李 超 王長青 李愛軍 扎伯羅特諾夫.尤里

1.西北工業(yè)大學自動化學院國際空間系繩系統(tǒng)研究中心，西安 7100722.薩馬拉國立航空航天大學，俄羅斯薩馬拉

基于標準系數(shù)法的空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制*

李 超1王長青1李愛軍1扎伯羅特諾夫.尤里2

1.西北工業(yè)大學自動化學院國際空間系繩系統(tǒng)研究中心，西安 710072
2.薩馬拉國立航空航天大學，俄羅斯薩馬拉

首先基于啞鈴模型建立空間系繩系統(tǒng)的數(shù)學模型，然后對標準系數(shù)法進行了介紹，在此基礎上提出了基于標準系數(shù)法的空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制算法，最后結合仿真實例對空間系繩系統(tǒng)的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制進行了分析，并與線性最優(yōu)二次型設計方法進行了比較，同時還對系統(tǒng)的魯棒性進行了研究。結果表明使用標準系數(shù)法設計的控制系統(tǒng)不僅能夠達到控制要求，而且設計簡單，所得出的控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

標準系數(shù)法;空間系繩系統(tǒng);啞鈴模型;狀態(tài)保持;穩(wěn)定控制

空間系繩系統(tǒng)是指用柔性系繩將2個或2個以上的航天器連接在一起所構成的空間飛行系統(tǒng)［1］。自1895齊奧爾科夫斯基提出“赤道通天塔”的設想以來，美國、俄羅斯、意大利等多個國家進行了大量的研究和實驗［2］。該系統(tǒng)具有廣闊的應用前景［3-5］:從基站飛船上發(fā)射小衛(wèi)星、監(jiān)測高空大氣層、軌道機動、依靠系繩返回艙從軌道上回收有效載荷、清理太空垃圾等。

系繩系統(tǒng)執(zhí)行的主要科學探測活動大多是在狀態(tài)保持階段進行的。但是復雜的太空環(huán)境會給系統(tǒng)帶來干擾，甚至會影響系統(tǒng)正常工作。因此，需要一定的控制策略將系統(tǒng)快速控制到穩(wěn)定狀態(tài)。Larsen等設計了一套非線性控制器，并利用電動繩注入阻尼的方法將系繩衛(wèi)星系統(tǒng)控制到一個漸進穩(wěn)定的平衡位置［6］。Mankala等設計了一套邊界控制器將系統(tǒng)控制到徑向相對平衡位置［7］。Pasca研究了系繩衛(wèi)星系統(tǒng)在狀態(tài)保持階段的運動，并提出了利用子星推力來控制系繩的面內(nèi)振蕩［8］。Fujii等人在不考慮系繩的徑向振動時，提出了一種波動合并控制方法來抑制系繩的橫向振動［9］。國內(nèi)的Yong He等通過對系統(tǒng)在平衡點穩(wěn)定性的分析推導出了一種速率控制方法［10］。劉麗麗等研究了系繩系統(tǒng)在狀態(tài)保持階段的混沌運動［11］。上述文獻主要針對如何將系繩系統(tǒng)控制到平衡位置以及研究狀態(tài)保持階段的運動。

本文采用在控制工程領域有較好應用的標準系數(shù)法［12-13］來對空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制進行研究。它避免了復雜的優(yōu)化算法，把控制系統(tǒng)的設計轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運算，大大簡化了控制系統(tǒng)的設計。

1 模型建立

采用啞鈴模型，假設系繩為剛性繩，質(zhì)量不計，忽略在拉力下產(chǎn)生的形變，將主星和子星看作質(zhì)點，主星、子星及系統(tǒng)總質(zhì)量分別為m1，m2，m=m1+m2，并且主星質(zhì)量m1遠遠大于子星質(zhì)量m2，所以認為系統(tǒng)質(zhì)心在主星上。在軌道坐標系下建立系統(tǒng)的動力學方程［14］:

為了方便研究，不考慮面外角的影響。因此系統(tǒng)方程(1)可以簡化為

其中，T為系繩的拉力。

2 標準系數(shù)法

目前主要的標準系數(shù)法有:牛頓二項式標準型、ITAE標準型、Butterworth標準型以及各種標準型的改進型。與其他標準型相比，ITAE標準型性能指標具有較好的實用性和選擇性。因此，本文選擇采用ITAE標準型對空間系繩系統(tǒng)進行研究。

表1給出了ITAE標準型一到八階系統(tǒng)的標準特征多項式的形式。其中特征參數(shù)ω0的選擇具有較大的靈活性，通常是根據(jù)所要設計系統(tǒng)的性能要求來選擇。如果事先沒有給出系統(tǒng)的動態(tài)性能指標，ω0的選擇就有較大的范圍，可以根據(jù)具體情況而定。

表1 1～8階系統(tǒng)的標準特征多項式

3 空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制算法

基于標準系數(shù)法的空間系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制算法如下:

1)將空間系繩系統(tǒng)的動力學方程進行線性化處理，得出其狀態(tài)方程

把方程(2)量綱歸一化，并在平衡點附近線性化得:

把系統(tǒng)方程寫成狀態(tài)空間的形式，即:

2)寫出系統(tǒng)的開環(huán)與閉環(huán)傳遞函數(shù)

系繩系統(tǒng)的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制結構圖如圖2所示，令C為單位矩陣。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)反饋結構圖

系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為:

系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:

3)將開環(huán)傳遞函數(shù)寫成分式形式

將式(5)寫成如下分式形式:

代入數(shù)據(jù)，計算得系統(tǒng)特征多項式F(s)和分子多項式g(s)的系數(shù)矩陣F，G分別為:

4)寫出閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，選取標準系數(shù)特征多項式

根據(jù)步驟2)的閉環(huán)傳遞函數(shù)式(6)，系統(tǒng)特征方程為:

將式(8)進行通分，令分子等于標準特征多項式H(s)，得到下面的關系式:

本系統(tǒng)為4階系統(tǒng)，在表1中選取標準特征多項式H(s)，其系數(shù)矩陣H為:

5)選取ω0，求解控制器系數(shù)矩陣P

在式(9)中只有矩陣P是未知的。令關系式左右s相同指數(shù)的系數(shù)對應相等，得到一個方程組，選擇適當?shù)摩?，解方程組就可以求出控制器系數(shù)矩陣P的所有元素。

本文取ω0=1．5，求解控制器系數(shù)矩陣P的代數(shù)方程組得:

4 仿真分析

取系統(tǒng)的初始面內(nèi)角θ=-0．1°，=0．1，系繩系統(tǒng)穩(wěn)定保持的動態(tài)特性仿真結果如圖2所示。

由圖2可以看出，繩長、繩長變化率、面內(nèi)角和面內(nèi)角變化率都在6s內(nèi)回到穩(wěn)態(tài)值，此時系繩系統(tǒng)又穩(wěn)定到平衡狀態(tài)。在系統(tǒng)恢復到平衡狀態(tài)時，雖然系統(tǒng)有一定的振蕩，但是振蕩都非常小，其最大振幅分別為 1.054，0.06，0.062，0.1665。

圖2 基于標準系數(shù)法的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制

4.1 與線性二次型最優(yōu)控制方法的比較

針對空間系繩衛(wèi)星系統(tǒng)在穩(wěn)定狀態(tài)附近的線性化模型，也可以采用線性二次型最優(yōu)控制來設計控制律。在該方法中狀態(tài)變量和輸入變量的加權矩陣Q，R的選擇非常重要。本文中取 Q=diag(5，5，30，30)，R=1，得最優(yōu)化反饋增益矩陣:

在相同的攝動下，系繩系統(tǒng)穩(wěn)定保持的動態(tài)特性仿真結果如圖3所示。

圖3 基于LQR方法的狀態(tài)保持穩(wěn)定控制

由圖3可以看出，基于LQR方法設計的控制系統(tǒng)其繩長、繩長變化率、面內(nèi)角和面內(nèi)角變化率也都在6s內(nèi)回到穩(wěn)態(tài)值。在系統(tǒng)恢復到平衡狀態(tài)時，系統(tǒng)過渡比較平穩(wěn)，沒有太大的振蕩，其最大振幅分別為 1.083，0.102，0.031，0.149。

圖4為2種設計方法控制效果比較圖，其中虛線表示采用標準系數(shù)法設計的控制系統(tǒng)的控制效果圖;實線表示采用LQR方法設計的控制系統(tǒng)的控制效果圖。由圖4可以看出，使用標準系數(shù)法設計的控制系統(tǒng)能夠達到LQR設計方法的控制效果。

圖4 2種設計方法控制效果比較

4.2 魯棒性分析

系繩系統(tǒng)處于太空中，因此會受到太空碎片、極端溫度等各種外界因素的影響，所以系統(tǒng)參數(shù)會有一定的攝動，這表現(xiàn)為系統(tǒng)方程中A，B陣的變化。當系統(tǒng)初始面內(nèi)角為-0.1°時，研究系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持動態(tài)特性的魯棒性。

圖5～7分別表示A陣、B陣以及A陣和B陣同時變化±20%時系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的被控變量θ的動態(tài)特性曲線。其中實線表示系統(tǒng)具有+20%攝動時的仿真結果，虛線表示系統(tǒng)沒有攝動時的仿真結果，點線表示系統(tǒng)具有-20%攝動時的仿真結果。由圖可以看出，當系統(tǒng)受到+20%攝動時，θ的最大振幅增加量在0.015°以內(nèi);當系統(tǒng)受到-20%攝動時，θ的最大振幅增加量在0.01°以內(nèi)。由此可見，基于標準系數(shù)法的設計方法設計的控制系統(tǒng)具有良好的魯棒性。

圖5 A陣變化±20%時系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的動態(tài)特性

5 結論

在簡化的系繩系統(tǒng)模型下，不考慮系繩的面外運動，通過標準系數(shù)法來設計系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持穩(wěn)定控制器。仿真結果表明這種方法與線性二次型最優(yōu)化設計方法的控制效果相當，但比二次型優(yōu)化設計方法簡單，且得出的結果具有良好的魯棒性。研究結果對未來空間系繩系統(tǒng)控制器的設計提供了一定的參考。

圖6 B陣變化±20%時系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的動態(tài)特性

圖7 A，B陣同時變化±20%時系繩系統(tǒng)狀態(tài)保持的動態(tài)特性

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［14］扎伯羅特諾夫·尤里，著.空間系繩系統(tǒng)運動動力學與控制導論［M］.王長青，等.譯.北京:科學出版社，2013.

Stability Control for Station-Keeping Phase of Space Tether System Based on Standard Coefficient Method

LI Chao1WANG Changqing1LI Aijun1ZABOLOTNOV Yuriy2
1.International Research Center of Space Tether System，College of Automation，Northwestern Polytechnical University，Xi’an 710072，China
2.Samara State Aerospace University，Samara，Russia

Firstly，the mathematical model of space tether system based on the dumbbell-shaped model is established．Then，the standard coefficient method is briefly described，and detailed discussion follows on how to design the controller．Finally，by employing simulation cases，the steady control of space tether system is analyzed，and also simulation results are given by comparing the method proposed in this paper with the well-known linear quadratic regulator method．At the same time，the robustness of the control system is studied．The simulation results show that the controller based on the standard coefficient method can achieve the requirement of control system while it is simpler than the linear quadratic regulator method and the control system also has good robustness．

Standard coefficient method;Space tether system;Dumbbell-shaped model;Station-keeping phase;Stability control

V448.2

A

1006-3242(2014)02-0073-05

*2011年度國家國際科技合作專項資助;陜西省科學技術研究發(fā)展計劃項目(2013KW09-02)

2013-09-24

李 超(1986-)，男，河南鶴壁人，碩士研究生，主要研究領域為飛行器控制與仿真、空間系繩系運動動力學與控制等;王長青(1973-)，男，黑龍江富錦人，博士，副教授，主要研究領域為飛行器控制與仿真、空間系繩系統(tǒng)運動動力學與控制等;李愛軍(1972-)，男，黑龍江密山人，博士，教授，主要研究領域為飛行器控制與仿真、空間系繩系統(tǒng)運動動力學與控制等;扎伯羅特諾夫·尤里(1952-)，男，俄羅斯宇航科學院院士，薩馬拉國航空航天大學教授，西北工業(yè)大學高端外國專家，主要研究領域為空間系繩系統(tǒng)運動動力學與控制。