仝海波,張國(guó)柱

國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410073

改進(jìn)M估計(jì)的抗多個(gè)粗差定位解算方法

仝海波,張國(guó)柱

國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué)電子科學(xué)與工程學(xué)院,湖南長(zhǎng)沙 410073

隨著導(dǎo)航衛(wèi)星數(shù)量的增多,觀測(cè)數(shù)據(jù)中出現(xiàn)多個(gè)粗差的概率顯著增大,基于單個(gè)粗差假設(shè)的RAIM算法不能保證多個(gè)粗差的有效抑制。抗差估計(jì)在定位可靠性要求高的場(chǎng)合受到了廣泛關(guān)注。針對(duì)傳統(tǒng)M估計(jì)受初值誤差影響的問(wèn)題,提出一種基于改進(jìn)M估計(jì)的抗差定位解算方法。該算法采用S估計(jì)方法計(jì)算初值,根據(jù)可用衛(wèi)星數(shù)實(shí)時(shí)調(diào)整S估計(jì)中的參數(shù)使得初值能夠最大限度抑制粗差。GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)處理結(jié)果表明改進(jìn)的M估計(jì)能夠有效抑制多個(gè)粗差。

全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng);定位;抗差估計(jì);粗差探測(cè);M估計(jì);S估計(jì)

1 引 言

隨著北斗、伽利略以及GPS現(xiàn)代化的推進(jìn),未來(lái)的用戶機(jī)將擁有更多、更精確的偽距觀測(cè)值。由于可見(jiàn)星的增多,偽距中粗差發(fā)生的概率增大,但常用的最小二乘定位結(jié)果容易受到粗差的影響。一種簡(jiǎn)單且成熟的方法是采用RAIM (receiver autonomous integrity monitoring)算法進(jìn)行粗差的探測(cè)和排除。由于RAIM算法設(shè)計(jì)之初是為了處理GPS應(yīng)用中可能出現(xiàn)的單個(gè)較大的粗差,所以在處理多個(gè)粗差以及單個(gè)較小的粗差時(shí)暴露出諸多不足[1]。同時(shí),以M估計(jì)為代表的抗差(穩(wěn)健)估計(jì)[1-4]在多衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)組合定位中的應(yīng)用得到了越來(lái)越多的關(guān)注。

目前,基于M估計(jì)的衛(wèi)星導(dǎo)航定位算法研究主要集中在兩個(gè)方面:一方面是針對(duì)特定的觀測(cè)噪聲模型,構(gòu)建合適的目標(biāo)函數(shù)對(duì)單歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。當(dāng)觀測(cè)噪聲互相關(guān)時(shí),文獻(xiàn)[5—6]提出了IGGIII算法以及改進(jìn)后的雙因子方法抑制粗差,其采用三段式ρ函數(shù)與傳統(tǒng)M估計(jì)的Huber函數(shù)不同。類似的,通過(guò)對(duì)Danish函數(shù)的改進(jìn),文獻(xiàn)[7]給出了更一般的表達(dá)式來(lái)應(yīng)對(duì)相關(guān)的觀測(cè)噪聲。當(dāng)觀測(cè)噪聲為理想高斯模型時(shí),經(jīng)典的Huber函數(shù)可有效地抵制單個(gè)粗差,基于牛頓迭代的快速計(jì)算方法[8]使其工程應(yīng)用成為可能。當(dāng)觀測(cè)噪聲為混合模型時(shí),文獻(xiàn)[9]提出了一種自適應(yīng)的抗差估計(jì)方法,通過(guò)誤差統(tǒng)計(jì)量的假設(shè)檢驗(yàn),自適應(yīng)調(diào)整ρ函數(shù)。另一方面充分利用多個(gè)歷元的觀測(cè)數(shù)據(jù),將M估計(jì)應(yīng)用于時(shí)域?yàn)V波過(guò)程中以提高抗差性,文獻(xiàn)[10]解決了抗差估計(jì)在卡爾曼濾波應(yīng)用中的秩虧問(wèn)題。自適應(yīng)的抗差卡爾曼濾波[11]不僅能有效抑制粗差,而且適應(yīng)觀測(cè)噪聲模型的變化,進(jìn)一步優(yōu)化了定位結(jié)果。

以上兩個(gè)方面的研究和探討均以迭代計(jì)算的初值沒(méi)有嚴(yán)重偏離真值為前提條件。當(dāng)粗差污染較嚴(yán)重且接收機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)沒(méi)有先驗(yàn)信息時(shí),傳統(tǒng)的最小二乘初值計(jì)算結(jié)果作為初值時(shí)會(huì)含較大的偏差,從而使M估計(jì)抗差性受影響[12-13]。通過(guò)預(yù)測(cè)殘差的方法[14],雖然可以改善卡爾曼濾波的抗差性,但對(duì)用戶的動(dòng)態(tài)范圍有一定的限制且不適用于單歷元的抗粗差定位。通過(guò)改進(jìn)S估計(jì)的目標(biāo)函數(shù),解決了多個(gè)粗差引起的初值偏離問(wèn)題,使得基于M估計(jì)的定位算法能夠有效抑制多個(gè)粗差。

2 傳統(tǒng)M估計(jì)抗差定位的局限性

為減少觀測(cè)數(shù)據(jù)的粗差對(duì)定位結(jié)果的影響,可采用抗差M估計(jì)。該估計(jì)方法與最小二乘估計(jì)不同之處主要是目標(biāo)函數(shù)的選取。下面簡(jiǎn)單介紹基于M估計(jì)的定位原理,然后分析與最小二乘估計(jì)的不同之處以及該估計(jì)在抗差中的局限性。

式中,Δy是n×1矢量,其元素為各衛(wèi)星觀測(cè)偽距與線性化點(diǎn)預(yù)測(cè)的偽距之差,n是可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù); Δx是n×1矢量,其元素是相對(duì)于線性化點(diǎn)的偏差;H是Δx和Δy的關(guān)聯(lián)矩陣,也稱觀測(cè)矩陣;ε是n×1的測(cè)量誤差矢量,其元素一般假設(shè)為相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)過(guò)程。

為求解線性方程(1),常見(jiàn)的最小二乘估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)如下

當(dāng)測(cè)量噪聲為高斯分布時(shí),最小二乘估計(jì)為最優(yōu)估計(jì),但實(shí)際觀測(cè)量中常常含有粗差,由式(2)和式(4)可知,粗差會(huì)直接影響定位結(jié)果,從而使得觀測(cè)矩陣H偏離真值,導(dǎo)致粗差向偽距殘差投影時(shí)產(chǎn)生偏差。因此,采用最小二乘準(zhǔn)則解算后,偽距殘差的大小不能正確反映粗差的大小,整個(gè)定位結(jié)果會(huì)受粗差影響而遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真值。

式中,函數(shù)ρ(·)為一階可導(dǎo)的偶函數(shù),由M估計(jì)根據(jù)具體情況可設(shè)計(jì)不同的加權(quán)函數(shù);^σ是Δy方差的估計(jì)值,通常由下式計(jì)算[9]式中,med(·)表示取向量元素的中值。

M估計(jì)主要通過(guò)選擇合適的函數(shù)ρ,自動(dòng)為含粗差觀測(cè)值分配小的加權(quán)值,從而達(dá)到抑制粗差的目的。根據(jù)觀測(cè)噪聲模型的不同,國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)多種有效的ρ函數(shù)進(jìn)行了深入的研究[15-16]。從抑制幅值較大的粗差方面考慮,本文采用文獻(xiàn)[16]中的雙邊加權(quán)函數(shù)

式中,K是根據(jù)M估計(jì)方差性能確定的常數(shù)。此時(shí),M估計(jì)結(jié)果的迭代式如下

式中,和的上標(biāo)均為迭代次數(shù),在實(shí)際計(jì)算過(guò)程中,為避免加權(quán)引起秩虧,上式中0常以較小的實(shí)數(shù)代替。由于式(3)和式(8)相似的特點(diǎn),M估計(jì)又可看做是選擇權(quán)迭代最小二乘估計(jì)。文中稱該估計(jì)為傳統(tǒng)M估計(jì),其計(jì)算流程總結(jié)如下:

(1)采用最小二乘計(jì)算結(jié)果作為初值。

(2)根據(jù)式(4)計(jì)算偽距殘差矢量并估計(jì)方差,再由式(9)得到等價(jià)權(quán)矩陣。

(3)由M估計(jì)的迭代式(8)計(jì)算第k＋1次估計(jì)結(jié)果,其中k＝0,1,2,…。

由上述計(jì)算流程可知,傳統(tǒng)基于M估計(jì)的抗差前提條件是初值不能偏離真值太遠(yuǎn)。由于偽距觀測(cè)值與用戶位置、鐘差之間是非線性關(guān)系,而H矩陣是觀測(cè)方程在初值點(diǎn)展開(kāi)的雅可比矩陣。當(dāng)粗差的幅值較大時(shí),最小二乘估計(jì)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真值的情況,此時(shí)矩陣H不再是偽距和用戶位置線性關(guān)系的有效近似。受到衛(wèi)星幾何結(jié)構(gòu)的影響,每個(gè)偽距測(cè)量值精度對(duì)定位結(jié)果的影響各不相同。當(dāng)粗差存在于影響最大的偽距上時(shí),定位結(jié)果會(huì)產(chǎn)生明顯偏移,這種情況的定量分析可參考接收機(jī)自主完好性算法。由此可見(jiàn),當(dāng)初值遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離真值時(shí),偽距殘差不能有效反映偽距測(cè)量精度,那么基于偽距殘差加權(quán)的抗差M估計(jì)性能將會(huì)受到嚴(yán)重影響。

3 改進(jìn)后的M估計(jì)定位解算方法

由前一節(jié)的分析可知,用戶位置和鐘差的初值誤差會(huì)直接影響到抗差定位的性能。當(dāng)可用的觀測(cè)數(shù)據(jù)量趨于無(wú)窮大時(shí),文獻(xiàn)[17]給出了一種抗差估計(jì)方法即S估計(jì),該估計(jì)方法能有效抑制多個(gè)粗差。S估計(jì)的目標(biāo)函數(shù)如下

在樣本數(shù)趨于無(wú)窮多時(shí),b通常取0．5,相應(yīng)的雙邊加權(quán)函數(shù)ρ(t)中的K＝1．547,而此時(shí)S估計(jì)的效率約為0．287。可見(jiàn)S估計(jì)抗差性能的提高是以方差增大為代價(jià)的。本文將利用S估計(jì)的這個(gè)特點(diǎn),把其估計(jì)結(jié)果作為M估計(jì)迭代開(kāi)始的初值,從而進(jìn)一步提高定位結(jié)果的精度和可靠性。

GPS用戶通?？梢?jiàn)衛(wèi)星數(shù)為7～12顆。當(dāng)偽距觀測(cè)值數(shù)量有限時(shí),S估計(jì)的抗差性能會(huì)有所下降[18],崩潰點(diǎn)(breakdown point,BP)描述了該估計(jì)所能容忍的含粗差樣本比例上限[19]。樣本數(shù)為n時(shí),S估計(jì)的BP可通過(guò)式(12)計(jì)算

式中,符號(hào)[·]表示取整數(shù);p為待估參數(shù)的數(shù)量。在本文中,n表示可用的衛(wèi)星數(shù),待估參數(shù)為接收機(jī)的X、Y、Z坐標(biāo)和鐘差,即p＝4。當(dāng)含粗差觀測(cè)值的數(shù)量增多到滿足式(12)時(shí),S估計(jì)的抗差性將無(wú)法保證。那么S估計(jì)用于定位初值解算時(shí)最多能抑制的粗差數(shù)m滿足

由式(13)可知,當(dāng)n＝10時(shí),m＝2;當(dāng)n＝12時(shí),m＝3。即10顆衛(wèi)星可用時(shí)最多能有效抑制2個(gè)粗差,12顆衛(wèi)星可用時(shí)最多能有效抑制3個(gè)粗差。隨著可用衛(wèi)星數(shù)的增多,抗差性能也不斷增強(qiáng)。

直接將S估計(jì)用于求解方程(1)得到定位結(jié)果不是高斯噪聲下的最優(yōu)估計(jì),且定位精度下降明顯。比較式(11)和式(12),發(fā)現(xiàn)有限個(gè)觀測(cè)值無(wú)法達(dá)到接近0．5抗差極限,而此時(shí)雙邊加權(quán)函數(shù)的K仍取1．547不僅不能得到預(yù)期的抗差性能,而且使得估計(jì)結(jié)果方差過(guò)大。為了讓估計(jì)值的方差減小,同時(shí)不影響S估計(jì)的抗差性能,令b＝,展開(kāi)后得到

式中,n為可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù);K為待確定的參數(shù)。通過(guò)數(shù)值計(jì)算方法,得到K與n的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表1所示。

表1 衛(wèi)星數(shù)n與K的關(guān)系表Tab．1 Look-up table ofnandK

在利用S估計(jì)計(jì)算初值前,將加權(quán)函數(shù)中的系數(shù)K根據(jù)可用觀測(cè)偽距的數(shù)量進(jìn)行合理選擇,避免由于固定K引起的發(fā)散,從而在不降低抗差性能的前提下提高估計(jì)效率。

綜合以上分析,基于改進(jìn)后M估計(jì)的定位解算流程可總結(jié):首先,根據(jù)可用衛(wèi)星數(shù)n查表選擇K;其次,結(jié)合所選K,聯(lián)立式(7)、式(10)和式(11)求解抗差初值;最后,以抗差初值代替迭代最小二乘法得到的初值進(jìn)行M估計(jì)的定位解算,基于M估計(jì)的迭代過(guò)程見(jiàn)上一節(jié)流程步驟(2)—步驟(4)。通過(guò)M估計(jì)的迭代計(jì)算將進(jìn)一步減小估計(jì)結(jié)果的方差,提高定位精度。

4 實(shí)測(cè)GPS數(shù)據(jù)處理結(jié)果分析

GPS實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)采用美國(guó)聯(lián)邦航空局提供的參考站觀測(cè)數(shù)據(jù),文件為“Acv_EPak_1330_1616_ 06”,其觀測(cè)值更新頻率為1次/s,持續(xù)時(shí)間為1 h,可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)為10～12顆,圖2(c)中給出了可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)隨時(shí)間的變化情況。采用斯坦福大學(xué)開(kāi)發(fā)的Matlab工具包SGMP[20]進(jìn)行LS定位解算。目前,該工具包僅提供最小二乘的定位解算,將基于Huber函數(shù)的M估計(jì)[8]和本文改進(jìn)后的抗差估計(jì)分別替換RAIM得到傳統(tǒng)的M估計(jì)和本文改進(jìn)后的M估計(jì)定位結(jié)果。為比較3種定位算法的抗差性,設(shè)計(jì)了4個(gè)場(chǎng)景:一是不含粗差,即粗差為0;二是指定PRN3衛(wèi)星含粗差且粗差隨時(shí)間增大,最大幅值為300 m;三是指定PRN3和PRN6兩顆衛(wèi)星含粗差,兩個(gè)粗差隨機(jī)生成且互不相關(guān),服從0到300的均勻分布;四是指定PRN3、PRN6和PRN9共3顆衛(wèi)星同時(shí)含有粗差且3個(gè)粗差之間相互獨(dú)立,服從場(chǎng)景三中的均勻分布。

將RAIM、傳統(tǒng)M估計(jì)和改進(jìn)后的M估計(jì)3種抗差定位算法分別對(duì)粗差污染程度不同的4種場(chǎng)景數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。3種定位算法在不同場(chǎng)景下的三維位置(地心地固系)的定位精度比較詳見(jiàn)表2。從表中可以看出,在無(wú)粗差情況下,3種定位解算結(jié)果一致;改進(jìn)前后的M估計(jì)結(jié)果與RAIM相比,Z軸方向精度均略有下降。隨著粗差個(gè)數(shù)的增加,RAIM算法定位誤差明顯增大。傳統(tǒng)M估計(jì)可有效抵制一個(gè)粗差,由于較小的粗差的存在,RAIM算法抑制粗差的性能受到了影響,定位精度有所下降。當(dāng)兩個(gè)粗差出現(xiàn)時(shí), RAIM算法的定位精度明顯下降,傳統(tǒng)M估計(jì)的Z軸方向方差明顯增大。與前兩種算法相比,無(wú)論是在單個(gè)還是多個(gè)粗差情況下改進(jìn)后的M估計(jì)表現(xiàn)出更強(qiáng)的抗差性。

表2 定位精度的比較Tab．2 The comparison of the positioning RMS m

為了進(jìn)一步驗(yàn)證初值誤差對(duì)抗差性能的影響,將初值相對(duì)于真值的誤差進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。表3給出了M估計(jì)算法改進(jìn)前和改進(jìn)后初值的三維誤差。從表3中可以看出,傳統(tǒng)M估計(jì)的初值容易受到粗差影響,隨著粗差個(gè)數(shù)增多,初值偏差顯著增大;而改進(jìn)后的M估計(jì)初值具有穩(wěn)定的粗差抑制性能,受粗差數(shù)量變化影響較小。

表3 M估計(jì)算法改進(jìn)前后的初值誤差比較Tab．3 Comparison of the initial errors m

圖1和圖2分別給出了傳統(tǒng)M估計(jì)和改進(jìn)后M估計(jì)兩種算法在不同粗差個(gè)數(shù)下定位誤差隨時(shí)間變化的趨勢(shì),其中定位精度用球誤差概率來(lái)衡量,圖示中的SEP95表示95%的球誤差概率,即以真值為圓心,SEP95為半徑的圓球,估算的三維位置誤差落在球內(nèi)的概率是95%。在圖1中,傳統(tǒng)M估計(jì)的定位精度隨著粗差個(gè)數(shù)的增加而急劇惡化。相比之下,圖2中定位結(jié)果具有很強(qiáng)的抗差性。同時(shí),在圖2(c)中出現(xiàn)了一段時(shí)間內(nèi)定位精度較差的情況,這是因?yàn)樵摃r(shí)間段歷元數(shù)據(jù)中可用衛(wèi)星數(shù)小于12,衛(wèi)星數(shù)的減少使得改進(jìn)的M估計(jì)算法無(wú)法有效抑制3個(gè)粗差。

結(jié)合以上數(shù)據(jù)處理結(jié)果,分析總結(jié)如下:

(1)無(wú)粗差時(shí),3種算法的定位精度相差不大,由于M估計(jì)是次優(yōu)估計(jì),所以傳統(tǒng)的和改進(jìn)后的M估計(jì)的位置誤差都略大于帶RAIM功能LS算法。兩種M估計(jì)均以精度的略微下降來(lái)?yè)Q取抗差性能的提高。

(2)當(dāng)有1顆衛(wèi)星含粗差時(shí),傳統(tǒng)的和改進(jìn)后的M估計(jì)的定位精度基本不受粗差影響。當(dāng)粗差污染嚴(yán)重增至兩顆衛(wèi)星時(shí),帶RAIM功能的定位精度變差;傳統(tǒng)M估計(jì)在少部分歷元上抑制了粗差,但是產(chǎn)生100 m以上偏差的概率明顯增加,定位精度無(wú)法滿足需要;改進(jìn)后的M估計(jì)有效地抵制了兩個(gè)粗差,最大三維定位偏差仍在10 m以內(nèi),且精度與0和1個(gè)粗差時(shí)基本一致。

圖1 傳統(tǒng)M估計(jì)Fig．1 The traditional M-estimate

(3)隨著可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)的增多,改進(jìn)后的M估計(jì)抗差性能增強(qiáng)。在含3個(gè)粗差的圖2(c)中,當(dāng)衛(wèi)星數(shù)為12時(shí),三維定位偏差在5 m以下;當(dāng)衛(wèi)星數(shù)較少為11時(shí),定位誤差達(dá)20 m左右,當(dāng)衛(wèi)星數(shù)較少到10顆時(shí),定位誤差將近300 m。同時(shí)該結(jié)果也初步驗(yàn)證了式(13)的準(zhǔn)確性:從式(13)可知當(dāng)衛(wèi)星數(shù)大于等于12顆時(shí),改進(jìn)后的M估計(jì)才能有效抑制3個(gè)粗差。

4 結(jié) 論

在高斯噪聲假設(shè)下,基于LS的定位解算是近似最優(yōu)的定位算法,但是容易受到粗差的影響。傳統(tǒng)RAIM算法和M估計(jì)無(wú)法有效抵制多個(gè)粗差,改進(jìn)后的抗差定位算法提高了M估計(jì)的抗差性能,實(shí)現(xiàn)了多個(gè)粗差的抑制,并且給出了可見(jiàn)衛(wèi)星數(shù)與所能抑制粗差數(shù)之間的關(guān)系。GPS數(shù)據(jù)處理結(jié)果驗(yàn)證了該方法的有效性。如何檢驗(yàn)粗差個(gè)數(shù)未超出上限以及提供類似RAIM的保護(hù)水平值得進(jìn)一步深入研究。

圖2 改進(jìn)后的M估計(jì)Fig．2 The modified M-estimate

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(責(zé)任編輯:宋啟凡)

Robust Positioning Algorithm with Modified M-estimation for Multiple Outliers

TONG Haibo,ZHANG Guozhu
College of Electronic Science and Engineering,National University of Defense Technology,Changsha 410073,China

The possibility of multiple outliers should not be neglected in measurements for the increment number of the navigation satellites,and the RAIM based on the single-outlier hypothesis cannot provide effective restraining against multiple outliers．The robust estimation has gained attention widely．A robust positioning algorithm is presented for resisting multiple outliers which make the traditional M-estimator ineffective．The robustness can be improved by the modified positioning algorithm．To handle the biased convergence problem,the robust estimate of the initial values is realized by modifying the S-estimation with available satellite number in real time．Positioning results of the actual GPS measurements show that the proposed method resists multiple outliers effectively．

global navigation satellite system;positioning;robust estimation;fault detection;M-estimation;S-estimation

TONG Haibo(1984—),male,PhD candidate,majors in GNSS receiver autonomous integrity monitoring(RAIM),robust positioning algorithms, weak signal acquisition and tracking technology．

TN927．23

A

1001-1595(2014)04-0366-06

2013-03-13

仝海波(1984—),男,博士生,研究方向?yàn)樾l(wèi)星導(dǎo)航接收機(jī)自主完好性監(jiān)測(cè)、抗差定位、弱信號(hào)的捕獲與跟蹤技術(shù)。

E-mail:hbo．tong＠gmail．com

TONG Haibo,ZHANG Guozhu．Robust Positioning Algorithm with Modified M-estimation for Multiple Outliers[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(4):366-371．(仝海波,張國(guó)柱．改進(jìn)M估計(jì)的抗多個(gè)粗差定位解算方法[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào),2014, 43(4):366-371．)

10．13485/j．cnki．11-2089．2014．0055

中國(guó)第二代衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)重大專項(xiàng)

修回日期:2013-12-13