舒健生，孟少飛，張士熊

(第二炮兵工程大學(xué)906 室，西安 710025)

逆軌攔截是一種特殊的攔截方式，它要求攔截器要在與目標(biāo)遭遇之前飛到目標(biāo)正前方的軌道上，并以較小的軌道交角與目標(biāo)遭遇。這種攔截方式具有較大的攔截概率［1］，同時(shí)也能提高攔截高速非機(jī)動(dòng)目標(biāo)的攔截精度［2］，但同時(shí)也需要已知目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)信息［3］?？疾炷孳墧r截的軌道可以看出，逆軌攔截時(shí)攔截器的速度方向往往指向衛(wèi)星軌道的延長(zhǎng)方向上，并逐漸向衛(wèi)星方向轉(zhuǎn)動(dòng)，在這個(gè)過程中，攔截器的位置也逐漸向衛(wèi)星軌道的延長(zhǎng)線靠近，并最終沿著衛(wèi)星軌道的延長(zhǎng)線飛向衛(wèi)星。因此可以假設(shè)存在一個(gè)鏡像目標(biāo)T'，其飛行方向與真實(shí)目標(biāo)T 相反，并最終與真實(shí)目標(biāo)逆向相遇。而攔截器的飛向過程可以看做是以這個(gè)鏡像目標(biāo)為導(dǎo)引的追蹤過程，如圖1 所示。在這個(gè)思路基礎(chǔ)上，本文設(shè)計(jì)了基于組合預(yù)測(cè)命中點(diǎn)的逆軌攔截導(dǎo)引方法。

圖1 虛擬目標(biāo)示意圖

1 虛擬目標(biāo)的確定

設(shè)初始時(shí)刻目標(biāo)在慣性空間的運(yùn)動(dòng)參數(shù)為RT(t)、VT(t)，在較短時(shí)間Δt 內(nèi)，其在慣性空間的運(yùn)動(dòng)可以當(dāng)做“二體問題”來看待。則其Δt 時(shí)間后的運(yùn)動(dòng)參數(shù)可以進(jìn)行預(yù)測(cè)

其中K(·)為開普勒方程的解算過程。令Δt = Δt1+ Δt2，則有:

設(shè)剩余時(shí)間為tgo，由于沿視線方向上的相對(duì)速度的變化率較小，因此tgo可用下式進(jìn)行估計(jì)

對(duì)式(4)導(dǎo)有

假設(shè)預(yù)測(cè)命中點(diǎn)為m*，其對(duì)應(yīng)的空間位置為R*(t)，則R*(t)為目標(biāo)軌道上的點(diǎn)，且有

其中K1(·)表示取結(jié)果的第一項(xiàng)，tgo(t)為t 時(shí)刻的剩余時(shí)間。經(jīng)過較小的時(shí)間τ 后，預(yù)測(cè)命中點(diǎn)的位置為

又有

代入式(7)可得

結(jié)合式(3)有

所以m*的移動(dòng)速度為

記目標(biāo)在m*點(diǎn)的速度為，則有

假設(shè)T'以恒定的速度向m*靠近，并在tgo時(shí)間內(nèi)到達(dá)m*。記其速度為V'，則有

將式(14)代入式(15)可得

2 導(dǎo)引方法的選擇

考慮到T'運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)是以恒定的速度和方向向m*運(yùn)動(dòng)，并以逆軌的方式與衛(wèi)星遭遇。如果攔截器能在T'正后方尾隨T'飛行，并在tgo時(shí)間內(nèi)追上T'點(diǎn)，則攔截器就能實(shí)現(xiàn)對(duì)衛(wèi)星的逆軌攔截。

追蹤法是一種控制攔截器的速度方向始終指向目標(biāo)的導(dǎo)引方法，在視線坐標(biāo)系下導(dǎo)引律［4］

追蹤法特點(diǎn)是攔截器在任何起始射角下，都會(huì)從目標(biāo)正后方命中目標(biāo)。因此，可以用追蹤法導(dǎo)引攔截器飛向T'，從而實(shí)現(xiàn)從正后方命中T'，對(duì)衛(wèi)星逆軌攔截的目的［5］。

在飛行過程中，攔截器為了跟蹤衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，其導(dǎo)引頭始終是對(duì)準(zhǔn)目標(biāo)的。而以T'點(diǎn)作為虛擬目標(biāo)對(duì)攔截器進(jìn)行導(dǎo)引時(shí)，可以假設(shè)攔截器有一個(gè)虛擬視場(chǎng)是對(duì)準(zhǔn)T'點(diǎn)的，其與T'點(diǎn)的連線即為虛擬視線LOVS(Light Of Virtual Sight)，導(dǎo)引律的解算依賴的是從攔截器到m'點(diǎn)的虛擬視線的信息q'ε、q'β和

當(dāng)已知T'的位置R'時(shí)，攔截器與T'的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)為

攔截器與T'的距離為

則虛擬視線的高低角和方位角q'ε、q'β分別為

慣性坐標(biāo)系和由虛擬視線構(gòu)成的虛擬視線坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為

設(shè)攔截器和T'點(diǎn)的相對(duì)速度轉(zhuǎn)換到虛擬視線坐標(biāo)系中為V's，則有

則虛擬視線的轉(zhuǎn)率為

記攔截器的初始速度轉(zhuǎn)化到虛擬視線坐標(biāo)系中為V'Ms0，則有

由于初始速度往往不是沿著虛擬視線方向的，因此有v'Mη0≠0，v'Mζ0≠0，因此需要在導(dǎo)引律中加入修正項(xiàng)，使v'Mη→0，v'Mζ→0。設(shè)計(jì)虛擬視線坐標(biāo)系下的導(dǎo)引律為

當(dāng)攔截器和T'點(diǎn)的距離小于一定值時(shí)，T'點(diǎn)的誤差和移動(dòng)對(duì)視線轉(zhuǎn)率影響增大，此時(shí)，攔截器開始以真實(shí)目標(biāo)進(jìn)行導(dǎo)引。

3 L 取值范圍的討論

追蹤法的飛行時(shí)間為［6］

其中，ρ'為攔截器和T'點(diǎn)的距離;V'為T'的速度的大小，有V' =;q 為虛擬視線和m'運(yùn)動(dòng)軌跡的夾角，即也是虛擬視線和V'的夾角。

為了使攔截器在到達(dá)T'的同時(shí)，T'也到達(dá)m*，需要使T=tgo，同時(shí)將式(14)代入式(26)可得方程

式(27)是一個(gè)關(guān)于L 的超越方程，難以求得解析解。

設(shè)攔截器和目標(biāo)的初始距離為315 km，接近速度為10 km/s，計(jì)算不同L 值下F 的值，進(jìn)而得到F 隨L 的變化規(guī)律如圖2 所示。

圖2 F 隨ρ'的變化規(guī)律

可以看出，F(xiàn) 并不是隨L 單調(diào)變化，因此也難以用數(shù)值方法求解方程(4.53)。但是從圖中可以看出，L≤70 km 時(shí)，F(xiàn) 的值基本保持在0 附近，可以近似作為式(27)近似解的范圍。

4 推力的轉(zhuǎn)化

加入預(yù)測(cè)命中點(diǎn)后求得的推力加速度a'η、a'ζ是相對(duì)于虛擬視線的法向和側(cè)向的加速度，實(shí)際上，攔截器的視線始終是對(duì)準(zhǔn)真實(shí)目標(biāo)的，其提供的推力加速度也是沿著真實(shí)視線的法向和側(cè)向的。因此，需要計(jì)算真實(shí)視線坐標(biāo)系中與a'η、a'ζ等效的推力加速度aη、aζ。

考慮到真實(shí)視線坐標(biāo)系中的推力在沿視線方向上為零，但變換到虛擬視線坐標(biāo)系后沿虛擬視線方向卻不再是零，只能保證在虛擬視線的法向和側(cè)向上的分量和計(jì)算值相等。因此可以設(shè)其沿著虛擬視線的分量為a'ξ，則在虛擬視線坐標(biāo)系中推力加速度為，其轉(zhuǎn)換到發(fā)射慣性坐標(biāo)系中有

同時(shí)，將發(fā)射慣性坐標(biāo)系下的推力加速度轉(zhuǎn)換到真實(shí)的視線坐標(biāo)系中有

聯(lián)立式(28)和式(29)有

由于qε、qβ和q'ε、q'β都是已知的，因此的值也可以計(jì)算得到，在這里將表示為A，即

因此式(30)又可以表示為

由上式第一項(xiàng)可以解得

將其代入式(32)后兩項(xiàng)則可求得實(shí)際視線坐標(biāo)系下的推力加速度為

5 仿真驗(yàn)證

假設(shè)末端初始時(shí)刻，攔截器和衛(wèi)星的初始距離為315 km，接近速度為10 km/s，目標(biāo)速度為7.036 71 km/s，攔截器速度為3.001 75 km/s。攔截器質(zhì)量為30 kg，最大軌控加速度為10 g0，取L=20.0 km。

仿真結(jié)果顯示脫靶量為0.399 536 m，三維效果如圖3和圖4 所示。

圖3 仿真效果圖

圖4 攔截器彈道放大圖

由圖3 可以看出，攔截器的彈道呈現(xiàn)弧度較小的“S”形，比較平直。由圖4 可以看出，攔截器的彈道中間平直，兩頭有較小的弧度。攔截初始階段，攔截器向遠(yuǎn)處的T'飛向，由于距離ρ 較大，虛擬視線轉(zhuǎn)率較小，因此攔截器的速度方向變化較小，彈道比較平直。當(dāng)接近T'點(diǎn)時(shí)，視線轉(zhuǎn)率增大，速度也轉(zhuǎn)動(dòng)較快，于是在末端附近彈道比較彎曲。視線轉(zhuǎn)率隨時(shí)間的變化如圖5 所示。

圖5 視線轉(zhuǎn)率變化圖

由圖5 可以看出，視線轉(zhuǎn)率的變化分為兩個(gè)階段，第一階段是攔截器向T'的迅速靠近過程，這個(gè)過程中由于ρ 較大，虛擬視線轉(zhuǎn)率小，攔截器的速度方向變化小，視線轉(zhuǎn)率主要由衛(wèi)星的法向速度決定，并逐漸增大。隨著攔截器逐漸靠近T'，虛擬視線轉(zhuǎn)率增大，攔截器的速度方向變化較大，抑制了視線的增大，并隨著逆軌的逐漸完成，視線轉(zhuǎn)率逐漸減小，并收斂到零附近。最后隨著ρ 的減小，視線轉(zhuǎn)率發(fā)散。

6 結(jié)束語

本文以真實(shí)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)參數(shù)和剩余時(shí)間求解出虛擬目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)，并以低速勻速運(yùn)動(dòng)的虛擬目標(biāo)代替高速變速的真實(shí)目標(biāo)對(duì)攔截器進(jìn)行導(dǎo)引。在導(dǎo)引方法的選擇上利用力追蹤法總是從目標(biāo)后方靠近目標(biāo)的特性，來實(shí)現(xiàn)逆軌攔截的目的，并且比較簡(jiǎn)單與穩(wěn)定。最后的仿真結(jié)果驗(yàn)證了這種方法的可行性，由仿真結(jié)果來看，攔截器彈道較為平滑，脫靶量較小。

［1］王繼平，鮮勇，王明海，等.軌道交角與時(shí)間偏差對(duì)攔截衛(wèi)星攔截概率的影響［J］. 飛行力學(xué)，2008，26（5）:89-92.

［2］胡小磊.反導(dǎo)逆軌攔截復(fù)合制導(dǎo)律研究與仿真［J］.空軍裝備研究，2010，4（1）:20-23.

［3］吳鵬.帶末段攻擊角約束的制導(dǎo)方法研究［D］.哈爾濱:哈爾濱工業(yè)大學(xué)，2009.

［4］雷虎明.導(dǎo)彈制導(dǎo)與控制原理［M］.北京:國防工業(yè)出版社，2006.

［5］劉興堂.導(dǎo)彈制導(dǎo)控制與系統(tǒng)仿真［M］.西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社，2006.

［6］程國采.戰(zhàn)術(shù)導(dǎo)彈導(dǎo)引方法［M］.北京:國防工業(yè)出版社，1996.