楊文萍

目前關(guān)于文科生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難方面的研究，從所收集的文獻資料來看，多數(shù)集中在從智力因素到非智力因素全面的說明學(xué)生基礎(chǔ)差的原因，并且在實施差生轉(zhuǎn)化策略時也沒有針對某一知識點或者某一方面。盡管這些研究富有啟發(fā)性，但范圍實屬寬泛。本研究為了更加具有針對性，且基于學(xué)生在立體幾何學(xué)習(xí)方面表現(xiàn)出不佳的情況來看，本研究內(nèi)容鎖定為學(xué)生學(xué)習(xí)垂直所遇到的困難。因此，決定選擇廣州市某普通中學(xué)的高二一個文科普通班中的12個學(xué)生作為研究對象，本文確定研究內(nèi)容為：（1）用范希爾的幾何思維水平來評價學(xué)生的立體幾何垂直證明的思維水平；（2）根據(jù)學(xué)生的思維水平發(fā)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明存在的困難。本研究方法主要是以內(nèi)容分析法為主，分析對象主要是學(xué)生平時的作業(yè)以及測驗卷。

1 理論基礎(chǔ)

有關(guān)范希爾幾何思維水平的介紹很多，本文采用鮑建生介紹的“范希爾幾何思維分為視覺、分析、非形式化的演繹、形式化的演繹、嚴密性五個層次”[1]。下面將對這五個層次進行介紹。

（1）層次0：視覺（visuality）

對于圖形，學(xué)生不僅能夠簡單的對圖形進行操作，比如整體辨認、繪畫或仿畫，而且還能對圖形進行描述，不管使用標準的還是不標準的名稱。但是這種操作無法深入達到分析圖形的狀態(tài)，也無法概括論述圖形。

（2）層次1：分析（analysis）

學(xué)生能對圖形進行進一步的操作，即分析圖形的基本結(jié)構(gòu)及其特征從而解決基本的幾何問題。雖然可以通過分析來區(qū)分兩個圖形，并進行分類，但是對圖形性質(zhì)間的關(guān)系比較模糊，也不知如何使用公式，更不會導(dǎo)出公式。

學(xué)生可以清晰地解釋圖形及其性質(zhì)之間的關(guān)系，會使用公式，達到演繹的狀態(tài)。但在陌生前提的條件下，無法使用定理證明結(jié)果，沒有定理間的網(wǎng)絡(luò)知識結(jié)構(gòu)。

（4）層次3：形式化的演繹（formal deduction）

學(xué)生在達到前面三種水平的基礎(chǔ)上，可以對幾何證明進行演繹的推理，能猜測并能證明。能理解證明中的必要和充分條件。

（5）層次4：嚴密性（rigior）

在這個層次，能在不同的公里體系下嚴密地建立定理，以分析比較不同的幾何體系，如歐氏幾何和非歐式幾何系統(tǒng)的比較。

由于范希爾理論是用0～4編號，本研究為了敘述的方便，在描述時會按照水平1～5的方式，編碼為L1-L5。本文采用的是范希爾的五個層次的分類。

2 內(nèi)容分析的設(shè)計與實施

內(nèi)容分析是教育中的一種重要的研究方法，用它可對有關(guān)研究文獻、實驗記錄、訪談記錄、觀察記錄、教材、課堂講授、學(xué)生作業(yè)等各種材料進行分析?！疤接懶睦砼c教育活動的規(guī)律”[2]。

第六，開磷擁有生態(tài)環(huán)保競爭優(yōu)勢。國家通過環(huán)保政策和市場化去產(chǎn)能，像開磷這樣擁有規(guī)模實力、先進生產(chǎn)工藝和環(huán)保治理能力的大型企業(yè)將在結(jié)構(gòu)調(diào)整中占據(jù)有利地位。

根據(jù)內(nèi)容分析這種研究方法，本文將從以下五個方面來進行本研究的具體實施過程的闡述：

研究目的的確定。本研究是屬于現(xiàn)狀分析，基于研究者所執(zhí)教的學(xué)生在考試時立體幾何得分率很低，學(xué)生對于立體幾何的學(xué)習(xí)叫苦連天。另外考慮到學(xué)生在做平行問題時完成得不錯，而在垂直證明的問題上就表現(xiàn)出極大的阻力。再者高考中立體幾何垂直問題占據(jù)一定位置，綜合這幾個因素確定本研究的目的是找出高二文科生的立體幾何垂直證明問題的困難，并因此分析原因所在。

（2）分析單位。根據(jù)本文的研究目的是找出高二文科生的立體幾何垂直證明問題的困難，并因此分析原因所在，因此本研究的分析單位就是文科生的有關(guān)立體幾何垂直證明所做過的題目（這里包括作業(yè)和測驗卷），即已經(jīng)抽取了的研究材料。

（3）分析維度。根據(jù)3.3節(jié)范希爾幾何思維的5個水平，將本文的分析維度劃分為五個維度：層次0（視覺），編碼為L1；層次1（分析），編碼為L2；層次2（非形式化的演繹），編碼為L3；層次3（形式化的演繹），編碼為L4；層次4（嚴密性），編碼為L5。把沒做題目的和只從條件題目得出一個結(jié)論的這兩種情況都視為層次0。其余的根據(jù)所寫的情況分類。

（4）分析材料。根據(jù)研究材料的確定，從來源抽樣，分析單位抽樣，日期抽樣三者結(jié)合在一起構(gòu)成了本研究的研究材料。第1題是關(guān)于線線垂直的證明，此題需要通過作輔助線才能解決證明問題。第2題是關(guān)于線線垂直的證明，所考查的是勾股定理的逆定理以及線面垂直判定定理的運用。第3題是關(guān)于線面垂直的證明，其中涉及的知識點有勾股定理的逆定理和面面垂直的性質(zhì)定理。第4題是2009—2010年廣州市期末教學(xué)質(zhì)量檢測考試的一道立體幾何考試題目，本題是節(jié)選垂直的證明。第5題是2008—2009年廣州市期末教學(xué)質(zhì)量檢測考試的一道立體幾何考試題目，本題是節(jié)選垂直的證明?！皳?jù)已有的數(shù)學(xué)教學(xué)任務(wù)水平分類可以把數(shù)學(xué)任務(wù)的認知要求化分為3種類型或?qū)哟?記憶、理解、探究”[3]，所選的五道題都屬于理解層次。

（5）評判記錄。在此對這12人在按照成績高低順序后，用英文大寫字母X～I進行編碼，題目編號就是1～5。字母和數(shù)字放在一起就表示某個人完成的某道題，如X1表示的就是第一個人完成的第一道題，A5表示第四個人完成的第五道題。為了能夠明顯看到學(xué)生幾何思維處于哪種水平，從而看到學(xué)生學(xué)習(xí)幾何垂直證明的學(xué)習(xí)情況，特制定以下表格1。表格的每一行表示某學(xué)生的每道題的思維水平，比如第二行表示學(xué)生X的思維水平，相對應(yīng)的每個空格表示每道題的思維水平情況。

表1 被試垂直證明思維水平層次

3 研究結(jié)果

根據(jù)學(xué)生的作業(yè)和卷子的完成情況，運用范希爾的幾何思維五種層次，研究者在表1中記錄學(xué)生的立體幾何中垂直證明的思維層次，顯示結(jié)果如表2所示。

表2 被試垂直證明思維水平層次顯示

不考慮題目的題號，不考慮學(xué)生的人數(shù)，表2中總共有60個層次結(jié)果。根據(jù)統(tǒng)計計算，大多數(shù)集中在第2層次，其次是第1層次，接著是第4層次、第3層次，最后才是第5層次。具體數(shù)據(jù)為：L2共計29個，L1共計14個，L3共計8個，L4共計9個，L5共計0個。按照總數(shù)為60個來計算百分比，第1層次占據(jù)23.3%，第2層次占據(jù)48.3%，第3層次占據(jù)13.3%，第4層次占據(jù)15%，第5層次占據(jù)0。具體如表3所示。

表3 各思維層次的數(shù)目及其百分比

由表3可以知道沒有一位學(xué)生達到范希爾的幾何思維第5層次，所以以下分析僅僅從范希爾的第1至第4層次思維分析學(xué)生的作業(yè)和卷子的完成情況。

（1）第1層次

在表3中我們可以看到L1出現(xiàn)的次數(shù)為14次，學(xué)生的垂直證明思維歸屬于此層次，主要是由于學(xué)生因為沒有作答或者只寫出了一句話。沒有作答并不僅僅是因為不知道如何完成該題目，而是在做卷子時，由于時間限制未能在限定的時間解決出來以至于題目的空白。另外有位學(xué)生是因為平時沒有完成作業(yè)的習(xí)慣，而導(dǎo)致所需做的題目空白。

（2）第2層次

在表3中我們可以看到L2出現(xiàn)的次數(shù)為29次，但是學(xué)生并沒有出現(xiàn)29種出錯的情況，他們所犯錯誤都有相同之處，歸納起來就是：①性質(zhì)定理的誤用。一見到面面垂直，就直接想到線面垂直；或者一見到面面垂直，就直接得出線線垂直，并沒有考慮面面垂直的性質(zhì)是什么。另外，兩個平面的交線在垂直的情況下會變得很特殊，即在兩個平面垂直的條件下，交線就會垂直于任一平面的所有直線。而對于矩形，就直接認為矩形的對角線是互相垂直的。②知識的負遷移。學(xué)生在初中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中已經(jīng)接觸過平行線，其傳遞性的性質(zhì)即“三條直線中，只要有兩條直線平行于第三條直線，則它們也相互平行”對學(xué)生的影響極大。學(xué)生們認為在垂直中也有同樣的性質(zhì)，于是他們得出“若兩條直線垂直于同一直線，那么這兩條直線也互相垂直”的錯誤結(jié)果。③知覺無恒常性。由于缺乏立體感，看到立體的圖形都用平面的直覺來表示，認為看到的圖形就是真實的。④方法選取的不恰當(dāng)。比如，用全等三角形的方法來證明兩條直線垂直，不懂得怎樣作輔助線。⑤概念的誤解。比如，認為直三棱柱的側(cè)面是互相垂直。⑥目標不明確。在證明線面垂直時，得到的結(jié)果是面內(nèi)的直線垂直另外一個新的平面。

（3）第3層次

在表3中我們可以看到L3出現(xiàn)的次數(shù)為8次，學(xué)生所犯錯誤可以歸結(jié)于兩種情形：①理所當(dāng)然型。此類型表現(xiàn)在學(xué)生答題思路雖然正確，但是在證明的過程中，有一步的某一條件需要證明的沒有給出證明，或者理所當(dāng)然認為是條件已經(jīng)給出的，或?qū)W生自己假設(shè)，而這一步其實是可以從已知條件中推出的。②戛然而止型。在證明的過程中，前面進行得很順利，但是在接近快要完成證明的時候突然停止沒再繼續(xù)往下證明，有時候就差一步就可以完成。

（4）第4層次

在表3中我們可以看到L4出現(xiàn)的次數(shù)為9次，相對于前面的三個層次來說，此層次的水平要高，它表現(xiàn)在學(xué)生可以正確的完成題目，包括語言組織和思路的整理。

4 研究結(jié)論

本研究通過用范希爾的幾何思維水平理論來分析學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明中的思維水平，進而分析學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明中存在的困難。經(jīng)過前面的分析，可以得出以下結(jié)論：

（1）學(xué)生在證明立體幾何垂直問題方面表現(xiàn)出了興趣的缺乏。與學(xué)生相對沒那么抗拒的平行證明來說，立體幾何垂直證明問題牽涉的知識點要多。涉及的關(guān)系越多、知識點越多，需要學(xué)生所掌握的知識就越多。由此學(xué)生在證明時遇到了困難，表現(xiàn)出了極大的挫敗感，因為知識的掌握不多，再加上挫敗感，讓學(xué)生幾乎喪失對此的學(xué)習(xí)。

（2）學(xué)生在學(xué)習(xí)三維的知識時會受到二維知識的影響，在學(xué)習(xí)新知識時會有負遷移的情況。其一，學(xué)生在學(xué)習(xí)面面垂直的性質(zhì)時表現(xiàn)出了極大的困難。這種困難就表現(xiàn)在學(xué)生沒有弄清在什么情況下才能從面面垂直得出線面垂直，看到“面面垂直”這個刺激物，就直接得出的反射結(jié)果“線面垂直”或者“線線垂直”。或者從另外一個角度來分析就是學(xué)生對于從面到線的變化有著迷惑，追溯到從線到面會有什么樣的性質(zhì)變化也是學(xué)生的困惑點?；谶@樣的困惑點，學(xué)生在做題的時候就表現(xiàn)得一覽無余。其二，學(xué)生在學(xué)習(xí)垂直時往往會受到平行的一些性質(zhì)的影響。比如，由“同時平行于同一直線的兩直線平行”，學(xué)生可以得出“同時垂直于同一直線的兩直線垂直”。

（3）學(xué)生學(xué)習(xí)立體幾何垂直證明受到知覺無恒常性的影響。由于知覺無恒常性，導(dǎo)致缺乏立體感，看到立體的圖形都用平面的直覺來表示，認為看到的圖形就是真實的，從而就有立體幾何圖形怎么看都不立體，怎么看都是平面。

（4）學(xué)生做立體幾何垂直證明題時不擅長用分析法。分析法不擅長表現(xiàn)在學(xué)生在證明時，目標不明確，不明白自己所要證明的結(jié)論和題目或者是自己寫的東西有什么聯(lián)系。

[1] 鮑建生，周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009：4-5.

[2] 董奇.心理與教育研究方法[M].北京:北京師范大學(xué)出版社,2004：304.

[3] 姚靜.數(shù)學(xué)任務(wù)框架:一種教學(xué)反思的理論[J].貴州師范大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）,2003（3）：31-35.