黃 阜，周 凱，凌同華

（1.長沙理工大學土木與建筑學院，湖南長沙 410004；2.長沙理工大學橋梁工程安全控制省部共建教育部重點實驗室，湖南長沙 410004）

隨著中國城市化進程的加速，大量人口向城市聚集，造成城市人口密度日益增大，建設用地越來越緊張。為了解決這一問題，地下空間的開發(fā)與利用得到了各級規(guī)劃部門的廣泛重視，越來越多的淺埋地下建筑也出現(xiàn)在市政建設中。由于這些淺埋地下結構上部覆蓋的土體很薄，在開挖過程中易出現(xiàn)由支護措施不當導致的地表塌陷。因此，淺埋硐室的穩(wěn)定性問題引起了許多學者的關注。楊峰［1］等人利用極限分析上限有限元理論，建立了粘性土地層不排水條件下淺埋隧道的穩(wěn)定性分析模型，繪制了淺埋隧道發(fā)生破壞時的速度場，得到了淺埋隧道極限狀態(tài)下的破壞模式。張成平［2］等人基于普氏平衡拱理論，通過對淺埋暗挖隧道施工引起的地表塌陷進行深入分析，揭示了地表塌陷的發(fā)生機理，并結合地層條件和施工情況得出了誘發(fā)地表塌陷的原因。針對軟巖淺埋大跨隧道開挖易導致地表建筑發(fā)生過大沉降，覃衛(wèi)民［3］等人采用數值模擬與現(xiàn)場監(jiān)測相結合的方法，對隧道開挖過程中地表建筑的安全性進行了全面、深入的研究。黃阜［4］等人根據土體的非線性破壞特征，構建了淺埋硐室拱頂圍巖的曲線形破壞機制，將孔隙水壓力所做的功率作為一個外力功率引入極限分析上限定理的虛功率方程中，得到了孔隙水壓力作用下淺埋硐室頂部塌落面的上限方程，并分析了孔隙水壓力對淺埋硐室塌落面的影響。這些針對淺埋硐室穩(wěn)定性的研究均采用的是二維平面分析方法。而在實際工程中，巖體的破壞過程是一個三維演化過程，二維平面分析僅能反映圍巖破壞面的二維尺寸，無法真實地表現(xiàn)實際工程中的三維破壞特征。因此，針對巖土工程中二維分析方法的缺陷，許多學者開始運用三維分析方法來對各種巖土工程問題進行研究。Lam［5］等人將基于極限平衡法的二維邊坡模型拓展成了一種三維模型，并采用三維有限元方法，研究了這個模型的柱間應力函數，得到了該三維計算模型的安全系數。Anagnostou［6］等人構筑了一種土壓盾構隧道開挖面的三維滑動機制，采用極限平衡法，研究了排水條件下隧道開挖面的穩(wěn)定性?；跇O限分析上限定理，Leca［7］等人提出了經典的淺埋隧道開挖面的三維圓錐體型破壞機制。這種破壞機制不但清晰地描述了淺埋隧道開挖面的破壞形式，而且為淺埋隧道開挖面支護力提供了精確的上限解。

考慮到三維分析方法有諸多的優(yōu)點，作者擬構建一種淺埋硐室頂部圍巖的三維旋轉體形破壞機制，根據極限分析上限定理中內能耗散功率和外力功率計算，得到包含該三維破壞面方程的目標函數，然后利用變分法推導出淺埋硐室頂部圍巖塌落體曲面方程的上限解，以期為淺埋硐室頂部圍巖潛在塌方范圍的預測提供理論依據。

1 極限分析上限定理

極限分析上限定理［8］可以表述為：在一個假設滿足速度邊界條件和應變與速度相容條件的機動許可速度場中，荷載Ti和Xi均大于或等于真實的極限荷載，并由虛功率方程確定。

2 Hoek－Brown非線性破壞準則

根據極限分析上限定理，在地下硐室圍巖的破壞機制中，由于塌落體與圍巖產生了相對滑移，造成了塌落面上的速度不連續(xù)，因而該塌落面也可稱為速度間斷面。Fraldi［9］等人的研究成果表明，速度間斷面上，任一點的內能耗散功率可由切向應力產生的耗散功率和法向應力產生的耗散功率迭加得到。因此，本研究采用由主應力和切應力表示的Hoek－Brown破壞準則來計算速度間斷面上的內能耗散功率。由主應力和切應力表示的Hoek－Brown破壞準則［10］為：

式中：A和B均為無量綱的材料參數；τ為切應力；σn為有效主應力；σci為巖體的單軸抗壓強度；σtm為巖體拉伸強度。

3 淺埋硐室頂部圍巖三維塌落體上限分析

3.1 淺埋硐室頂部圍巖塌落體三維破壞機制

Fraldi［9］等人提出了一種由任意曲線構成的曲線形深埋隧道頂部圍巖二維破壞機制。由于這種破壞機制很好地反映了巖土體的非線性破壞特性，而且推導出的塌落面形狀與實際工程中發(fā)生的塌落面形狀十分吻合，因而在隧道圍巖塌落面研究中得到了廣泛的應用［11－12］。但是，這種二維破壞機制僅能反映塌落面的寬度和高度，不能真實地反映塌落面的三維尺寸，因而在地下結構拱頂圍巖塌落范圍的研究中存在著一定的不足?；谶@個原因，作者擬將Fraldi［9］等人提出的二維破壞機制擴展到三維空間中，構建一種三維破壞機制來描述淺埋矩形硐室頂部圍巖的破壞模式。該三維破壞機制的構建過程為：假設矩形硐室頂部有兩條關于z軸對稱的速度間斷線沿曲線f（x）延伸到地表，構成了一個上窄下寬的塌落面；然后令f（x）繞z軸旋轉360°，形成了一個“倒漏斗”型塌落體；這個塌落體由半徑分別為L1和L2的圓和以f（x）為母線的旋轉曲面組成。由此塌落體的構建過程可知，該塌落體的體積和側面積均采用解析數學方法求出。因此，在極限分析上限定理的能耗計算中，可根據塌落體的體積和側面積，計算出該三維破壞機制的外力功率和內能耗散功率。

圖1 淺埋硐室頂部圍巖塌落體的三維破壞模式Fig.1 Three－dimensional failure mechanism of rock mass above shallow cavity

3.2 基于三維破壞機制的淺埋硐室能耗計算

將由切向應力產生的耗散功率和法向應力產生的耗散功率進行迭加，三維塌落體外表面上任意一點的耗散功率［9］為：

將式（3）沿著整個塌落體側面積進行分解，可以得到塌落體側表面上由切向應力和法向應力產生的耗散功率。

在速度場中，重力功率由塌落體體積求得。

式中：γ為巖體的容重，kN／m3。

隧道支護力q的功率為：

與深埋隧道不同，由于淺埋隧道的破壞面延伸到了地面，地表荷載會對破壞面的形狀產生重大的影響，因此，在對淺埋隧道破壞面進行研究時，必須考慮地表荷載的功率Pσs。該功率可根據塌落體延伸到地表的面積和地表荷載σs求出。

為了求出塌落體表達式的上限解，利用耗散功率和外力功率之差，構建了一個包含曲線f（x）的目標函數ξ。

將PD，Pγ，Pq和Pσs的表達式代入式（8），可得：

式（10）為一個常系數非齊次二階線性微分方程，可采用解析方法求出f（x）的解析式。

將式（11）代回式（10），可求出泛函ψ的極值。

將式（12）代入式（9）中，得到目標函數：

對于淺埋隧道來說，埋深H是已知的。由于塌落體都延伸到地表，因此根據圖1所示的幾何條件，可得：

將式（11）代入式（14），得：

根據極限分析上限定理，塌落面上的耗散功率等于總外力功率，即ξ＝0，可以得到另外一個關于L1和L2等式：

聯(lián)立式（15）和（16），得到了一個關于L1和L2的非線性方程組。采用數值方法，可以解出關于L1和L2的數值解。將L1和L2代回式（11）后，得到了f（x）繞z軸旋轉的曲面方程：

根據該曲面方程，利用數值軟件Matlab中的三維繪圖命令，即可繪制出淺埋硐室頂部圍巖塌落體的三維形狀。

4 不同參數對淺埋硐室頂部塌落體形狀的影響

為了分析不同參數對淺埋硐室頂部圍巖塌落體形狀的影響，根據旋轉體曲面方程的表達式，繪制了當參數分別為A＝0.35，0.5和2／3，B＝0.5，0.6和q＝0，10和20kPa，σs＝0，50和100kPa，H＝10m時，隧道塌落體的三維形狀，分別如圖2～7所示。

圖2 不同的B時，淺埋硐室頂部塌落體的形狀Fig.2 Effect of values of the parameter Bon the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

圖3 不同的A時，淺埋硐室頂部塌落體的形狀Fig.3 Effect of values of the parameter Aon the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

從圖2～7中可以看出，淺埋隧道頂部圍巖的塌落體為一個由曲線f（x）繞z軸旋轉得到的旋轉體，其形狀類似于一個上窄下寬的倒置“漏斗”。在Hoek－Brown破壞準則中，參數A，B，σtm及γ均對隧道頂部塌落體的形狀和塌落范圍有較大的影響；隨著參數A和σtm的減小，塌落體的上、下底面半徑L1和L2均減小，塌落體的體積相應地減?。慌c此相反，隨參數B和γ的增大，塌落體的上、下底面半徑L1和L2均減小，塌落體的體積相應地減小。另一方面，由于淺埋隧道的塌落體延伸到了地表，因此地表荷載σs對塌落體形狀也產生了較大的影響，塌落體的體積隨地表荷載σs的增大而增大，隨支護力q的增大而減小。因此，對于淺埋隧道而言，當地表荷載較小而支護力較大時，隧道頂部圍巖的塌落范圍減小，有利于隧道的穩(wěn)定。

圖7 不同的σs時，淺埋硐室頂部塌落體的形狀Fig.7 Effect of values of the parameterσson the shape of the three－dimensional collapsing block above shallow cavity

5 結論

1）根據極限分析上限定理和Hoek－Brown非線性破壞準則，構建了淺埋硐室頂部圍巖塌方的三維破壞機制。采用能耗計算和變分法，繪制出了淺埋硐室頂部圍巖塌落體的三維圖像。研究成果可以為淺埋硐室頂部圍巖潛在塌落范圍研究提供理論依據。

2）巖體參數A，B，σtm及γ均對隧道頂部塌落體的形狀和塌落范圍有較大的影響；隨著A和σtm的減小、B和γ的增大，塌落體體積減小。因此，較小的A和σtm及較大的B和γ使得地下硐室頂部圍巖的潛在塌落范圍減小，有利于硐室穩(wěn)定性的提高。

3）當地表荷載σs較大且支護力q較小時，隧道頂部圍巖的塌落范圍較大，對于淺埋硐室的穩(wěn)定較為不利。因此，在地表建筑物較多、地表荷載較大的城市中心地帶修建地下硐室時，需要采用強度更高的支護結構，以降低地下硐室的頂部圍巖發(fā)生垮塌的風險。

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