俞燕明,肖加奇,魏寶君,趙彥偉

(1.中石油長城鉆探工程有限公司測井技術(shù)研究院,北京 102206;2.中國石油大學(xué)理學(xué)院,山東青島 266580)

用并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式評價金屬心軸對多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的影響

俞燕明1,肖加奇1,魏寶君2,趙彥偉1

(1.中石油長城鉆探工程有限公司測井技術(shù)研究院,北京 102206;2.中國石油大學(xué)理學(xué)院,山東青島 266580)

基于圓柱坐標(biāo)系下徑向成層介質(zhì)中并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式分析金屬心軸對多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的影響。為提高計算精度,考慮各分量線圈系的具體形狀。將金屬心軸作為一層介質(zhì)處理,既可以考慮其電導(dǎo)率有限、也可以考慮其電導(dǎo)率為無窮大的情況。計算結(jié)果表明,金屬心軸的存在導(dǎo)致各分量感應(yīng)電動勢實部信號和虛部信號的強度變小。當(dāng)心軸電導(dǎo)率較小時無論是實部信號還是虛部信號均不隨心軸電導(dǎo)率的增加而明顯改變。當(dāng)心軸電導(dǎo)率增加到一定臨界值時感應(yīng)電動勢的實部信號快速減小并逐漸穩(wěn)定到一個較低數(shù)值,而虛部信號先逐漸增加再快速減小并逐漸穩(wěn)定到一個較低數(shù)值。

多分量感應(yīng)測井;金屬心軸;并矢Green函數(shù);矢量本征函數(shù)

多分量感應(yīng)測井儀器[1-5]由多組沿三個方向彼此垂直的發(fā)射-接收線圈陣列組成,可同時探測各向異性地層如砂-泥巖薄交互層的水平電阻率和垂向電阻率信息,對復(fù)雜地層尤其是傾斜井或水平井情況下各向異性地層的高精度對比評價具有重要意義。對于多分量感應(yīng)測井儀器在復(fù)雜地層中響應(yīng)的模擬,已有很多文獻進行了分析討論[6-11],但這些數(shù)值模擬對儀器結(jié)構(gòu)考慮的較為簡單,一般將各分量的線圈系作為磁偶極子處理。在多分量感應(yīng)測井儀器的設(shè)計制造過程中,為增加儀器的機械強度,在儀器中心一般置有金屬心軸。由于金屬心軸電導(dǎo)率較高,各分量發(fā)射線圈的電流在其表面產(chǎn)生渦流,金屬心軸的渦流與發(fā)射線圈的電流共同在接收線圈處產(chǎn)生感應(yīng)電動勢,從而對接收線圈處的電磁信號產(chǎn)生影響。因而有必要分析金屬心軸對多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的影響,并在數(shù)值模擬中考慮線圈系的具體結(jié)構(gòu),從而為實際儀器的刻度提供準(zhǔn)確的刻度值。文獻[12-13]討論了金屬心軸對僅含軸向線圈系的陣列感應(yīng)測井儀器響應(yīng)的影響。筆者基于圓柱坐標(biāo)系下徑向成層介質(zhì)中并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式討論金屬心軸對多分量感應(yīng)測井儀器不同分量線圈系響應(yīng)的影響規(guī)律,計算考慮金屬心軸和線圈系形狀時各分量感應(yīng)電動勢隨地層電導(dǎo)率變化的規(guī)律。

1 基本理論

由于多分量感應(yīng)測井儀器心軸的基本形狀為圓柱形,并考慮到地層呈軸對稱分布,故采用圓柱坐標(biāo)系。設(shè)發(fā)射源隨時間的變化關(guān)系為exp(-iωt),其中ω為角頻率,并假設(shè)場點位置坐標(biāo)為R(r,φ,z)、源點位置坐標(biāo)為R′(r′,φ′,z′)。

1.1 均勻介質(zhì)中并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式

均勻介質(zhì)中電流源電型并矢Green函數(shù)PGEJ(R,R′)的矢量本征函數(shù)展開式同PGHM(R,R′),電流源磁型并矢Green函數(shù)PGHJ(R,R′)的矢量本征函數(shù)展開式同-PGEM(R,R′)。

1.2 徑向成2層介質(zhì)中并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式

考慮到實際需要,首先假設(shè)圓柱形徑向成層介質(zhì)由內(nèi)向外在徑向共有2層(圖1),層界面半徑為r1,每層介質(zhì)的參數(shù)為2μlεl,ηl=(l=1,2)?？紤]到多分量感應(yīng)測井儀器的發(fā)射線圈和接收線圈均在心軸外側(cè),只列出源點位置在第2層,場點位置在不同地層時磁流源和電流源并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式。

圖1 線圈系模型簡圖Fig.1 Schematic configuration of coils

當(dāng)場點位置在第1層時:

式中,、、為待定系數(shù)。

當(dāng)場點位置在第2層時:

若將金屬心軸視為理想導(dǎo)體,其電導(dǎo)率為無窮大,則電磁場只存在于介質(zhì)2中,對磁流源并矢Green函數(shù)而言,圓柱界面r1處^er×(R,R′)=0,則

對電流源并矢Green函數(shù)而言,圓柱界面r1處(R,R′)=0,則

無論是金屬心軸的電導(dǎo)率有限還是無窮大,各待定系數(shù)滿足如下關(guān)系:

1.3 多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的計算

多分量感應(yīng)測井儀器的z向線圈可視為圓柱面,x、y方向的線圈可視為長方形(圖1),因而在計算多分量感應(yīng)測井響應(yīng)時可分4種情況。

1.3.1z向發(fā)射、z向接收(即zz分量)

設(shè)發(fā)射線圈半徑為rT,中心點軸向坐標(biāo)為zT,匝數(shù)為NT,電流強度為IT,接收線圈半徑為rR,中心點軸向坐標(biāo)為zR,匝數(shù)為NR。發(fā)射線圈沿軸向均勻排列在軸向?qū)挾葹棣T的圓柱面上,接收線圈沿軸向均勻排列在軸向?qū)挾葹棣R的圓柱面上,則發(fā)射線圈上的電流密度可表示為

而地層中的電磁場強度可表示為

式中,D為電流源所在的區(qū)域。將式(3)代入式(4),得

接收線圈處的感應(yīng)電動勢可表示為

將式(6)代入式(7),得

根據(jù)并矢Green函數(shù)的展開特點,式(8)的各項積分均可以通過解析方式得到,且并矢Green函數(shù)只含有n=0階項。

1.3.2z向發(fā)射、x或y向接收(即zx分量或zy分量)

設(shè)接收線圈中心點坐標(biāo)為(rR,φR,zR)、高度為ΔzR、寬度為ΔlR,在垂向坐標(biāo)為z、局部橫向位置為l處取一高度為dz、寬度為dl的長方形面元ds,則該面元在圓柱坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

該小面元處的總磁通為

接收線圈的感應(yīng)電動勢為

式(9)中的磁場強度可通過將式(3)代入式(5)得到,即

由于發(fā)射線圈產(chǎn)生的磁場沒有φ分量,將式(10)代入式(9)得

式中除第三重對dl的積分需用數(shù)值計算外,其他積分均可以通過解析方式得到,且并矢Green函數(shù)只含有n=0階項。

1.3.3x或y向發(fā)射、z向接收(即xz分量或yz分量)

設(shè)發(fā)射線圈中心點坐標(biāo)為(rT,φT,zT)、高度為ΔzT、寬度為ΔlT,在垂向坐標(biāo)為z′、局部橫向位置為l′處取一高度為dz′、寬度為dl′的長方形面元ds′,則該面元在圓柱坐標(biāo)系下的坐標(biāo)為

該面元所繞線圈的磁偶極矩可表示為

而地層中的電磁場強度可表示為

結(jié)合式(12)～(14),得到長方形發(fā)射線圈在地層中產(chǎn)生的電磁場強度為

接收線圈處的感應(yīng)電動勢可表示為

將式(15)代入式(17),得

式中除第一重對dl′的積分需用數(shù)值計算外,其他積分均可以通過解析方式得到,且并矢Green函數(shù)只含有n=0階項。

1.3.4x或y向發(fā)射、x或y向接收(即xx、xy、yx或yy分量)

將式(16)代入式(9),得

式中,第二重和第四重對dz′、dz的積分可解析得到,第一重和第三重對dl′、dl的積分需用數(shù)值計算。

2 數(shù)值算例

2.1 多分量感應(yīng)測井響應(yīng)與均質(zhì)地層電導(dǎo)率的關(guān)系

假設(shè)發(fā)射線圈電流IT=1 A、金屬心軸半徑r1= 0.0127 m,分別考察心軸電導(dǎo)率σ1為0和無窮大時各分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率σ2的變化關(guān)系。

2.1.1zz分量的感應(yīng)電動勢

z向發(fā)射線圈由兩部分組成,匝數(shù)NT=50、半徑rT=0.033 m、軸向?qū)挾圈T=0.052 m、中心點軸向坐標(biāo)分別為zT=±0.0565 m。z向接收線圈由主接收線圈和屏蔽接收線圈兩部分組成,rR=rT。主接收線圈匝數(shù)NR=90、中心點軸向坐標(biāo)zR=1.143 m、軸向?qū)挾圈R=0.09434 m,屏蔽接收線圈匝數(shù)N′R=-40、中心點軸向坐標(biāo)z′R=0.8737 m、軸向?qū)挾圈′R=0.04134 m。取發(fā)射頻率為44 kHz。圖2給出了zz分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系。該分量亦采用文獻[18]的方法進行了模擬計算,兩種方法的計算結(jié)果完全一致,說明了本文方法的正確性。

圖2zz分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.2 Relationship betweenzz-component's electromotive force and homogeneous formation's conductivity

2.1.2zx分量的感應(yīng)電動勢

所采用頻率和z向發(fā)射線圈參數(shù)同上。x向接收線圈系的高度ΔzR=0.036 m、寬度ΔlR=0.04326 m、中心點徑向坐標(biāo)rR=0.02725 m。接收線圈系由方位角分別在φR=0°和φR=180°的兩對完全相同的主接收/屏蔽接收線圈組成。主接收線圈匝數(shù)NR=44、中心點軸向坐標(biāo)zR=1.6 m,屏蔽接收線圈匝數(shù)N′R=-22、中心點軸向坐標(biāo)z′R=1.27 m。圖3給出了zx分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系。

圖3zx分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.3 Relationship betweenzx-component's electromotive force and homogeneous formation's conductivity

2.1.3xz分量的感應(yīng)電動勢

取發(fā)射頻率為64 kHz,z向接收線圈參數(shù)同上。x向發(fā)射線圈系由方位角分別在φT=0°和φT=180°處完全相同的兩個線圈組成,匝數(shù)NT=39、中心點軸向坐標(biāo)zT=0.0 m、中心點徑向坐標(biāo)rT=0.02725 m、高度ΔzT=0.036 m、寬度ΔlT=0.04326 m。圖4給出了xz分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系。

圖4xz分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.4 Relationship betweenxz-component's electromotive force and homogeneous formation's conductivity

2.1.4xx分量的感應(yīng)電動勢

取發(fā)射頻率為64 kHz,x向發(fā)射線圈系和x向接收線圈系結(jié)構(gòu)及參數(shù)同上。圖5給出了xx分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系。

圖5xx分量感應(yīng)電動勢隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.5 Relationship betweenxx-component's electromotive force and homogeneous formation's conductivity

由圖2～5可以看出,由于金屬心軸的存在使發(fā)射線圈和接收線圈的有效面積減小,故各分量感應(yīng)電動勢實部和虛部的絕對值亦相應(yīng)減小,且不同分量感應(yīng)電動勢減小的規(guī)律相同。當(dāng)然,不同線圈距、不同分量感應(yīng)電動勢的數(shù)值及其隨均質(zhì)地層電導(dǎo)率的變化關(guān)系是有差別的。計算發(fā)現(xiàn),對同一分量而言,線圈距越大,信號強度越小,并且在電導(dǎo)率越小時感應(yīng)電動勢開始出現(xiàn)震蕩,說明對地層電導(dǎo)率的探測范圍變小。對比不同分量的感應(yīng)電動勢發(fā)現(xiàn),xx分量對地層電導(dǎo)率的探測范圍最小。由于已考慮到各分量線圈系的具體形狀和金屬心軸的影響,該儀器模型更接近于實際儀器的結(jié)構(gòu),因而圖2～5的模擬數(shù)據(jù)更接近于儀器測量值,從而可為實際儀器提供更高精度的刻度值。

2.2 多分量感應(yīng)測井響應(yīng)與鉆井液電導(dǎo)率的關(guān)系

在存在井眼的情況下,采用徑向成3層介質(zhì)模型,第1層介質(zhì)為金屬心軸、第2層介質(zhì)為井眼、第3層介質(zhì)為原狀均質(zhì)地層。設(shè)井眼半徑r2=0.12 m、原狀地層電導(dǎo)率σ3=0.2 S·m-1,線圈系參數(shù)同上。圖6給出了部分分量的感應(yīng)電動勢隨井眼內(nèi)鉆井液電導(dǎo)率σm的變化關(guān)系。由圖6可以得到相同結(jié)論,即在存在井眼的情況下各分量感應(yīng)電動勢實部和虛部的絕對值均相應(yīng)減小。

圖6 不同分量感應(yīng)電動勢隨鉆井液電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.6 Relationship between different component's electromotive force and drilling mud's conductivity

2.3 多分量感應(yīng)測井響應(yīng)與心軸電導(dǎo)率的關(guān)系

為了考察心軸電導(dǎo)率的不同取值對各分量感應(yīng)電動勢的影響,固定均質(zhì)地層電導(dǎo)率σ2=0.2 S· m-1,取發(fā)射頻率分別為44和68 kHz。圖7給出了zz分量接收線圈系的感應(yīng)電動勢隨心軸電導(dǎo)率的變化關(guān)系。圖8給出了zx分量接收線圈系的感應(yīng)電動勢隨心軸電導(dǎo)率的變化關(guān)系。對其他分量可得到相似規(guī)律。

圖7zz分量感應(yīng)電動勢隨心軸電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.7 Relationship betweenzz-component's electromotive force and mandrel's conductivity

圖8zx分量感應(yīng)電動勢隨心軸電導(dǎo)率變化關(guān)系Fig.8 Relationship betweenzx-component's electromotive force and mandrel's conductivity

由圖7～8可以看出,各分量實部感應(yīng)電動勢與虛部感應(yīng)電動勢隨心軸電導(dǎo)率的變化關(guān)系是不同的。對各分量實部感應(yīng)電動勢而言,當(dāng)心軸電導(dǎo)率較小時其數(shù)值并不隨心軸電導(dǎo)率的增加而明顯改變,只有當(dāng)心軸電導(dǎo)率增加到一定臨界值時感應(yīng)電動勢數(shù)值快速減小,此后逐漸穩(wěn)定到一個較低數(shù)值。對各分量虛部感應(yīng)電動勢而言,當(dāng)心軸電導(dǎo)率較小時其數(shù)值亦不隨心軸電導(dǎo)率的增加而明顯改變,當(dāng)心軸電導(dǎo)率增加到一定臨界值時感應(yīng)電動勢數(shù)值先逐漸增加再快速減小,此后逐漸穩(wěn)定到一個較低數(shù)值。心軸電導(dǎo)率的臨界值與頻率有關(guān),頻率越高,心軸電導(dǎo)率的臨界值越小。

3 結(jié) 論

(1)采用基于圓柱坐標(biāo)系下徑向成層介質(zhì)并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式可有效模擬含金屬心軸多分量感應(yīng)測井儀器在徑向成層地層中的響應(yīng)。由于在模擬中考慮了金屬心軸對儀器響應(yīng)的影響,不僅能為多分量感應(yīng)測井刻度裝置設(shè)計提供理論依據(jù),而且能用于高精度的刻度器地層等效讀數(shù)的計算。

(2)當(dāng)金屬心軸存在時,多分量感應(yīng)測井儀器各分量感應(yīng)電動勢實部信號和虛部信號的強度變小,且不同分量感應(yīng)電動勢減小的規(guī)律相同。

(3)各分量感應(yīng)電動勢的實部信號和虛部信號隨心軸電導(dǎo)率的變化關(guān)系不同。當(dāng)心軸電導(dǎo)率較小時無論是實部信號還是虛部信號均不隨心軸電導(dǎo)率的增加而明顯改變。當(dāng)心軸電導(dǎo)率增加到一定臨界值時,感應(yīng)電動勢的實部信號快速減小,并逐漸穩(wěn)定到一個較低數(shù)值,而虛部信號先逐漸增加再快速減小,并逐漸穩(wěn)定到一個較低數(shù)值。

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(編輯 修榮榮)

Evaluating influence of metal mandrel on response of multi-component induction logging by vector eigenfunction expansion formulae for dyadic Green's functions

YU Yanming1,XIAO Jiaqi1,WEI Baojun2,ZHAO Yanwei1
(1.Logging Technique Research Institute of Great Wall Drilling Company in China National Petroleum Corporation, Beijing 102206,China; 2.College of Science in China University of Petroleum,Qingdao 266580,China)

The influence of metal mandrel on the response of multi-component induction logging was analyzed using the vector eigenfunction expansion formulae for dyadic Green's functions of radial-layered medium in cylindrical coordinate system.The shape of each component's coils was taken into account in order to increase the computational precision.The metal mandrel was assumed as a layer of medium whose conductivity can be both finite and infinite.The results show that the intensity of both the real and imaginary parts of each component's electromotive force will decrease because of the introduction of the metal mandrel.There is no distinct change in both the real and imaginary parts of the electromotive force when the amount of increase of the mandrel's conductivity is small.Both the real and imaginary parts of the electromotive force decrease rapidly when the mandrel's conductivity reaches a critical value,and then the real part will gradually achieve a stable lower value. While the imaginary part will first increase and then decrease when the mandrel's conductivity reaches the critical value,it will also gradually achieve a stable lower value eventually.

multi-component induction logging;metal mandrel;dyadic Green's functions;vector eigenfunction

P 631.9

A

1673-5005(2014)04-0057-08

10.3969/j.issn.1673-5005.2014.04.008

2013-10-05

國家“十二五”重大專項(2011ZX05020-004)

俞燕明(1983-),男,工程師,博士,研究方向為電法測井與核磁共振理論方法。E-mail:yuyanming@cnlc.cn。

俞燕明,肖加奇,魏寶君,等.用并矢Green函數(shù)的矢量本征函數(shù)展開式評價金屬心軸對多分量感應(yīng)測井響應(yīng)的影響[J].中國石油大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2014,38(4):57-64.

YU Yanming,XIAO Jiaqi,WEI Baojun,et al.Evaluating influence of metal mandrel on response of multi-component induction logging by vector eigenfunction expansion formulae for dyadic Green's functions[J].Journal of China University of Petroleum(Edition of Natural Science),2014,38(4):57-64.