摘要：討論科研項(xiàng)目在課堂教學(xué)中的應(yīng)用，從而有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和拓展學(xué)生的知識(shí)面。將數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)方面的科研項(xiàng)目應(yīng)用到“數(shù)字信號(hào)處理”中的FIR濾波器課堂講解中，跟蹤科研前沿，豐富教學(xué)內(nèi)容，提高教學(xué)效果。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)能力，開拓學(xué)生的學(xué)術(shù)視野，提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)字信號(hào)處理；課程教學(xué)；科學(xué)研究

作者簡(jiǎn)介：蔣俊正（1983-），男，浙江金華人，桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院，副教授。（廣西 桂林 541004）

基金項(xiàng)目：本文系國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：61261032）、廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2013JGB150）的研究成果。

中圖分類號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1007-0079（2014）06-0081-03

由于大規(guī)模集成電路、計(jì)算機(jī)技術(shù)、電子技術(shù)的飛速發(fā)展，信號(hào)的數(shù)字處理技術(shù)取替了傳統(tǒng)的模擬信號(hào)處理技術(shù)，已成為科學(xué)研究和工程技術(shù)中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，廣泛應(yīng)用于通信、雷達(dá)、航空航天、控制、物理、天文、生物醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域。另外，“數(shù)字信號(hào)處理”課程已被確定為電子信息工程、通信工程、測(cè)控儀器類等相關(guān)本科專業(yè)的專業(yè)基礎(chǔ)課程，是一門理論性和技術(shù)性都很強(qiáng)的課程。[1-3]因此，在該課程的教學(xué)中，兼顧培養(yǎng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握、工程運(yùn)用和自主研究能力十分重要。[4]然而，單純地采用教材授課已經(jīng)無(wú)法滿足這一要求。

筆者在“數(shù)字信號(hào)處理”課程[5]授課中，一直致力于將自身的科研項(xiàng)目與課堂教學(xué)進(jìn)行結(jié)合。采用一些較為簡(jiǎn)單的科研示例，對(duì)課程知識(shí)進(jìn)行拓展和應(yīng)用演示，使學(xué)生帶著學(xué)習(xí)興趣去掌握知識(shí)，拓展知識(shí)面，提高自主學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)科學(xué)研究思維。有限長(zhǎng)脈沖響應(yīng)（finite impulse response，F(xiàn)IR）濾波器廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理中，是“數(shù)字信號(hào)處理”課程的核心內(nèi)容之一。在本文中，筆者以FIR濾波器的優(yōu)化設(shè)計(jì)為例，介紹科研項(xiàng)目在課程教學(xué)中的應(yīng)用。

一、科研項(xiàng)目在課程教學(xué)中的應(yīng)用示例

在“數(shù)字信號(hào)處理”課程的傳統(tǒng)授課中，僅僅介紹FIR濾波器設(shè)計(jì)的一些基本知識(shí)，包括FIR濾波器定義、設(shè)計(jì)性能指標(biāo)、線性相位FIR濾波器的特點(diǎn)、窗函數(shù)法和頻率采樣法等較為陳舊的方法。

1.傳統(tǒng)課堂講授：窗函數(shù)法

本部分將以FIR低通數(shù)字濾波器為例來(lái)考慮一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的濾波器的設(shè)計(jì)。[5]理想的低通濾波器的幅頻響應(yīng)如圖1所示。然而，其不滿足佩利-維納準(zhǔn)則，因此是物理不可實(shí)現(xiàn)的。通常，一個(gè)物理可實(shí)現(xiàn)的低通濾波器的歸一化幅頻響應(yīng)如圖2所示，圖中ε和A分別為濾波器在通帶和阻帶的波動(dòng)參數(shù)，ωp和ωs分別為濾波器的通帶和阻帶邊界頻率點(diǎn)。設(shè)計(jì)目標(biāo)是使得一個(gè)低通FIR數(shù)字濾波器的幅頻響應(yīng)盡可能的逼近于理想情況下的幅頻響應(yīng)。換言之，圖2中的ε盡可能小，A盡可能大，過(guò)渡帶寬度ωs-ωp盡可能窄。常用的設(shè)計(jì)方法為窗函數(shù)法，其設(shè)計(jì)步驟為：

第一步：根據(jù)所設(shè)計(jì)的濾波器類型，選取理想濾波器的沖激響應(yīng)。理想低通濾波器的沖激響應(yīng)為：

（1）

第二步：根據(jù)所需設(shè)計(jì)濾波器波動(dòng)參數(shù)的要求，選擇恰當(dāng)?shù)拇昂瘮?shù)類型和窗長(zhǎng)度參數(shù)M，確定窗函數(shù)。目前常見的窗函數(shù)的表達(dá)式、過(guò)渡帶寬度和最小的阻帶衰減值如表1所示。

第三步：確定截取濾波器的沖激響應(yīng)，

從而得到最終的因果濾波器的沖激響應(yīng)為：。

下面舉例說(shuō)明上述3個(gè)步驟的實(shí)現(xiàn)過(guò)程：

例如：設(shè)計(jì)一個(gè)低通濾波器滿足參數(shù)和指標(biāo)：。由于窗函數(shù)法的通帶波動(dòng)和阻帶波動(dòng)是一致的，因此通帶波動(dòng)參數(shù)通常不設(shè)置。

第一步：計(jì)算。因此理想濾波器的沖激響應(yīng)為：

（2）

第二步：該濾波器的最小阻帶衰減值為。因此，根據(jù)表1，可以選取海明窗和布萊克曼窗，考慮到過(guò)渡帶越窄越好的原則，因此選擇海明窗。此時(shí)，窗函數(shù)就確定了，接下來(lái)要確定M。設(shè)計(jì)中，過(guò)渡帶寬不能超過(guò)設(shè)計(jì)的指定值。因此，，可以，由于M必須是整數(shù)，所以。此時(shí)可以完整的寫出窗函數(shù)的表達(dá)式：

（3）

第三步：得到，

求得最終的因果濾波器的沖激響應(yīng)為：

（4）

窗函數(shù)法設(shè)計(jì)所得的濾波器的幅頻響應(yīng)如圖3所示。所設(shè)計(jì)的濾波器的阻帶衰減為-52.28dB。

表1 四種固定窗函數(shù)的表達(dá)式、過(guò)渡帶寬度和最小的阻帶衰減值[5]

窗函數(shù)表達(dá)式 過(guò)渡帶寬 最小阻帶衰減

矩形窗 20.9dB

漢寧窗

43.9dB

海明窗

54.5dB

布萊克曼窗

75.3dB

窗函數(shù)法是一種較為直觀的傳統(tǒng)方法，在數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)中發(fā)揮了很重要的作用，是一種早期的算法，在最小二乘意義下是最優(yōu)的，但是存在不可避免的Gibbs現(xiàn)象。給定窗函數(shù)和長(zhǎng)度后，其濾波器系數(shù)就是固定的，過(guò)渡帶的寬度也是固定的。在許多應(yīng)用中，有許多的不足。比如，某些應(yīng)用中濾波器的通帶和阻帶波動(dòng)的約束不一致或者期望過(guò)渡帶很窄情況下，固定窗函數(shù)的方法是不適用的。因此，后續(xù)也出現(xiàn)了可調(diào)節(jié)窗，比如Kaiser窗。近年來(lái)，通過(guò)優(yōu)化建模的方法來(lái)設(shè)計(jì)濾波器成為了主流方法。根據(jù)性能需求，將濾波器的設(shè)計(jì)問(wèn)題建模為一個(gè)以濾波器系數(shù)為變量的優(yōu)化問(wèn)題，進(jìn)而采用魯棒的優(yōu)化求解算法來(lái)求解問(wèn)題。下面將結(jié)合筆者的科研項(xiàng)目來(lái)闡述優(yōu)化建模的方法，從中可以發(fā)現(xiàn)優(yōu)化建模方法的靈活性。

2.結(jié)合科研項(xiàng)目的講授：優(yōu)化建模

在實(shí)際的工程應(yīng)用中，傳統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法已經(jīng)不能滿足性能需求，從而導(dǎo)致課堂教學(xué)的滯后。為此，很有必要跟蹤科研發(fā)展趨勢(shì)，將科研項(xiàng)目中FIR濾波器設(shè)計(jì)方法及時(shí)補(bǔ)充到課堂教學(xué)中，豐富課堂內(nèi)容，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。接下來(lái)，以上述低通濾波器設(shè)計(jì)為例詳細(xì)介紹優(yōu)化建模的設(shè)計(jì)方法。

第一，明確FIR濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)。根據(jù)應(yīng)用需要，明確設(shè)計(jì)參數(shù)和指標(biāo)，實(shí)際中通常還需要考慮通帶的平坦性。

第二，設(shè)計(jì)問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模。不失一般性，假設(shè)濾波器長(zhǎng)度N為奇數(shù)，線性相位濾波器應(yīng)偶對(duì)稱。其頻率響應(yīng)為：

（5）

式中，

（6）

阻帶衰減通常采用控制阻帶能量的方式來(lái)優(yōu)化，阻帶能量可表示為：

（7）

式中，，上標(biāo)表示共軛轉(zhuǎn)置，為阻帶截止頻率。

通常采用切比雪夫控制的方式[6]來(lái)抑制通帶波動(dòng)，表示如下：

（8）

式中，為通帶截止頻率，是所能容許的最大通帶波動(dòng)且。

建立性能指標(biāo)與濾波器系數(shù)h之間的關(guān)系后，需要將設(shè)計(jì)要求歸結(jié)為一優(yōu)化問(wèn)題。在本設(shè)計(jì)中，要求濾波器具有很高的阻帶衰減，并且通帶波動(dòng)控制在內(nèi)，那么可歸結(jié)為一帶約束的優(yōu)化問(wèn)題：

（9）

將式（5）代入式（9），并將頻率在均勻離散化，即令。離散化操作可以將式（9）轉(zhuǎn)化為一個(gè)有限約束的二次優(yōu)化問(wèn)題：

（10）

第三，求解優(yōu)化問(wèn)題。優(yōu)化問(wèn)題得到后，需要分析其特點(diǎn)，采用何種方法進(jìn)行求解。優(yōu)化問(wèn)題式（10）的目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)且矩陣S是正定的，約束函數(shù)是線性函數(shù)，因此是二次凸規(guī)劃問(wèn)題。它的求解是比較成熟，有許多求解算法，比如Matlab中自帶quadprog函數(shù)，基于Matlab的Sedumi、CVX軟件等。

第四，性能仿真分析。為了驗(yàn)證設(shè)計(jì)所得的濾波器是否滿足設(shè)計(jì)要求，通過(guò)Matlab進(jìn)行性能仿真。式（10）采用優(yōu)化問(wèn)題設(shè)計(jì)所得的濾波器如圖4所示，a圖反映濾波器具備線性相位，b圖表明其阻帶衰減為75.84dB。比較圖3和圖4，可以看出，相比于固定窗函數(shù)設(shè)計(jì)的濾波器，經(jīng)過(guò)優(yōu)化建模設(shè)計(jì)的濾波器具備更高的阻帶衰減。在實(shí)際應(yīng)用中，阻帶衰減越高，濾波性能越好。

二、科研與教學(xué)的關(guān)系

科研服務(wù)于教學(xué)，教學(xué)反哺于科研，兩者相輔相成，辯證統(tǒng)一。[7]當(dāng)今，科學(xué)技術(shù)發(fā)展日新月異，新成果、新理論和新應(yīng)用層出不窮，科研成果豐富的教師參加教學(xué)工作，一方面有利于將最新的學(xué)科發(fā)展和學(xué)術(shù)成果滲透到課堂中，使得教學(xué)內(nèi)容更加新穎，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高教學(xué)質(zhì)量。另一方面，教師的科學(xué)思維方法和創(chuàng)新思維習(xí)慣在教學(xué)過(guò)程中對(duì)學(xué)生的科學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)起著潛移默化的影響，培養(yǎng)學(xué)生從事科研需具備的提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。在教學(xué)活動(dòng)中，通過(guò)不斷地啟發(fā)學(xué)生思考、提出問(wèn)題的過(guò)程，也是自己不斷學(xué)習(xí)、不斷提高、不斷創(chuàng)新的過(guò)程，教學(xué)相長(zhǎng)為科研工作提供更廣闊的思路。作為高校教師，應(yīng)充分認(rèn)清科研和教學(xué)兩者之間的關(guān)系，科教結(jié)合，將科研成果轉(zhuǎn)化為教學(xué)資源，通過(guò)教學(xué)活動(dòng)提升科研水平。

三、結(jié)語(yǔ)

結(jié)合科研項(xiàng)目中的實(shí)際科研問(wèn)題，進(jìn)行啟發(fā)式的教學(xué)，能夠不斷提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。同時(shí)，學(xué)生學(xué)會(huì)查閱文獻(xiàn)跟蹤科研發(fā)展趨勢(shì)，擴(kuò)展了知識(shí)面，初步了解科學(xué)研究的思路和具體的方法。后續(xù)的工作應(yīng)該在提倡科研與教學(xué)結(jié)合的基礎(chǔ)上，以教師科研項(xiàng)目為引導(dǎo)，思考如何將科研成果補(bǔ)充到課堂教學(xué)中，不斷規(guī)范結(jié)合點(diǎn)的設(shè)置，鍛煉學(xué)生科研思維習(xí)慣。

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（責(zé)任編輯：王意琴）