宿非凡，王瑞峰

(1．中國科學(xué)院物理研究所，北京 100190;北京交通大學(xué)，北京 100044)

自從約瑟夫森(Josephson)于1962年發(fā)現(xiàn)了Josephson效應(yīng)以來，超導(dǎo)電子學(xué)取得了迅速的發(fā)展。作為超導(dǎo)電子學(xué)的最基本原件——Josephson隧道結(jié)，無論是對(duì)其的理論研究還是其制備工藝的研究改進(jìn)都是十分有意義的［1-4］。

近幾年來國外已經(jīng)有一些軟件可以用來對(duì)Josephson結(jié)進(jìn)行直接的模擬仿真，比如 Wins、JSpice等，然而這些軟件的各種功能還不能讓人滿意，現(xiàn)階段還無法滿足Josephson結(jié)研究的具體要求。

EWB是目前的一種最簡單、最普遍的分析和模擬各種電路的有力工具，而且可以采用圖形輸入方式，操作界面直觀［5］。其分析功能強(qiáng)大，利用它可以方便的求出電路各種變量的時(shí)域、頻域等特性。

如果能夠利用這個(gè)軟件對(duì)約瑟夫森結(jié)進(jìn)行仿真研究，可以大大提高工作效率、降低勞動(dòng)量。同時(shí)，可以將約瑟夫森結(jié)與外電路很好的結(jié)合在一起，所以該模型將具有物理意義突出，物理圖景明顯的特點(diǎn)。

1 Josephson效應(yīng)簡介

約瑟夫森效應(yīng)也就是我們所說的非線性量子隧道效應(yīng)，兩塊超導(dǎo)體中間加一層很薄的絕緣層，即構(gòu)成一種典型的Josephson結(jié)。在這種情況下，絕緣層相當(dāng)于一個(gè)勢壘其勢能高于Cooper Pair的動(dòng)能。根據(jù)經(jīng)典理論，我們知道Cooper Pair是不可能穿過這個(gè)勢壘的。但是，根據(jù)量子理論Cooper Pair有一定的概率可以穿過這個(gè)勢壘，這種量子的隧道效應(yīng)就是約瑟夫森效應(yīng)產(chǎn)生的物理基礎(chǔ)。

根據(jù)微觀的BCS理論，超導(dǎo)體在進(jìn)入超導(dǎo)態(tài)后，超導(dǎo)電子結(jié)合成庫珀對(duì)。這些庫珀對(duì)彼此交疊滲透導(dǎo)致整個(gè)超導(dǎo)體中的超導(dǎo)電子有相同的有序度。當(dāng)兩塊超導(dǎo)體相距很遠(yuǎn)時(shí)，它們序參量的位相必然不相關(guān);當(dāng)它們合并在一起時(shí)，位相必然相同;如果它們處于既不遠(yuǎn)離、也不合并，那么它們之間必然存在某種關(guān)聯(lián)，使它們的位相既非完全相同也非毫不相關(guān)，而是維持一定的關(guān)系。

1965年Josephson將約瑟夫森結(jié)滿足的電動(dòng)力學(xué)規(guī)律總結(jié)為Josephson方程組的四個(gè)方程:

其中:θ為絕緣層兩側(cè)的電子波函數(shù)的相位差，j為流過約瑟夫森結(jié)的電流密度，jc為這個(gè)約瑟夫森結(jié)的臨界電流密度，V為結(jié)兩側(cè)的直流電壓值，→H為磁場強(qiáng)度。d為外磁場在勢壘區(qū)附近的有效穿透深度，其值為d= λ1+ λ2+t，λ1、λ2為絕緣層兩側(cè)超導(dǎo)體的穿透深度，t為絕緣層的厚度，ˉc為電磁波在約瑟夫森結(jié)中的傳播速度。

2 Josephson結(jié)的I-V特性曲線和常用模型

2．1 Josephson結(jié)的I-V特性曲線

由于約瑟夫森結(jié)中絕緣層的存在，所以結(jié)的超導(dǎo)層之間會(huì)出現(xiàn)電容特性。這個(gè)電容特性會(huì)引起約瑟夫森結(jié)的I-V回滯。約瑟夫森結(jié)典型的I-V特性，見圖1。

圖1 約瑟夫森結(jié)典型的I-V特性曲線

圖1 中顯示出來的非線性特性在實(shí)際的許多應(yīng)用之中是不利的，根據(jù)電路的相關(guān)知識(shí)我們知道，可以在約瑟夫森結(jié)上并聯(lián)一個(gè)定值電阻來減小這種回滯現(xiàn)象。這時(shí)候Josephson結(jié)的I-V特性，見圖2。

圖2 消除回滯后約瑟夫森結(jié)典型的I-V特性曲線

在這種特性曲線中，隨著電壓的增大和減小，特性曲線是可逆的。當(dāng)I＞IC時(shí)電壓由零電壓狀態(tài)跳變至有限電壓狀態(tài)。在有限電壓狀態(tài)，特性曲線遵從歐姆定律，表現(xiàn)出有限電阻的特性。

2．2 Josephson結(jié)常用模型

對(duì)于實(shí)際的Josephson結(jié)，可以將其視為一個(gè)滿足I=ICsinθ的理想Josephson結(jié)與耗散電阻R，結(jié)間分布電容C并聯(lián)的模型，其等效電路見圖3，這就是常用的Stewart-Mc Cumber模型，也常稱為RCSJ(電阻一電容并聯(lián)Josephson結(jié))模型。

在這個(gè)電路中，外加電流源時(shí)，總電流可以表達(dá)為:

其中:IC、IR、IJ分別表示流過電容器，電阻和理想Josephson結(jié)的電流。將其展開有:

圖3 Josephson結(jié)的RCSJ模型等效電路圖

有這樣一種情況，當(dāng)Josephson結(jié)的耗散電阻R很小以至于分布電容C相當(dāng)于開路時(shí)，RCSJ模型簡化為一個(gè)理想Josephson結(jié)與電阻的并聯(lián)，即所謂的RSJ模型。其等效電路圖見圖4。

這種情況下有βC＞＞1，所以相應(yīng)的電流表達(dá)式應(yīng)該改寫為:

另外一些Josephson結(jié)模型比較復(fù)雜，超出了本文的研究范圍這里不再贅述。

3 Josephson結(jié)的電路(EWB)模型與仿真

3．1 電路仿真軟件EWB

目前對(duì) Josephson結(jié)的仿真研究，由于Josephson結(jié)的高度非線性特點(diǎn)，基本上都要采用數(shù)值計(jì)算的方法。但是應(yīng)用這種方法需要建立復(fù)雜的微分方程(組)并求解，這樣無疑會(huì)帶來效率較低、勞動(dòng)繁重的問題。最近也有課題組采用Matlab建立模型進(jìn)行仿真研究，但是這種方法僅相當(dāng)于采用建立模型的方法來求解微分方程，僅降低了求解微分方程的工作量，物理意義不夠突出，物理圖像不夠明顯。

EWB是目前的一種最簡單、最普遍的分析和模擬各種電路的有力工具，可以大大提高工作效率、降低勞動(dòng)量。同時(shí)，其將約瑟夫森結(jié)與外電路很好的結(jié)合在一起，所以該模型將具有物理意義突出，物理圖景明顯的特點(diǎn)。

本文首次提出了基于EWB簡單電路的理想Josephson結(jié)模型，并利用這個(gè)模型對(duì)Josephson結(jié)的特性進(jìn)行了詳盡的仿真研究，仿真結(jié)果與實(shí)驗(yàn)測量的實(shí)際結(jié)果相比較可以表明該模型是正確合理的。

3．2 Josephson結(jié)的電路(EWB)模型

為了在EWB中得到理想Josephson結(jié)的電路模型，我們先將(2)式對(duì)時(shí)間t積分一次并將積分的結(jié)果代入(1)式，可以得到:

為了全面的仿真研究Josephson結(jié)及其重要應(yīng)用SQUID，我們保留(8)式中的初相位θ0，這樣一來我們根據(jù)(8)式就得到了EWB中得到理想Josephson結(jié)的電路模型，其電路見圖5。

圖5 理想Josephson結(jié)的電路模型圖

圖5 中的所有元件均由EWB的標(biāo)準(zhǔn)元件庫提供，其中各元件分及其作用如下:

(1)電壓控制電壓源，其作用是將Josephson結(jié)兩端的電壓送給下一部分的電學(xué)元件，其放大系數(shù)為1;

(2)理想積分器，其作用是對(duì)電壓控制電壓源輸送來的電壓進(jìn)行積分，其積分系數(shù)為3．038 5 × 1015

(3)、(4)直流電源，其作用是將(8)式中的初始相位表現(xiàn)在電路中;

(5)電壓控制正弦函數(shù)發(fā)生器，其作用是將上一級(jí)輸送來電壓的正弦函數(shù)輸出;

(6)放大器，其作用是將Josephson結(jié)的臨界電流值 IC表現(xiàn)在電路中，其放大系數(shù)就是Josephson結(jié)的臨界電流值IC;

(7)電壓控制電流源，其作用是將上一級(jí)輸送來的電壓值等效轉(zhuǎn)化為電流值，以便將我們的模型接入外部電路中，其系數(shù)為1。

不難看出，我們的模型完全是根據(jù)由約瑟夫森方程組推導(dǎo)而來的(8)式得到的，其物理意義十分明顯，物理圖景清楚。

這樣一來，我們就在EWB中得到了理想的Josephson結(jié)的全電路模型。電路按上圖連接好以后可以進(jìn)行集成，集成好的理想Josephson結(jié)表示為圖6的形式，下面的仿真過程中我們均以此符號(hào)表示理想的約瑟夫森結(jié)。

圖6 集成理想Josephson結(jié)電路符號(hào)

以上獲得的是理想Josephson結(jié)的模型。對(duì)于實(shí)際Josephson結(jié)RSJ模型，我們只要在模型上并聯(lián)一個(gè)電阻即可，對(duì)于RCSJ模型，在RSJ模型原基礎(chǔ)上再并聯(lián)一個(gè)電容即可。

3．3 理想Josephson結(jié)在EWB中的模型的驗(yàn)證結(jié)果

我們利用圖7形式的電路來進(jìn)行仿真?？梢钥吹綀D中電阻R與理想的約瑟夫森結(jié)J并聯(lián)構(gòu)成了實(shí)際Josephson結(jié)的RSJ模型。我們將并聯(lián)電阻設(shè)定為0．5 Ω，Josephson結(jié)的臨界電流設(shè)定為0．4A，理想電流源提供1A的直流恒定電流。

圖7 仿真用的Josephson結(jié)RSJ模型電路圖

圖8 恒定電流源驅(qū)動(dòng)獲得的結(jié)兩端電壓波形

圖8 為恒定電流源驅(qū)動(dòng)獲得的結(jié)兩端電壓波形，可以看出當(dāng)給Josephson結(jié)通過恒定電流(大于其臨界電流)的時(shí)候，Josephson結(jié)兩端的電壓是周期震蕩的，可以看出波形中存在高次諧波成分。

圖9 Josephson結(jié)RSJ模型I-V特性曲線

由仿真結(jié)果我們發(fā)現(xiàn)，理想Josephson結(jié)的電壓隨時(shí)間的變化曲線不是嚴(yán)格的正弦曲線，而是經(jīng)過調(diào)制的曲線。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因是由于理想Josephson結(jié)存在混沌現(xiàn)象。從仿真得到的I-V特性可以明顯看出，當(dāng)流過Josephson結(jié)的電流小于其臨界電流時(shí)，Josephson結(jié)兩端的電壓為0，而當(dāng)電流超過臨界電流時(shí)，Josephson結(jié)兩端出現(xiàn)電壓。這與直流約瑟夫森效應(yīng)一致。

對(duì)RSJ模型的I-V特性進(jìn)行仿真時(shí)，我們使用電路如圖7，理想Josephson結(jié)(IC=0．4 A)和R構(gòu)成實(shí)際Josephson結(jié)的RSJ模型;采用EWB自帶的示波器，重復(fù)仿真過程就可以得到不同偏置電流下Josephson結(jié)的I-V特性曲線。

圖10是我們仿真獲得的RSJ模型在具有不同并聯(lián)電阻R值時(shí)的I-V曲線，圖中曲線所對(duì)應(yīng)的并聯(lián)電阻 R 值分別為 0．50 Ω、0．75 Ω 和 1．00 Ω(圖中從上到下依次為 0．50 Ω、0．75 Ω、1．00 Ω臨界電流分別對(duì)應(yīng) 0．4 A、0．6 A、0．8 A)。

圖10 不同電阻下Josephson結(jié)的RSJ模型I-V特性曲線

圖11 標(biāo)準(zhǔn)理論曲線

為了方便對(duì)比，圖10為標(biāo)準(zhǔn)理論所得到的曲線［5］，將圖9與之相比較可以看出我們仿真得到的I-V特性曲線理論標(biāo)準(zhǔn)方法得到的結(jié)果相一致，這無疑說明我們提出模型和仿真方法是正確可行的。

對(duì)RCSJ模型I-V特性進(jìn)行仿真時(shí)，我們使用圖12所示的電路，圖12中理想約瑟夫森結(jié)(IC=0．1 mA)、電阻 R=3．2 Ω、電容 C 并聯(lián)構(gòu)成實(shí)際Josephson結(jié)的RCSJ模型。仿真時(shí)采用同樣分析方法，得到了RCSJ模型的I-V特性，如圖13(a)～(c)所示。三圖均可以看出明顯的回滯，這是與標(biāo)準(zhǔn)理論相符的。

圖12 對(duì)RCSJ模型仿真電路圖

圖13 Josephson結(jié)的特性曲線

仿真結(jié)果與第三章第二節(jié)描述的回滯I-V曲線一致，也與參考文獻(xiàn)給出的結(jié)果一致，后面章節(jié)中將其與實(shí)驗(yàn)實(shí)際測量(C=5μF、IC=0．8 A)的結(jié)果進(jìn)行了比較也得到了很好的匹配度。這再次說明了該模型可以確實(shí)地用于表示Josephson結(jié)［7-12］。

4 Josephson結(jié)特性的實(shí)驗(yàn)測量

為了完整的研究約瑟夫森結(jié)的物理特性，驗(yàn)證模型的可靠性。進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)測量驗(yàn)證。

從恒流源輸出的電流經(jīng)過低頻濾波后輸入到Josephson結(jié)。本實(shí)驗(yàn)中濾波器的截止頻率為100 Hz，測量過程中用鉛筒作為樣品的超導(dǎo)屏蔽，在液氦(4．2 K)中進(jìn)行測量。

圖14為測量得到的Josephson結(jié)的I-V特性曲線。樣品為SNAP工藝制作。

圖14 實(shí)驗(yàn)測得的JosephsonI-V特性曲線

圖15 實(shí)驗(yàn)用測量環(huán)境液氦恒溫器圖

如圖14與圖15所示，可以看出EWB電路模型模擬的Josephson結(jié)I-V特性曲線與實(shí)驗(yàn)實(shí)際測量得到的Josephson結(jié)I-V符合的很好。所以我們有充足的理由相信，本文提出的Josephson結(jié)EWB電路模型既可以與標(biāo)準(zhǔn)理論的結(jié)果相符合又可以與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相符，所以模型是完全有效的。其可以方便的求出電路中各種變量的動(dòng)態(tài)特性，操作簡單，功能強(qiáng)，利用這個(gè)軟件對(duì)Josephson結(jié)進(jìn)行仿真研究，可以大大提高工作效率。

6 結(jié) 語

為了方便對(duì)約瑟夫森結(jié)的特性進(jìn)行仿真計(jì)算，在EWB軟件中定義了Josephson結(jié)模型，這樣就可以利用EWB強(qiáng)大的運(yùn)算功能方便快捷地進(jìn)行Josephson結(jié)電路的模擬和仿真。使用模型仿真了Josephson結(jié)最主要的I-V特性，仿真結(jié)果與實(shí)際相符，這說明我們定義的模型是有效可用的。實(shí)驗(yàn)制備了全鈮的Josephson結(jié)，選出了比較理想的樣品進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

在測量時(shí)復(fù)雜的實(shí)驗(yàn)環(huán)境中的電磁環(huán)境使得精確的測量變的十分困難，可能出現(xiàn)在不同的時(shí)間段進(jìn)行同一實(shí)驗(yàn)得到不同的結(jié)果;此外，在使用EWB進(jìn)行仿真時(shí)，對(duì)于同樣的電路，不同的仿真參數(shù)設(shè)置可能導(dǎo)致仿真結(jié)果的本質(zhì)變化，如何設(shè)置正確的仿真程序仍需要進(jìn)一步的研究。

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