的中心線分別取為X軸和Y軸的測量坐標(biāo)系中，O0為截面的最小二乘心，與實際回轉(zhuǎn)中心O的偏心距為e[2]。

圖1 三點法誤差分離原理圖

設(shè)工件的圓度誤差為h(θ)；主軸回轉(zhuǎn)誤差在x，y上的分量分別為δx(θ)和δy(θ)；傳感器之間的夾角如圖1所示[2]。則三個傳感器的輸出為

sA(θ)=h(θ)+δx(θ)

(1)

sB(θ)=h(θ+α)+δx(θ)cos(α)+δy(θ)sin(α)

(2)

sC(θ)=h(θ+α+β)+δx(θ)cos(α+β)+δy(θ)sin(α+β)

(3)

對(1)～(3)式乘以不等權(quán)系數(shù)1，a和b，然后相加得到三點法誤差分離的基本方程

s(θ)=sA(θ)+asB(θ)+bsC(θ)

=h(θ)+ah(θ+α)+bh(θ+α+β)

(4)

式中m、p為整數(shù)，將(4)式離散化，得

s(n)=h(n)+ah(n+m)+bh(n+m+p)

=sA(n)+asB(n)+bsC(n)

(5)

因此等式(5)可以化為

s(n)≈h(n)+bh(n+m+p)

=sA(n)+bsC(n)

(6)

1.1 頻域兩點法誤差分離技術(shù)原理

sA(n) 、sC(n)都為所測得的已知量。對式(6)作離散傅立葉變換，根據(jù)傅立葉變換的時延相移特性可得

S(k)=H(k)G(k)

(7)

在式(7)中：S(k)=DFT[s(n)]；H(k)=DFT[h(n)]；G(k)=1+bej2π(m+p)k/N。

由h(n)=DFT-1[H(k)]=DFT-1[S(k)/G(k)]，可求出工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

使用頻域法進行求解時，若被測工件表面存在突變點而不連續(xù)，傅立葉變換會使變換結(jié)果產(chǎn)生嚴(yán)重的失真，從而影響計算精度[3]。因此洪邁生[2]等人提出了時域兩點法誤差分離技術(shù)。

1.2 時域兩點法誤差分離技術(shù)原理

當(dāng)α+β→180°，a→0，b→1 。式(5)因而變?yōu)?/p>

s(n)≈h(n)+bh(n+m+p) =sA(n)+bsC(n)

(8)

令l=m+p，將(8)改寫為

(9)

2 影響兩點法的因素及其規(guī)律分析

誤差分離技術(shù)在分離的過程中會受到很多因素的干擾，如：采樣誤差、諧波抑制、傳感器安裝誤差、噪聲及其隨即干擾等[4]。

噪聲可以經(jīng)降噪濾波減小甚至消除其影響；隨即干擾是無法避免的，只能通過多組求平均值來盡可能的減小。因此影響時域法誤差分離技術(shù)的因素主要有諧波抑制、采樣誤差和傳感器安裝誤差。

2.1 諧波抑制對兩點法的影響

諧波抑制現(xiàn)象只出現(xiàn)在傅立葉變換的過程中，因此諧波抑制只對頻域法誤差分離技術(shù)有影響。在三點法誤差分離技術(shù)中應(yīng)用傅立葉逆變換時，不論參數(shù)m、p、α、β如何取值，都有G(1)≡0，常用的處理方法是令S(1)=0。在傅立葉逆變換時，該位置的諧波分量就因為置零而損失[5]，從而引入諧波抑制現(xiàn)象。為了避免諧波抑制，令G(1)=1[4]。然后在進行傅氏逆變換就可以得到被測工件的圓度誤差h(θ)的離散形式h(n)。

但是，在頻域兩點法誤差分離技術(shù)中。

G(k)=1+bej2π(m+p)k/N

(10)

所以G(k)≠0，k∈(0,N-1)恒成立。所以兩點法誤差分離技術(shù)中不存在諧波抑制現(xiàn)象。

2.2 采樣點數(shù)對兩點法的影響

傳感器B所采集序列在進行消除回轉(zhuǎn)誤差時的常權(quán)系數(shù)a=-sin(α+β)/sinβ。當(dāng)N增大時會使得α+β→180°，因而a→0；但a不等于零。在其他條件都正確的條件下，忽略傳感器B就無法完全消除主軸回轉(zhuǎn)運動誤差。設(shè)aN、αN、βN、γN為采樣點數(shù)取N時參數(shù)a、α、β、γ的值，所以采樣點數(shù)對誤差的影響取決于

f(N)=aN[δx(θ)cosαN+δy(θ)sinαN]

(11)

的大小。則

(12)

因γN=2π/N，所以采樣點數(shù)N越大，角度γN越小，tan2γN越趨近于0。則

(13)

通過以上分析可知：應(yīng)用頻域法和時域法時，采樣點數(shù)N越大，分離結(jié)果的絕對誤差值越小；aN/a2N→2，說明各參數(shù)的絕對誤差值隨著采樣點數(shù)N的增大而減小的倍數(shù)越來越趨近于2。

2.3 安裝角度對兩點法的影響

因為γN=2π/N，當(dāng)采樣點數(shù)N過大，會使夾角γN過小。從而給傳感器C的安裝帶來困難。當(dāng)傳感器C的安裝角度不精確時，也會給分離結(jié)果帶來誤差。

在安裝傳感器C的時候，設(shè)角度α+β的安裝角度誤差為Δφ，則

s(θ)≈sA(θ)+bsC(θ+Δφ)

=h(θ)+δx(θ)+bh(θ+α+β+Δφ)

+bδx(θ)cos(α+β+Δφ)+bδy(θ)sin(α+β+Δφ)

(14)

又δx(θ)=e0cosθ、δy(θ)=e0sinθ、α+β=π-γ，則

s(θ)≈s′(θ)=h(θ)+bh(θ+α+β+Δφ)

+e0cosθ-be0cos(θ+γ-Δφ)

(15)

由式(15)可看出，由偏心誤差和安裝角度誤差共同引起的誤差大小為

g(Δφ)=e0cosθ-be0cos(θ+γ-Δφ)

(16)

因此對置安裝兩個傳感器對頻域法和時域法誤差分離技術(shù)來說，有利于消除轉(zhuǎn)軸的偏心誤差。

3 仿真分析

為了檢驗上述的分析并比較兩種方法的精度，我們進行了如下的仿真驗證。

3.1 采樣點數(shù)對兩點法誤差分離技術(shù)的影響

在仿真實驗中，取基本半徑為20mm、偏心距為3mm、表面有四組振幅為3mm的正弦波所疊加而成的軸。保證除采樣點數(shù)N除外的一切條件不變，N的取值為16、32、64、128、256、512、1024、2048。采集這幾組信號，分別用時域法與頻域法對數(shù)據(jù)進行分析，結(jié)果如表1所示。

表1 時域兩點法與頻域兩點法的分離結(jié)果比較

通過表1可以看出：各量的絕對誤差值隨著采樣點數(shù)N的增大而減小，且減小的倍數(shù)越來越接近于2；當(dāng)采樣點數(shù)N≥256時，可認(rèn)為圓度誤差值的絕對誤差減小的倍數(shù)等于2；在相同的采樣點數(shù)下，頻域法中的絕對誤差要明顯小于時域法，因此頻域法精度要高于時域法。證明了采樣點數(shù)對誤差值的影響規(guī)律的理論分析是正確的。

3.2 安裝角度對兩點法誤差分離技術(shù)的影響

在檢測安裝角度對分離誤差帶來的影響時，選取的采樣點數(shù)N=256，所以α+β的理論角度應(yīng)為178.59375°。令安裝角度α+β的值從174.6°到180.6°等間隔變化，間隔為0.2°，除此之外保證其他參數(shù)不變。

檢驗時把數(shù)據(jù)分別做時域和頻域分析。分析時的數(shù)據(jù)為：被測件基本半徑為20mm，表面上有振幅為3mm的正弦信號。偏心距取3mm。結(jié)果如圖2所示。

由圖2知：時域法中，分離誤差會隨著安裝角度的增大而減小，在180°的位置達到極值并大致關(guān)于180°對稱。頻域法中，分離誤差會隨著安裝角度的增大而減小，在180°的位置達到極值并且關(guān)于180°對稱。對置安裝使兩種方法的分離精度都得到提高。證明了3.3中的分析和推導(dǎo)是正確的。

圖2 安裝角度對兩點法誤差分離技術(shù)的影響

4 試驗驗證

通過上面的仿真分析驗證了影響兩點法誤差的因素及其影響規(guī)律符合理論分析。在實驗室環(huán)境內(nèi)通過實驗來進一步驗證理論分析與仿真分析。

實驗所用設(shè)備為：通過磨削加工一個長度280mm，直徑為50mm的軸進行驗證；傳感器采用的是德國米銥的NCDT系統(tǒng)控制的單通道精密電容位移傳感器CapaNCDT620[6-8]。實驗時，分別取采樣點數(shù)N=64、128、256、512，則安裝角度α+β=(1-2/N)π。對工件測量5遍取平均值以減小測量過程中的隨機誤差。結(jié)果如表2所示：

表2 實驗驗證誤差分離結(jié)果 (單位：μm)

通過試驗結(jié)果可看出：兩種分離方法的分離結(jié)果與理論分析和仿真驗證相符，證明了在使用兩點法誤差分離技術(shù)時，對置安裝兩傳感器可以得到更高的精度，且頻域法的精度要高于時域法。

5 結(jié)論

(1)相同的檢測條件下，頻域法比時域法具有更高的分離精度；

(2)實際的加工過程中，檢測時采用對置安裝傳感器可以得到更精確的圓度誤差值；

(3)在時域法和頻域法中，采樣點數(shù)N越大，有aN/a2N→2，從而說明采樣點數(shù)N每擴大一倍，各參數(shù)的絕對誤差值的比值越來越接近于2；

(4)兩點法誤差分離技術(shù)雖然有原理誤差，但選擇合適的參數(shù)后仍可達到很高的精度；因此，在一定精度要求下仍然可以使用。

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(編輯 李秀敏)

The Accuracy Analysis of Error Separation for Two-point Separating Technique Method of Time Domain and Frequency Domain

MU De-qiang，CUI Bo，XIE Xin-wang，CHEN Yi

(School of Mechatronic Engineering, Changchun University of Technology, Changchun 130012, China)

In order to analysis the principle of error and the principle error’s regularity and characteristics in the two point error separation method of time domain and frequency domain. Established a part model to march the error separation, through the analysis of different influence factors found the principle error’s regularity and characteristics of two point method error separation technique, and compared the accuracy of two kinds of error separation technique.Using two kinds of error separation technique and roundness measuring instrument to measure the same parts, found that the experiment results and the results of simulation agree with the analysis of theory.So we can draw the conclusions: When the number of Samples—N expand 1 times，the ratio of the absolute error of the parameter value is getting closer to 2; with facing mounting the two sensors, the results of two point separation error is the smallest.;with same sampling parameters, the precision of error separation technique in frequency domain method is higher than error separation technique in time - domain method.

the two-point algorithm；error separation；principle error；influential factor；influencing rule

1001-2265(2014)07-0031-03

10.13462/j.cnki.mmtamt.2014.07.009

2013-12-14

吉林省科技廳重點科技攻關(guān)項目(2130206027GX)

母德強(1961—)，男，遼寧昌圖人，長春工業(yè)大學(xué)教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要研究方向為精密加工及檢測；通訊作者：崔博(1988—)，男，吉林舒蘭人，長春工業(yè)大學(xué)碩士研究生，研究方向為精密加工及檢測，(E-mail)db0425@126.com。

TH161;TG65

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