薛樹(shù)強(qiáng),楊元喜

1．長(zhǎng)安大學(xué)地測(cè)學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測(cè)繪研究所地理空間信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710054

連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)平差模型與有色噪聲補(bǔ)償

薛樹(shù)強(qiáng)1,2,楊元喜3

1．長(zhǎng)安大學(xué)地測(cè)學(xué)院,陜西西安 710054;2．中國(guó)測(cè)繪科學(xué)研究院,北京 100830;3．西安測(cè)繪研究所地理空間信息工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西西安 710054

討論連續(xù)平差模型及最小二乘解。將有限維空間中的測(cè)量平差問(wèn)題推廣至無(wú)窮維空間,從信號(hào)分析角度討論觀測(cè)有色噪聲的消除方法。研究表明,連續(xù)觀測(cè)方程的最小二乘解可由經(jīng)典最小二乘解的極限導(dǎo)出;有色噪聲對(duì)解的影響是系統(tǒng)性的,然而通過(guò)合理的觀測(cè)方案設(shè)計(jì)可以實(shí)現(xiàn)參數(shù)的無(wú)偏估計(jì)。

測(cè)量平差;連續(xù)觀測(cè);最小二乘;有色噪聲;Hilbert空間

1 引 言

在誤差理論中,一般將測(cè)量誤差分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差和粗差,測(cè)量平差的研究對(duì)象多限于隨機(jī)誤差。包括有色噪聲在內(nèi)的各類系統(tǒng)誤差處理是測(cè)量上的棘手問(wèn)題之一,困難在于它既有系統(tǒng)性(某種規(guī)律性),又有隨機(jī)性[1]。若將有色噪聲視為一種隨機(jī)過(guò)程,則可通過(guò)其“延續(xù)性”對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)處理,同時(shí)也可討論有色噪聲對(duì)平差的影響[1-2]。文獻(xiàn)[3]從導(dǎo)航定位觀測(cè)量角度,論述了各種誤差的區(qū)別、聯(lián)系與轉(zhuǎn)化,特別指出有色噪聲是隨時(shí)間變化而有規(guī)律變化的誤差,觀測(cè)時(shí)間越長(zhǎng)有色噪聲的影響一般越大。

連續(xù)觀測(cè)是現(xiàn)代測(cè)量技術(shù)的重要特點(diǎn)之一, 如GNSS衛(wèi)星與地面連續(xù)觀測(cè)站形成一個(gè)空間連續(xù)觀測(cè)網(wǎng)絡(luò)。利用時(shí)間序列分析和隨機(jī)過(guò)程理論可以實(shí)現(xiàn)連續(xù)觀測(cè)數(shù)據(jù)的噪聲補(bǔ)償和信息挖掘,如利用GNSS連續(xù)觀測(cè)信息可提取對(duì)流層、電離層、地殼運(yùn)動(dòng)、地心運(yùn)動(dòng)等時(shí)變信號(hào)。在系統(tǒng)觀測(cè)方案制定階段,需要討論有色噪聲的抵償方法,在測(cè)量數(shù)據(jù)平差階段則需要考慮有色噪聲的建模補(bǔ)償方法[1-2]。

連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)、觀測(cè)結(jié)構(gòu)分析與參數(shù)估計(jì)等離不開(kāi)近代數(shù)學(xué)分析的支撐。在數(shù)學(xué)分析中,Hilbert空間是歐氏空間向無(wú)窮維空間的推廣,其研究對(duì)象是函數(shù)空間[4],是傅里葉分析和小波分析的理論框架。自20世紀(jì)50年代以來(lái),利用Hilbert空間理論框架對(duì)測(cè)量平差問(wèn)題進(jìn)行了大量有益的探討。這些研究通過(guò)將歐氏空間幾何學(xué)理論和泛函分析思想引入測(cè)量平差,簡(jiǎn)化了有關(guān)公式的推導(dǎo),揭示了測(cè)量平差問(wèn)題的實(shí)質(zhì)[5-10]。基于Hilbert空間的傅里葉分析和小波分析在測(cè)量信號(hào)處理中也得到了非常廣泛的應(yīng)用[11-13]。

連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)的平差一般在特定采樣率下進(jìn)行討論,并將問(wèn)題置于歐氏空間(有限維Hilbert空間)中研究。在動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)平差方面,卡爾曼濾波也通?；陔x散時(shí)間內(nèi)分析其性能[2,14]。表面上,可能會(huì)簡(jiǎn)化問(wèn)題的復(fù)雜性,但是卻可能掩蓋連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)平差的實(shí)質(zhì)。不同的是,文獻(xiàn)[15]提出了將積分多普勒定位的離散型誤差方程組改化為分區(qū)間連續(xù)型的方法。

本文基于附加有色噪聲的連續(xù)平差模型,從積分的定義和經(jīng)典最小二乘解出發(fā),探討有限維測(cè)量平差問(wèn)題向無(wú)窮維空間推廣的方法?；贖ilbert空間理論,提出了連續(xù)平差模型;從經(jīng)典最小二乘解出發(fā),導(dǎo)出矛盾連續(xù)觀測(cè)方程的最小二乘解,其解的嚴(yán)密性由連續(xù)平差模型的正交條件給出;討論了連續(xù)平差模型參數(shù)無(wú)偏估計(jì)應(yīng)滿足的條件;以連續(xù)定位系統(tǒng)為例討論了連續(xù)平差模型的求解方法和有色噪聲的消除策略。

2 連續(xù)函數(shù)空間和連續(xù)平差模型

2．1 函數(shù)空間的基函數(shù)由上述內(nèi)積所定義的無(wú)窮維空間常代之以Hilbert空間。形象的,Hilbert空間是無(wú)窮維歐氏空間。令g(t)＝f(t),則由內(nèi)積導(dǎo)出的范數(shù)為

2．2 連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)的平差模型

從信號(hào)處理角度,有色噪聲泛指各種低頻觀測(cè)誤差。在動(dòng)態(tài)測(cè)量系統(tǒng)中,觀測(cè)方程連續(xù)依賴于觀測(cè)時(shí)間,一般存在大量有色噪聲。若要揭示這些連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)的平差實(shí)質(zhì),可將這些問(wèn)題置于函數(shù)空間中進(jìn)行討論。從觀測(cè)信息中提取這些低頻信號(hào)所用的基函數(shù)選取較為靈活,既可選用正交基函數(shù)(如三角函數(shù)、小波函數(shù)等),也可選取非正交基函數(shù)。而在測(cè)量平差中,基函數(shù)一般由觀測(cè)方程的函數(shù)模型所唯一確定。本文將由基函數(shù)f(t)＝f1(t)f2(t)…fm(t) [

]和參數(shù)x＝[x1x2…xm]T∈Rm所構(gòu)成的方程

為連續(xù)觀測(cè)方程。式中,l(t)∈L2(a,b)為連續(xù)觀測(cè)值;~l(t)∈L2(a,b)為連續(xù)觀測(cè)真值;ε(t)∈L2(a,b)為連續(xù)觀測(cè)高斯白噪聲;Δ(t)∈L2(a,b)為有色噪聲。若將有色噪聲歸為隨機(jī)模型,則需要構(gòu)建基于有色噪聲的觀測(cè)方差協(xié)方差模型,并需要討論如何實(shí)現(xiàn)平差解的無(wú)偏性,若將其歸為函數(shù)模型,則需要使用有色噪聲經(jīng)驗(yàn)函數(shù)模型進(jìn)行改正,或者對(duì)有色噪聲信號(hào)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。若無(wú)有色噪聲先驗(yàn)函數(shù),可使用低頻三角函數(shù)、小波函數(shù)等對(duì)其進(jìn)行模擬[17]。

3 矛盾連續(xù)觀測(cè)方程的最小二乘解

對(duì)于有限維Hilbert空間(歐氏空間)中的最小二乘問(wèn)題Ax＝l,因觀測(cè)誤差存在導(dǎo)致觀測(cè)向量l?R(A)＝y(tǒng)|y＝Ax,x∈Rm{

}[6-8],其中,R(A)為系數(shù)矩陣A的列向量所確定的值域空間(子空間、子流形)[6,18-19]。類似于有限維平差,若

可見(jiàn),矛盾連續(xù)觀測(cè)方程的最小二乘解可由經(jīng)典最小二乘解的極限導(dǎo)出,且其形式與有限維空間中的經(jīng)典最小二乘解十分類似。然而,連續(xù)平差模型(3)及其最小二乘解建立在信號(hào)分析的基礎(chǔ)上,這為討論連續(xù)觀測(cè)中各類信號(hào)的提取和有色噪聲的消除提供了方便?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)分析常將這類問(wèn)題的解稱為Hilbert空間中的最佳逼近元,并由正交投影定理導(dǎo)出[4]。

式(14)即為觀測(cè)函數(shù)l(t)的傅里葉分析?？梢?jiàn),連續(xù)平差模型(3)及最小二乘解(11)是傅里葉分析的一種推廣,即空間基函數(shù)f(t)從正交基向非正交基的一種推廣。

4 有色噪聲對(duì)平差解的影響分析

下面討論白噪聲和有色噪聲對(duì)平差解的影響。方便起見(jiàn),記N＝〈f(t),f(t)〉、U＝〈f(t),l(t)〉,則

時(shí),參數(shù)估計(jì)才是無(wú)偏的,即Δx＝0。

可見(jiàn),當(dāng)存在有色噪聲時(shí),連續(xù)平差模型的最小二乘解一般是有偏的。式(22)給出最小二乘解的無(wú)偏估計(jì)條件,即有色噪聲函數(shù)正交于基函數(shù)。高頻白噪聲一般認(rèn)為正交于基函數(shù),故通過(guò)連續(xù)觀測(cè)可以削弱。連續(xù)觀測(cè)應(yīng)盡量覆蓋所有有色噪聲的最大周期。對(duì)于低頻有色噪聲,則需長(zhǎng)時(shí)間觀測(cè)或模型改正。該結(jié)論也同樣適用于觀測(cè)誤差(殘差)的傅里葉分析。

5 算例分析

如圖1所示,構(gòu)造一個(gè)二維連續(xù)測(cè)距定位系統(tǒng):控制點(diǎn)圍繞坐標(biāo)原點(diǎn)p以角速度ω＝1作勻速圓周運(yùn)動(dòng)(圓周半徑為100),控制點(diǎn)在t0＝0時(shí)刻通過(guò)x軸,在t1時(shí)刻停止觀測(cè)?？刂泣c(diǎn)坐標(biāo)可參數(shù)化為

圖1 連續(xù)定位構(gòu)型[21]Fig．1 Continuous configuration of positioning[21]

使用正弦函數(shù)sin(2t)模擬有色噪聲,則可將距離觀測(cè)方程表示為

此時(shí),參數(shù)估計(jì)無(wú)系統(tǒng)偏差。

事實(shí)上,只要觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)不等于2π的整數(shù)倍,理論上Δ^x∞≠0,即有色噪聲不可能得到補(bǔ)償,參數(shù)估計(jì)不滿足無(wú)偏估計(jì)條件。由此不難理解, GNSS高精度定位觀測(cè)方案觀測(cè)時(shí)間長(zhǎng)一般采用GNSS衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的整數(shù)周期是十分合理的,否則應(yīng)考慮使用更多的有色噪聲改正模型。

5．2 方案2:離散平差模型

設(shè)式(24)中的觀測(cè)白噪聲服從均值為零、方差為0．01的正態(tài)分布,即ε(t)～N(0,0．01),分別在觀測(cè)區(qū)間[0,π/2]、[0,π]和[0,2π]上的0．1 s均勻采樣觀測(cè)進(jìn)行最小二乘參數(shù)估計(jì),并考察有色噪聲對(duì)參數(shù)估計(jì)的影響。計(jì)算結(jié)果表明,方案1和方案2的最小二乘估值十分接近,當(dāng)在區(qū)間[0,π/2]和[0,π]進(jìn)行均勻采樣時(shí),離散最小二乘解為有偏估計(jì)量,僅當(dāng)在觀測(cè)區(qū)間[0,2π]進(jìn)行均勻采樣時(shí),離散最小二乘解為無(wú)偏估計(jì)量。

若進(jìn)一步將采樣間隔提高為0．01 s,則方案1和方案2的結(jié)果將趨于一致。這驗(yàn)證了式(9)、式(10)和式(11)的合理性,即連續(xù)平差模型的最小二乘解是經(jīng)典離散最小二乘解的極限情形。在實(shí)踐中,若基于動(dòng)態(tài)控制點(diǎn)的參數(shù)方程(如GNSS衛(wèi)星軌道),將用戶采樣觀測(cè)改化為連續(xù)觀測(cè)信號(hào)(如傅里葉分析法),則可有望利用本文提出的連續(xù)平差模型進(jìn)行平差。

6 結(jié) 論

(1)本文提出的連續(xù)平差模型是經(jīng)典測(cè)量平差模型向無(wú)窮維空間的一種推廣。連續(xù)平差模型的最小二乘解是經(jīng)典離散最小二乘解的極限。經(jīng)典測(cè)量平差的許多結(jié)論對(duì)于連續(xù)平差模型也是成立的。

(2)當(dāng)連續(xù)平差模型的基函數(shù)為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基時(shí),連續(xù)觀測(cè)方程平差退化為觀測(cè)信號(hào)的傅里葉分析。

(3)通過(guò)合理的觀測(cè)系統(tǒng)設(shè)計(jì)和采樣設(shè)計(jì),可消除有色噪聲,從而實(shí)現(xiàn)平差解的無(wú)偏估計(jì)。有色噪聲函數(shù)正交于連續(xù)平差模型的基函數(shù),是消除有色噪聲的前提條件。

(4)提高系統(tǒng)的采樣頻率只能消除觀測(cè)高頻噪聲,有色噪聲的消除取決于連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)的重復(fù)觀測(cè)周期和觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)。最佳觀測(cè)時(shí)長(zhǎng)應(yīng)覆蓋有色噪聲的整數(shù)周期,而并非采樣時(shí)間越長(zhǎng)越好。

(5)在測(cè)量中,許多觀測(cè)模型為連續(xù)數(shù)學(xué)模型,對(duì)這些模型進(jìn)行采樣不但增加計(jì)算成本,而且會(huì)損失精度。若使用傅里葉分析將離散實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)消噪后建立連續(xù)觀測(cè)函數(shù),并建立連續(xù)觀測(cè)平差模型,則有望簡(jiǎn)化計(jì)算。

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(責(zé)任編輯:叢樹(shù)平)

Adjustment Model and Colored Noise Compensation of Continuous Observation System

XUE Shuqiang1,2,YANG Yuanxi3
1．School of Geological and Surveying Engineering,Chang’an University,Xi’an 710054,China;2．Chinese Academy of Surveying and Mapping,Beijing 100830,China;3．National Key Laboratory of Geo-spatial Information, Xi’an Research Institute of Surveying and Mapping,Xi’an 710054,China

The affection caused by the colored noises should be taken into account to the adjustment model．As useful signals,these colored noises should be accurately identified and extracted by Fourier analysis．A continuous adjustment model is introduced with respect to the colored noises,and then it can be generalized that the traditional adjustment theory from the finite space to the infinite space so called as Hilbert space．This extension is to provide a new technique to perform the continuous observational system design,Fourier analysis as well as the parameter estimation．It shows that the Gramer's determinant provides maximization criteria in the system optimization design as well as a rule in diagnosing the adjustment model．Related with the definition of the integral,the least squares solution of the continuous adjustment model becomes the limit of the traditional least squares solution in finite space．Moreover,the influence caused by the colored noises is systematic,but it can be eliminated or compensated by optimally designing the observational system．

adjustment;continuous observation;least squares;colored noise;Hilbert space

XUE Shuqiang(1980—),male,PhD candidate,majors in error theory and adjustment．

P207

A

1001-1595(2014)04-0360-06

2013-02-01

薛樹(shù)強(qiáng)(1980—),男,博士生,研究方向?yàn)檎`差理論與測(cè)量平差研究。

E-mail:xuesq＠casm．a(chǎn)c．cn

XUE Shuqiang,YANG Yuanxi．Adjustment Model and Colored Noise Compensation of Continuous Observation System[J]．Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2014,43(4):360-365．(薛樹(shù)強(qiáng),楊元喜．連續(xù)觀測(cè)系統(tǒng)平差模型與有色噪聲補(bǔ)償[J]．測(cè)繪學(xué)報(bào), 2014,43(4):360-365．)

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國(guó)家自然科學(xué)基金(41020144004;41104018);國(guó)家863計(jì)劃(2009AA121405);國(guó)家科技支撐計(jì)劃(2012BAB16B01)

修回日期:2013-08-19