曾林森 楊鐵寶 苗建偉

摘要：倒立擺是一種典型的非線性、多變量、不穩(wěn)定的不確定性系統(tǒng)。在存在不確定建模誤差和外界干擾的情況下，該文提出了一種魯棒方差控制器的設(shè)計(jì)方法，不僅使得控制系統(tǒng)具有一定的協(xié)方差來保證其穩(wěn)定性，而且使得控制系統(tǒng)可以有效抑制外界干擾對其產(chǎn)生的影響。實(shí)驗(yàn)和仿真結(jié)果表明，在存在不確定性的情況下，一級倒立擺系統(tǒng)在魯棒方差控制的情況下比傳統(tǒng)的LQ控制具有更好動態(tài)性和穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：倒立擺系統(tǒng)；方差控制；魯棒性

中圖分類號：TP273 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-3044（2014）05-1129-04

Robust Variance Control for an Inverted Pendulum

ZENG Lin-sen， YANG Tie-bao， MIAO Jian-wei

（School of Mechanical Engineering， Southwest Jiaotong University， Chengdu 610031， China）

Abstract： Inverted pendulum is a nonlinear， multivariable， unstable uncertain system. This paper proposes a robust variance control method to handle modeling errors and external disturbances. The control system not only has a certain covariance to ensure its stability， but also can suppress the influence of interference on the system. Simulation results show that the inverted pendulum system with the robust variance control has better dynamics and stability performance than that of conventional LQ control.

Key words： inverted pendulum system； variance control； robustness

對倒立擺系統(tǒng)的研究能有效的反映控制中的許多典型問題：如魯棒問題、鎮(zhèn)定問題、隨動問題以及跟蹤問題等。通過對倒立擺的控制，用來檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理不穩(wěn)定性問題的能力[1]。所以對倒立擺系統(tǒng)的控制研究具有重要的理論意義和實(shí)際應(yīng)用價值。運(yùn)用現(xiàn)代控制理論的許多結(jié)果研究倒立擺系統(tǒng)都是基于對象的一個數(shù)學(xué)模型，根據(jù)系統(tǒng)的性能要求，通過對被控對象的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的控制律，進(jìn)而將所得到的控制律應(yīng)用于被控對象來保證閉環(huán)系統(tǒng)具有所期望的性能[2]。但是真實(shí)的倒立擺控制系統(tǒng)總是在不斷變化的環(huán)境中運(yùn)行，使用精確的數(shù)學(xué)模型設(shè)計(jì)出的控制規(guī)律往往是很難保證具有所期望的性能要求。

近年來隨著控制方法研究的不斷發(fā)展，各種新的控制方法被提出，如模糊控制[3]，云模型控制[4]，[H∞]控制[5]，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[6][7]等等，以上控制方法運(yùn)用于倒立擺系統(tǒng)的研究[8][9]，已經(jīng)獲得了很好的控制效果。然而將這些控制方法與魯棒控制相結(jié)合，有些的控制穩(wěn)定狀態(tài)方差較大[10]，有些動態(tài)性能不理想[11]，有些輸出力上限并非最小[12]。基于此點(diǎn)，該文以一級倒立擺為例，提出采用魯棒方差控制[13]與不確定性魯棒[H∞]最優(yōu)控制理論[8]相結(jié)合的方法設(shè)計(jì)出同時具有如下三方面性能的魯棒控制器就能進(jìn)一步改善系統(tǒng)的性能。（1）為了使控制系統(tǒng)在存在不確定性和外界的擾動的情況下，仍然能使系統(tǒng)穩(wěn)定并保持所希望的性能。（2）通過使系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)方差不超過一定的上界來確保閉環(huán)控制系統(tǒng)具有所預(yù)期期望的性能。（3）設(shè)計(jì)最小能量的方差控制器是更具有實(shí)際意義，其意義在于使得控制器K的各參數(shù)值較小，利于實(shí)際控制。

1 問題描述

考慮不確定性系統(tǒng)如下：

[x（t）=（A+ΔA）x（t）+（B+ΔB）u（t）+Dω（t）z（t）=Cx（t）] （1.1）

[x（t）]為系統(tǒng)的狀態(tài)，[u（t）]為系統(tǒng)的控制輸入，[ω（t）]為外界對系統(tǒng)的擾動，[z（t）]為系統(tǒng)的輸出，[A]、B和C為常數(shù)矩陣，[ΔA]，[ΔB]為具有一定維數(shù)的不確定時變的矩陣并且滿足以下等式：

[[ΔA ΔB]=NF[E1 E2]] （1.2）

其中N，[E1]，[E2]為已知定常矩陣，F(xiàn)為不確定性函數(shù)矩陣，并且滿足以下等式：

[FTF≤I] （1.3）

[γ]為一給定的正數(shù)，[[P]ii]是穩(wěn)態(tài)狀態(tài)方差矩陣的對角線上的第i個元素，R是一個給定的正定加權(quán)矩陣，系統(tǒng)具有如下性質(zhì)：

（a）閉環(huán)系統(tǒng)時漸進(jìn)穩(wěn)定的且從系統(tǒng)的外部擾動輸入[ω（t）]到系統(tǒng)輸出[z（t）]的傳遞函數(shù)[Tzw（S）]的[H∞]的范數(shù)[Tzw（S）<γ]；

（b）[[P]ii<σ2i]，（i=1，2，3….n）；

[σi]（[i=1，2，???，n]）是給定的常數(shù)，[[P]ii]是穩(wěn)態(tài)狀態(tài)方差矩陣[P=limt→∞[x（t）xT（t）]]的對角線上的第i個元。

（c）使得性能指標(biāo)[J（u）=limt→∞[E（uT（t）Ru）12]]最小化魯棒方差控制器。

[E（?）]為期望算子。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 LQ控制器設(shè)計(jì)【14】

當(dāng)系統(tǒng)（1.1）中[ΔA=0]，[ΔB=0]和[ω（t）=0]時就構(gòu)成規(guī)范的LQ調(diào)節(jié)器，存在以下控制規(guī)律：

[P44<1] （2.1）

使閉環(huán)系統(tǒng)[x（t）=（A-BK）x（t）]漸近穩(wěn)定，且具有[（1/2，∞）]的增益余量和[60°]的相位欲量，同時使[J=xT0Px0]最小，其中[P=PT>0]滿足Riccati方程：

[PA+ATP+Q-PBR-1BTP=0] （2.2）

2.2 魯棒控制器設(shè)計(jì)

對于[ΔA≠0]，[ΔB≠0]和[ω（t）≠0]不確定系統(tǒng)（1.1）和性能指標(biāo)（a），存在狀態(tài)反饋控制律[u（t）=-Kx（t）]，使得不確定性閉環(huán)魯棒系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要的條件是存在適當(dāng)正數(shù)[γ>0]、[ε>0]和矩陣[P=PT>0]、K使得（1）閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；（2）從系統(tǒng)的外部擾動輸入[ω（t）]到系統(tǒng)輸出[z（t）]的傳遞函數(shù)[Tzw（S）]的[H∞]的范數(shù)[Tzw（S）<γ]；（3）使系統(tǒng)的狀態(tài)方差小于某個數(shù)值，保證其具有更好的穩(wěn)定性：

由參考文獻(xiàn)[8]可知下式是滿足魯棒[H∞]最優(yōu)控制：

[xT（t）[（A+ΔA-BK-ΔBK）TP+P（A+ΔA-BK-ΔBK）]x（t）+ωT（t）DTPx（t）+xT（t）PDω（t）+xT（t）CCTx（t）-γ2ωT（t）ω（t）<0] （2.3）

由于[ωT（t）DTPx（t）+xT（t）PDω（t）<γ-2xT（t）PDDTPx（t）+γ2ωT（t）ω（t）]，所以（2.3）可以轉(zhuǎn)化為：

[xT（t）[（A+ΔA-BK-ΔBK）TP+P（A+ΔA-BK-ΔBK）]x（t）+γ-2xT（t）PDDTPx（t）+xT（t）CCTx（t）<0] （2.4）

其中[（ΔA-ΔBK）TP+P（ΔA-ΔBK）<ε（E1-E2K）T（E1-E2K）+ε-1PDDTP]、[P-1=Y1]、[KP-1=Y2]和[FTF≤I]，可得：

[Y1AT-YT2BT+AY1-BY2+γ-2DDT+Y1CT1C1Y1+ε（E1Y1-E2Y2）T（E1Y1-E2Y2）+ε-1NNT<0] （2.5）

由Schur補(bǔ)性質(zhì)，將（2.5）轉(zhuǎn)換為矩陣不等式：

[Ω1DΩ2NXCT*-γ2I000**-ε-1I00***-εI0****-I<0] （2.6）

令[Ω1=Y1AT-YT2BT+AY1-BY2]和[Ω2=（E1Y1-E2Y2）T]。

[[P]ii<σ2i]，（i=1，2，3….n） （2.7）

在滿足以上兩個性能指標(biāo)外，還需滿足最小能量的控制指標(biāo)[13]，使其具有更好的工程實(shí)際意義：

[J2（u）=limt→∞[E（uT（t）Ru（t））]=limt→∞[E（xT（t）PYT2RY2Px（t））]=Trace[Y2PXPY2TR]≤Trace[SY2P（SY2）T]] （2.8）

其中[R=STS]和[P-1=Y1]，通過使[J2（u）]最大值最小化來求解（令[V=J2（u）]）：

min（Trace（V））

[-VSY2（SY2）T-Y1<0] （2.9）

在滿足2.4、2.5、2.7式和[Y1]、[Y2]、V、[ε]有解的情況下，則[u（t）=Kx（t）=Y2Y1x（t）]。

3 單級倒立擺的建模

圖1 單級倒立擺的物理模型

為了保證倒立擺的線性化數(shù)學(xué)模型，必須滿足擺桿的擺角足夠小[15]。于是將[sin（θ）≈0]和[cos（θ）≈1]采取近似化處理，不難得出單級倒立擺的數(shù)學(xué)模型：

[r′r″θ′θ″=01000-（I+mL2）bI（M+m）+MmL2m2gL2I（M+m）+MmL2mLcI（M+m）+MmL200110-mLbI（M+m）+MmL2mgL（M+m）I（M+m）+MmL2-c（M+m）I（M+m）+MmL2rr′??′+0I+mL2I（M+m）+MmL20mLI（M+m）+MmL2u+00.100.1ω] （3.1）

[y=rθ=10000010rr′θθ′+00u] （3.2）

其中[r]、[r′]、[r″]分別為小車的位移、速度和加速度，[θ]、[θ′]、[θ″]分別為擺桿的角度、角速度和角加速度。擺桿的質(zhì)量m=0.0737kg，小車的質(zhì)量M=0.618kg，擺桿的質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離L=0.1225m，b為導(dǎo)軌與小車間的阻尼系數(shù)，c為擺桿與小車間的阻尼系數(shù)，g為重力加速度，[I=lm23]為擺桿的轉(zhuǎn)動慣量，u為控制輸入，[ω]為方差為1平均值為0的白噪聲。

4 倒立擺的仿真實(shí)驗(yàn)與結(jié)果

取Q=diag{100 1 100 1}， R=1。LQ控制規(guī)律為：

[u（t）=-K0x（t）=[22.3607 12.6847 -41.2625 -5.0297]]

小車m為原來的1.2倍，穩(wěn)態(tài)狀態(tài)方差滿足[P11<1]，[P22<1]，[P33<1]，[P44<1]，[γ<0.1]，R=1，C=diag{1 1 1 1}。

魯棒方差控制（滿足（2.6）和（2.7））和魯棒方差最小能量控制規(guī)律（滿足（2.6）、（2.7）和（2.9））分別為：

[u（t）=KRx（t）=[ 5.0657 5.5534 -29.1564 -2.0456]]

[u（t）=KR′x（t）=[ 4.3546 4.6578 -26.2358 -1.7946]]

一級直線倒立擺系統(tǒng)的初試狀態(tài)為：小車的位置為導(dǎo)軌的中間（r=0），擺桿垂直向上（[φ=0°]）。小車的質(zhì)量m變?yōu)樵瓉碣|(zhì)量的1.1倍，其他條件均不變。倒立擺保持平衡時，對其位移施加0.1m的擾動進(jìn)行仿真。

圖2 魯棒方差控制與LQ控制時小車的位移曲線和速度曲線的仿真

圖3 魯棒方差控制與LQ控制時擺桿角度曲線和角速度曲線的仿真

圖2、圖3為用魯棒方差控制與LQ控制時，系統(tǒng)輸出響應(yīng)在穩(wěn)定性能和動態(tài)性能上的對比效果。圖2中魯棒方差控制最大負(fù)向位移為0.1089m左右，最大正向位移為0.0033m左右，達(dá)到穩(wěn)定的時間約為2.67s；而LQ控制控制最大負(fù)向位移為0.1183m左右，最大正向位移為0.0450m左右，達(dá)到穩(wěn)定的時間約為7.34s。魯棒方差控制穩(wěn)定性明顯優(yōu)于LQ控制。圖3中魯棒方差控制的負(fù)向最大為0.0299，正向超調(diào)量為0.0117，遠(yuǎn)小于LQ控制的負(fù)向最大為0.0784，正向超調(diào)量為0.0944；在擺桿角速度的響應(yīng)穩(wěn)定時間上，LQ控制約為7.31s，魯棒方差控制僅約為1.72s。但是，動態(tài)響應(yīng)時間明顯縮短，動態(tài)響應(yīng)效果得到了提升。

圖4 魯棒方差控制和魯棒方差最小能量控制時控制力曲線的仿真

圖4為用魯棒方差控制與最小能量魯棒方差控制時，控制力輸出的對比效果。在1s之內(nèi)能量輸出偏離0的距離有明顯的差距，在1s之外幾乎沒有差距。經(jīng)過計(jì)算得出魯棒方差控制的能量上界為[J2（u）≤4.0343]，最小魯棒方差能量上界為[J′2（u）≤1.1386]。能量上界明顯減小。

5 結(jié)論

本文提出的最小能量魯棒方差控制能夠在存在一定誤差范圍內(nèi)的情況下實(shí)現(xiàn)對一級倒立擺系統(tǒng)的控制，設(shè)計(jì)出來的系統(tǒng)比傳統(tǒng)LQ控制具有更好的瞬時性和穩(wěn)定性，最小能量輸出是更具實(shí)際意義的，其能夠使得控制器K的參數(shù)更小，有利于實(shí)際控制。仿真結(jié)果驗(yàn)證了上述結(jié)論。

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