倪宏超，朱國(guó)輝

(安徽工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243002)

基于最小能量原理計(jì)算高速切削過(guò)程中的剪切角

倪宏超，朱國(guó)輝

(安徽工業(yè)大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，安徽馬鞍山243002)

以O(shè)xley模型的切削力和切削幾何關(guān)系為基礎(chǔ)，提出通過(guò)計(jì)算切削過(guò)程中第一形變區(qū)、第二形變區(qū)的應(yīng)力和應(yīng)變來(lái)計(jì)算塑性變形功，從而構(gòu)建隨著切削過(guò)程中剪切角的變化，系統(tǒng)總能量變化規(guī)律的計(jì)算模型?；谧钚∧芰吭恚_定對(duì)應(yīng)切削過(guò)程中塑性變形功最低時(shí)的剪切角為平衡剪切角。在模型中引入Johnson-Cook本構(gòu)方程與動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程，以文獻(xiàn)中45鋼的切削實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù)，分別計(jì)算引入2種本構(gòu)方程的基于最小能量原理模型的剪切角，并將計(jì)算結(jié)果與Oxley模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果表明文中構(gòu)建模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好。

Oxley模型；剪切角；塑性變形功；最小能量

金屬切削過(guò)程中，刀具通過(guò)切削刃和前刀面擠壓工件使被切削的金屬發(fā)生剪切滑移。剪切角被定義為剪切面與切削速度之前的夾角[1]，剪切角的大小不僅影響切削力的大小、刀具和切屑根部的接觸長(zhǎng)度，還會(huì)影響前刀面上的應(yīng)力分布，此外，剪切角還能用于反映切削變形程度。因此計(jì)算和預(yù)測(cè)剪切角的大小，對(duì)于制定合理的切削工藝，優(yōu)化切削過(guò)程中的幾何參數(shù)，定量分析切削過(guò)程等具有重要意義。

眾多學(xué)者針對(duì)剪切角進(jìn)行了研究，典型的切削模型有Merchant力平衡模型[2]、Lee-Shaffer滑移線場(chǎng)模型[3]、Shaw周期斷裂模型[4]、Rowe和Spick修正型Mechant模型[5]、Oxley切削分析模型[6]等。這些模型中，Oxley等構(gòu)建了反映切削過(guò)程中應(yīng)變速率、應(yīng)變及溫度的金屬材料流變應(yīng)力本構(gòu)方程，這些方程更貼近實(shí)際情況地反映了材料在切削中的力學(xué)行為，使剪切角計(jì)算精度和可靠度得到提高。然而在Oxley模型中仍存在一些不足，且部分研究者為此進(jìn)行了完善，如：Huang等[7]通過(guò)引入移動(dòng)熱源，改進(jìn)了Oxley切削模型中2個(gè)形變區(qū)域溫度的計(jì)算方法；Adibi等[8]對(duì)比了不同類型本構(gòu)模型對(duì)Oxley切削模型計(jì)算結(jié)果的影響；Karpat等[9]細(xì)化構(gòu)建了刀屑界面粘結(jié)摩擦區(qū)。文中根據(jù)Oxley切削模型中平衡剪切角的力平衡判據(jù)，從材料切削形變塑性功能量最小的角度對(duì)該判據(jù)進(jìn)行修正，以進(jìn)一步完善Oxley切削模型，此外還對(duì)比研究不同本構(gòu)方程對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響。

1 Oxlye切削模型修正

Oxley切削模型是基于切削穩(wěn)態(tài)時(shí)力平衡、卡片切削模型以及部分滑移線場(chǎng)理論，引入切削速度、溫度修正應(yīng)力以反映材料切削中力學(xué)行為的本構(gòu)方程，提出的平行側(cè)面剪切區(qū)切削分析模型如圖1。由圖1可知：被加工材料在流經(jīng)第一形變區(qū)域時(shí)，在刀尖刃口的作用下實(shí)現(xiàn)被切削層與工件的分離；隨后在刀具擠壓作用下，在剪切平面AB上發(fā)生塑性形變，變成切屑；然后切屑沿刀具前刀面切向方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)。Oxley切削模型中用于計(jì)算剪切角的判據(jù)是力平衡，即宏觀切削力在刀屑界面上分力所導(dǎo)致的切應(yīng)力值與使得刀屑界面上以一定應(yīng)變及應(yīng)變速率發(fā)生塑性形變時(shí)的剪切應(yīng)力相等。然而系統(tǒng)的運(yùn)行總是自發(fā)地朝能量最小狀態(tài)進(jìn)行，刀具對(duì)材料切削的實(shí)現(xiàn)是通過(guò)使被切削層在第一形變區(qū)和第二形變區(qū)塑性形變而完成的。故在生成切屑過(guò)程中，2個(gè)形變區(qū)域的塑性功總和構(gòu)成了切削所用的能量，從切削能量最小觀點(diǎn)出發(fā)，平衡剪切角就是塑性變形功最小時(shí)對(duì)應(yīng)的剪切角。據(jù)此文中從該觀點(diǎn)出發(fā)修正Oxley切削模型中的力平衡判據(jù)。

圖1 Oxley模型中的力學(xué)關(guān)系Fig.1 Force diagram in Oxley cuttingmodel

1.1 第一形變區(qū)能量計(jì)算

金屬材料受外力作用發(fā)生塑性形變時(shí)，外力做功的能量一部分用于改變金屬材料內(nèi)部微觀組織結(jié)構(gòu)，另一部分則使形變基體產(chǎn)生溫升，外力做功值與塑性形變功相等。令kAB為AB面上的剪切流變應(yīng)力，εAB為AB面上的平均應(yīng)變，第一形變區(qū)的塑性變形功WP表達(dá)為

據(jù)M ises屈服準(zhǔn)則可得，剪切流變應(yīng)力kAB與AB面上的流變應(yīng)力σAB，剪切應(yīng)變?chǔ)臕B與AB面上的真應(yīng)變?chǔ)肁B間的關(guān)系式為：

由圖1所示Oxley切削分析模型圖中的幾何關(guān)系，可以得到γAB的計(jì)算式為

其中：γ0為刀具的前角；φ為切削過(guò)程中的剪切角。Oxley構(gòu)建的切削模型中，σ為材料的流變應(yīng)力，被加工材料力學(xué)行為的本構(gòu)方程滿足指數(shù)關(guān)系形式，如

其中參數(shù)σ1和n為式(6)所示切削速度修正溫度Tmod的函數(shù)，

其中：參數(shù)ε?e為與材料相關(guān)的常數(shù)；v為切削速度，對(duì)于碳鋼其值介于0.09～1之間。為得到σ1和n與Tmod間的表達(dá)式，Oxley等采用高階多項(xiàng)式擬合二者關(guān)系，這一方面弱化了本構(gòu)方程的物理意義，另一方面計(jì)算精度依賴多項(xiàng)式擬合結(jié)果。在眾多的本構(gòu)方程中，Johnson-Cook是基于材料強(qiáng)度應(yīng)變項(xiàng)、應(yīng)變速度項(xiàng)和形變溫度項(xiàng)三者的乘積作用而提出的本構(gòu)方程，因該本構(gòu)方程形式簡(jiǎn)單，參數(shù)較易求解，使用方便而被廣泛使用。

當(dāng)使用Johnson-Cook方程表述材料本構(gòu)關(guān)系時(shí)，其表達(dá)式為

式中：A，B，C，m，n為材料參數(shù)；Tw為工件的初始溫度；TM為材料熔點(diǎn)；ε?0為相對(duì)應(yīng)變速度。用式(2)計(jì)算材料在第一形變區(qū)的應(yīng)力，需得到切削過(guò)程中第一形變區(qū)的應(yīng)變速度和形變溫度。Oxley模型指出，第一形變區(qū)的平均應(yīng)變速度ε?AB可以表達(dá)為

式中：γ?int為第一形變區(qū)的應(yīng)變速度；C0為剪切區(qū)長(zhǎng)度與第一形變區(qū)厚度的比值；vs為剪切速度；l為剪切平面AB的長(zhǎng)度。在塑性變形過(guò)程中，形變功的一部分用來(lái)賦予材料的切削變形，另一部分則轉(zhuǎn)變成熱量?？偀崃康囊徊糠滞ㄟ^(guò)熱傳導(dǎo)進(jìn)入被加工工件，余下部分致使第一形變區(qū)的溫度升高。因此使用式(7)計(jì)算第一形變區(qū)流變應(yīng)力時(shí)，形變溫度并不是工件溫度。設(shè)ΔTSZ為剪切區(qū)域的溫升，第一形變區(qū)中轉(zhuǎn)化為ΔTSZ熱量的塑性功占總量的比值為η，通過(guò)熱傳導(dǎo)進(jìn)入工件的熱量占總熱量的比值為β，利用基礎(chǔ)比熱公式對(duì)每單位切屑的溫升進(jìn)行積分，可以求解出第一形變區(qū)的溫升ΔTSZ為

式中：mchip為單位時(shí)間內(nèi)的切屑質(zhì)量；CP為工件材料的比熱。β的計(jì)算式如下式中ρ，RT，K分別為工件材料密度、熱量系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù)。根據(jù)上述的討論，假設(shè)溫度主要在剪切面上，則第一形變區(qū)中的溫度可以計(jì)算為

聯(lián)立式(1)～(12)，可以計(jì)算出切削過(guò)程中隨著剪切角轉(zhuǎn)動(dòng)，第一形變區(qū)中的應(yīng)力、應(yīng)變、應(yīng)變速度和溫度，進(jìn)而得到其塑性變形功隨剪切角轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。

1.2 第二形變區(qū)能量計(jì)算

根據(jù)Oxley模型[10]，假設(shè)刀具與切屑接觸面上的剪切流變應(yīng)力為kchip，接觸面上的平均剪切應(yīng)變?yōu)棣舏nt，則第二形變區(qū)的塑性功WS可表示為

采用M ises屈服準(zhǔn)則，可得剪切應(yīng)力kchip和剪切應(yīng)變?chǔ)舏nt與流變應(yīng)力σint和應(yīng)變?chǔ)胕nt間轉(zhuǎn)換關(guān)系：

γint為刀具和切屑接觸面上的剪切應(yīng)變，計(jì)算式為[10]

其中γM為接觸面上的最大剪切應(yīng)變，可表示為

式中：t2為切屑厚度；h為刀具和切削的接觸長(zhǎng)度，其計(jì)算公式為neq是應(yīng)變硬化指數(shù)，可以表示為

沿用計(jì)算第一形變區(qū)塑性功的思路，為了修正Oxley的模型，文中同樣引入Johnson-Cook模型表述材料的本構(gòu)關(guān)系，則第二形變區(qū)的應(yīng)變速度可表示為

其中：ε?int為接觸面上的平均剪切應(yīng)變速度；γ?int為接觸面上的剪切應(yīng)變速度；vc為切屑的速度；δ為接觸面塑性區(qū)厚度和切屑厚度的比值。同樣在第二形變區(qū)的形變功也有一部分會(huì)導(dǎo)致刀具和材料界面的溫度升高。第二形變區(qū)域的溫升是在第一形變區(qū)域溫升之后，進(jìn)一步因刀屑界面上的摩擦作用而升高，因此刀具和工件材料界面的平均溫度計(jì)算式為

其中：ΔTM為刀具和切屑接觸面上最大的溫升；ψ為保證Tint為平均值的溫度因素，一般為0.9。Boothroyd[11]假設(shè)接觸面上為矩形熱源，推導(dǎo)出接觸面上最大溫升ΔTM，表示為

其中ΔTC為切屑上的平均溫升，經(jīng)過(guò)對(duì)接觸面上單位切屑溫升的積分可以推導(dǎo)得出

根據(jù)上述的討論，可以分析計(jì)算隨著切削過(guò)程的進(jìn)行，剪切角轉(zhuǎn)動(dòng)與第二形變區(qū)能量變化之間的關(guān)系。

1.3 切削過(guò)程中剪切角的轉(zhuǎn)動(dòng)與切削總能量的計(jì)算

刀具切削金屬材料過(guò)程中的能量耗散由兩部分構(gòu)成，分別為第一形變區(qū)與第二形變區(qū)的塑性功。故第一形變區(qū)與第二形變區(qū)的能量總和WT可以表示為

由上述2節(jié)可計(jì)算出給定切削條件下第一形變區(qū)塑性功WP，第二形變區(qū)塑性功WS以及總的切削消耗能WT。根據(jù)構(gòu)建的計(jì)算模型，對(duì)切削過(guò)程中的剪切角進(jìn)行計(jì)算。

2 模型驗(yàn)證與討論

Ivester等[12]使用OKUMACadet-L1420X650CNC，Lelond Makino Baron 60 Lathe和Okuma LC-20 Lathe 3種切削機(jī)床分別對(duì)45鋼進(jìn)行正交切削實(shí)驗(yàn)，其實(shí)驗(yàn)條件及結(jié)果如表1。文中以其實(shí)驗(yàn)參數(shù)為依據(jù)輸入新構(gòu)建的基于最小能量原理的模型，輸出模型計(jì)算的剪切角，對(duì)比實(shí)驗(yàn)結(jié)果，以驗(yàn)證模型的正確性。

表1 45鋼正交切削的實(shí)驗(yàn)條件及實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.1 Conditionsand resultsof 45 steelorthogonal cutting of experimental

為了說(shuō)明引入的本構(gòu)方程對(duì)新建模型計(jì)算結(jié)果的影響，分別在模型中引入Johnson-Cook本構(gòu)方程以及流變應(yīng)力本構(gòu)方程進(jìn)行計(jì)算，對(duì)比計(jì)算結(jié)果。式(7)中Johnson-Cook本構(gòu)方程參數(shù)源于Jaspers等[13]的研究結(jié)果，其方程參數(shù)A，B，C，m，n分別為553.1MPa，600.8MPa，0.013 4，1，0.234。45鋼動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力模型方程為

其中σ0，n，A，B，ε?0及T0為動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程參數(shù)，分別為278.3MPa，0.101，0.176，0.000 032，1和274 K。45鋼的比熱CP、熱導(dǎo)率K分別按下式計(jì)算

用Matlab編程軟件，結(jié)合表1中正交切削實(shí)驗(yàn)工藝參數(shù)、45鋼Johnson-Cook本構(gòu)方程和動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程以及45鋼熱物性參數(shù)，編寫(xiě)程序運(yùn)算，得到Ⅰ,Ⅱ組2種切削條件下的切削過(guò)程中，2個(gè)形變區(qū)的能量及總能量隨剪切角的變化規(guī)律，結(jié)果如圖2，3。

圖2 采用Johnson-Cook本構(gòu)方程計(jì)算出的WP，WS和WT隨剪切角的變化曲線Fig.2 Changsof WP，WSand WTcalculated by Johnson-Cook constitutivemodelwith shear angle

圖3 采用動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程計(jì)算出的WP，WS和WT隨剪切角的變化曲線Fig.3 Changsof WP，WSand WTcalculated by 45 steel flow stressmodelwith shear angle

從圖2，3可以看出，雖然本構(gòu)模型形式不同，但所得規(guī)律較為相似。切削過(guò)程中，第一形變區(qū)能量WP隨著剪切角減小逐漸增大，第二形變區(qū)能量WS隨著剪切角減小先減后增，2個(gè)形變區(qū)的能量總和WT在5°～40°的剪切角范圍內(nèi)呈現(xiàn)拋物線狀，根據(jù)切削能量最小原理，能量總和WT的最低點(diǎn)對(duì)應(yīng)的剪切角即為切削達(dá)到穩(wěn)態(tài)時(shí)的平衡剪切角。表2給出了實(shí)驗(yàn)結(jié)果，Oxley模型[14]計(jì)算結(jié)果及分別引入2種本構(gòu)方程所構(gòu)建的基于最小能量原理模型計(jì)算出的平衡剪切角。

表2 采用不同模型計(jì)算的45鋼平衡剪切角及實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.2 Equilibrium shear angleof45 steelondifferent calculationsand experiments

從表2可以看出：與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相比，應(yīng)用Oxely模型計(jì)算出的平衡剪切角偏大，平均相對(duì)誤差達(dá)到了42.8%；引入2種本構(gòu)方程的模型計(jì)算結(jié)果略有差異，但計(jì)算結(jié)果更接近實(shí)際測(cè)量值，用動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程所得計(jì)算結(jié)果的平均相對(duì)誤差為21.6%，而Johnson-Cook本構(gòu)方程的相對(duì)誤差僅6.0%。主要原因是Johnson-Cook本構(gòu)方程中溫度對(duì)流變應(yīng)力的影響處理方法，較動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程的要好，使得采用Johnson-Cook本構(gòu)方程描述45鋼極高應(yīng)變速率下形變力學(xué)行為更為準(zhǔn)確。因此，采用引入Johnson-Cook本構(gòu)方程構(gòu)建的基于最小能量原理模型計(jì)算切削過(guò)程中平衡剪切角值較為恰當(dāng)。

3 結(jié)論

以O(shè)xley的切削力和切削幾何為基礎(chǔ)，基于切削形變功的能量最低法則，提出以第一形變區(qū)和第二形變區(qū)的形變功總和最低確定平衡剪切角的計(jì)算模型。在本文的模型中，對(duì)于材料的應(yīng)力應(yīng)變方程，利用Johnson-Cook本構(gòu)方程和動(dòng)態(tài)流變應(yīng)力本構(gòu)方程來(lái)表述材料的本構(gòu)關(guān)系，更接近實(shí)際地描述形變溫度和應(yīng)變速度對(duì)材料強(qiáng)度的影響。通過(guò)Ivster對(duì)45鋼的正交切削實(shí)驗(yàn)結(jié)果，對(duì)本文提出的模型進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明基于最小能量原理，并引入Johnson-Cook本構(gòu)方程計(jì)算平衡剪切角，其平均相對(duì)誤差最小。

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責(zé)任編輯：何莉

Modeling of ShearAngle Calculation Based on Minimum of Plastic Deformation Energy

NIHongchao，ZHU Guohui
(SchoolofMaterialsScienceand Engineering,AnhuiUniversity of Technology,Ma'anshan 243002,China)

Based on the relationship of cutting force and cutting geometry developed by Oxley,effect of plastic deformation energy on the primary shear zone and secondary shear zone on the shear anglewas analyzed through calculation of stressand strain on the primary and secondary shear zone during high speedmachining.Equilibrium shearanglewasdefined ascorresponding tominimum of totalplastic deformation energy.Introducing Johnson-Cook constitutive equations and dynam ic flow stress constitutive equation in themodel to calculate the shear angle of m inimum energy based on the experimental resultsof 45 steeland compare the calculationwith the resultof Oxley model.Itcould be seen that the calculation from the presentmodel is in good agreementwith the experimental results.

Oxley cuttingmodel;shearangle;plasticwork;m inimum energy

TG115

A

10.3969/j.issn.1671-7872.2014.02.004

1671-7872(2014)02-0120-06

2013-11-06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51175003)

倪宏超(1987-)，男，河北保定人，碩士生，主要從事切削過(guò)程中剪切角模型的研究。

朱國(guó)輝(1959-)，男，上海人，教授，主要從事先進(jìn)材料及工藝開(kāi)發(fā)的研究。