拉巴次仁

(西藏大學(xué)理學(xué)院 西藏 拉薩 850000)

Matlab是美國Mathworks 公司推出的一套集數(shù)值分析、矩陣運(yùn)算、信號(hào)處理和圖形顯示于一體的高性能軟件，它已經(jīng)成為數(shù)學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)分析與可視化、信號(hào)處理和仿真等領(lǐng)域首先的工具軟件．動(dòng)態(tài)電路分析的基本方法是建立微分方程，然后用高等數(shù)學(xué)知識(shí)求解微分方程，最后得到電壓電流響應(yīng)的表達(dá)式，然而動(dòng)態(tài)電路分析中，最困難的事情是求解微分方程，即便是求出微分方程的解，結(jié)果中也看不出其物理含義．文章通過幾個(gè)實(shí)例介紹了Matlab在電路分析教學(xué)中的應(yīng)用，幫助學(xué)生更好更快地了解電路特性和掌握電路原理．

1 利用Matlab求解RLC電路的響應(yīng)方程，并把結(jié)果可視化

【例1】圖1(a)所示的RC電路中的開關(guān)連接至1端已經(jīng)很久，在t=0時(shí)，開關(guān)迅速由1端轉(zhuǎn)換到2端，如圖1(b)所示，試求t≥0 的電容電壓uC(t)，并畫出波形．

圖1

解析：由圖1(b)所示電路的KVL方程、KCL方程和VCR方程得到以下微分方程

上式是常系數(shù)線性一階齊次微分方程，編寫如下的Matlab程序來求該微分方程的解，并畫出電壓響應(yīng)曲線．

clear all;clc

syms u t

uc=dsolve(′0.05*Du+u=0′,′u(0)=3.5′,′t′); %解微分方程(設(shè)時(shí)間常數(shù)RC=0.05 s，初始值3.5 V)

picture=ezplot(uc); set(picture,′color′,′k′,′LineWidth′,2) %畫出時(shí)間常數(shù)RC=0.05 s時(shí)的波形

axis([0 0.30 3.5])

hold on

uc=dsolve(′0.02*Du+u=0′,′u(0)=3.5′,′t′); %解微分方程(設(shè)時(shí)間常數(shù)RC=0.02 s，初始值

3.5 V)

picture=ezplot(uc); set(picture,′color′,′k′,′LineStyle′,′--′,′LineWidth′,2) %畫出時(shí)間常數(shù)RC=0.02s時(shí)的波形

axis([0 0.30 3.5])

xlabel(′t /s′,′FontSize′,14,′FontAngle′,′italic′);

ylabel(′u_c(t)/ V′,′FontSize′,14,′FontAngle′,′italic′)

legend(′RC=0.05s′,′RC=0.02 s′)

圖2形象直觀地展示了電容電壓與電路時(shí)間常數(shù)之間的關(guān)系．電路時(shí)間常數(shù)RC的大小決定著電容電壓放電的快慢，在課堂上容易修改RC的值，可繪制不同的曲線，幫助學(xué)生更好地了解RC零輸入響應(yīng)的特性．

圖2 RC電路零輸入響應(yīng)的波形

【例2】電路如圖3所示, 試求RLC串聯(lián)電路的響應(yīng)，并畫出響應(yīng)波形．

圖3

解析：根據(jù)KCL，KVL和VCR方程，列出圖3的微分方程

以上是二階非齊次微分方程，用傳統(tǒng)的筆算方法解此微分方程，對(duì)于大多數(shù)藏族學(xué)生來說有很大的難度，它是二階電路分析教學(xué)中的難點(diǎn)．用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算功能，很輕松地解出上面二階微分方程，使師生們從繁重的數(shù)學(xué)計(jì)算中解脫出來，并順利地完成該章節(jié)的學(xué)習(xí)任務(wù)．

使用ode45函數(shù)解此微分方程，先要把該二階微分方程改寫為一階常微分方程組

然后，創(chuàng)建一個(gè)M函數(shù)文件myfun()，Matlab的代碼設(shè)置如下：

function myfun()

clear all;clc

ts=[0,3];%

u0=[3;0.28];

[t,u]=ode45(@myfun1,ts,u0,[],6,1,0.04,0); %解微分方程，設(shè)參數(shù)值

picture=plot(t,u(:,1),′k′,t,u(:,2),′k--′); %畫圖

set(picture,′LineWidth′,2)

xlabel(′t′,′FontSize′,12,′FontAngle′,′italic′)

ylabel(′u_c(t) / i_L(t)′,′FontSize′,12,′FontAngle′,′italic′)

legend(′電壓波形′,′電流波形′)

function up=myfun1(t,u,R,L,C,U)

up=[u(2);-(R/L)*u(2)-1/(L*C)*u(1)+U/(L*C)];

hold on

alpha=R/2*L;

text(1,2,[′衰減系數(shù) alpha=′,num2str(alpha)])

圖4

圖4(a)是電容電壓初始值為3 V，電感電流初始值為0.28 A，R=6 Ω，L=1 H，C=0.04 F,U=0時(shí)得到的電容電壓和電感電流的波形圖；圖4(b)是其他參數(shù)值不變，R=1時(shí)得到的圖．另外，當(dāng)U等于某常量時(shí)又可以得到直流激勵(lì)下RLC串聯(lián)電路的響應(yīng)，因此該程序基本上通用于RLC串聯(lián)的二階電路分析．

2 利用Matlab求解RC電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

【例3】圖5所示的RC電路，電路原來已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)斷開，正弦電流iS(t)=ISmcos(ωt+φi)作用于RC電路，求電容電壓uc(t)的響應(yīng)，并畫圖．

圖5

解析：寫出開關(guān)斷開之后電路的微分方程

求解上述微分方程中，涉及到解三角函數(shù)方程，求解過程相當(dāng)?shù)姆爆?，又容易出錯(cuò)，課堂上一直把解三角函數(shù)的過程跳過，直接給出結(jié)果．我們利用Matlab強(qiáng)大的數(shù)值計(jì)算的功能，解出上述正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的表達(dá)式，并把結(jié)果圖形顯示，Matlab的程序如下：

clear all; clc

syms u C R t w b I U

u=dsolve(′C*Du+1/R*u=I*cos(w*t+b)′,′u(0)=U′);

w=2;U=0;I=2;R=1;C=2;

b=pi/6; %theta

uc=eval(u); %電容電壓的表達(dá)式

t=0∶0.001∶10;

uc3=eval(u); %電容電壓的表達(dá)式

plot(t,uc3,′k′,′Linewidth′,2)

hold on

t=0∶0.001∶10;

uc1=-3226857735129493/9570149208162304*

exp(-1/2*t); %從上面的uc表達(dá)式中截取瞬態(tài)的響應(yīng)

plot(t,uc1,′k--′,′Linewidth′,1.5)

hold on

t=0∶0.001∶10;

uc2=2/17*cos(2*t+1/6*pi)+8/17*sin(2*t+1/6*pi);%從上面的uc表達(dá)式中截取正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

plot(t,uc2,′k-.′,′Linewidth′,1.5)

grid on

xlabel(′t′,′FontSize′,12,′FontAngle′,′italic′)

ylabel(′u_c(t)′,′FontSize′,12,′FontAngle′,′italic′)

set(gca,′XTick′,[0 5 10]);

set(gca,′YTick′,[-0.4 -0.2 0 0.2 0.4]);

axis([0 10 -0.62 0.8])

legend(′電容電壓的曲線′,′瞬態(tài)響應(yīng)′,′正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)′);

圖6中實(shí)線波形是正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)曲線，從整個(gè)時(shí)間段里看，該曲線并非按正弦規(guī)律變換，所以也就談不上什么正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)了．從圖上看出，時(shí)間大概過了5 s之后，該曲線基本上正弦規(guī)曲線，那么5 s之前的曲線為什么不是正弦曲線呢？

為了解釋這個(gè)現(xiàn)象，我們首先分析了由Matlab計(jì)算得到的電容電壓的表達(dá)式，發(fā)現(xiàn)該表達(dá)式是由兩個(gè)部分構(gòu)成，我們把這兩部分分別從表達(dá)式中截取后編程，其結(jié)果展示在一張圖上(圖6中的兩個(gè)虛線波形)，通過上面技術(shù)上的處理后我們清楚地看到，實(shí)線的波形是兩個(gè)虛線波形的疊加，即一個(gè)按正弦規(guī)律變化的曲線(穩(wěn)態(tài))，另一個(gè)按指數(shù)規(guī)律遞減的曲線(瞬態(tài))，當(dāng)瞬態(tài)響應(yīng)消失之后(理論上消失它需要無限長時(shí)間，實(shí)際上瞬態(tài)響應(yīng)在極短的時(shí)間里消失完)，剩下的只是穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，我們所說的正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)就是這剩下的響應(yīng)．如果不借助計(jì)算機(jī)的可視化功能，上面的現(xiàn)象在課堂上很難用語言來解釋清楚．

圖6 正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

3 利用Matlab研究RLC諧振電路的頻率特性

【例4】圖7所示電路為RLC串聯(lián)諧振電路，畫出該諧振電路的頻率特性曲線．

圖7

解析：圖7所示電路的轉(zhuǎn)移電壓比為

根據(jù)以上表達(dá)式，編寫Matlab程序如下：

%求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的幅值，畫幅頻特性曲線

clear all;clc; figure(1)

w0=500; Q=[0.5 1 2];

w=1∶500000;

for i=1∶3

H=abs(1./(1+j*Q(i)*(w/w0-w0./w)));

if i==1

semilogx(w/w0,H,′k--′,′Linewidth′,2)

end

if i==2

semilogx(w/w0,H,′k′,′Linewidth′,2)

end

if i==3

semilogx(w/w0,H,′k:′,′Linewidth′,2)

end

xlabel(′omega/omega_c′)

ylabel(′|H(jomega)|′)

set(gca,′XTick′,[0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000]);

set(gca,′YTick′,[0 0.5 0.707 1 ]);

axis([0 1000 0 1.05])

hold on

end

legend(′Q=0.5′,′Q=1′,′Q=2′);

%求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的相位角，畫出相頻特性

clear all;clc; figure(2) %lun7

w0=500;Q=[0.5 1 2];w=1∶500000;

for i=1∶3

Theta=angle(1./(1+j*Q(i)*(w/w0-w0./w)));%計(jì)算復(fù)數(shù)角度(弧度)

Theta=Theta*180/pi;%弧度變成角度

switch i

case 1

semilogx(w/w0,Theta,′k--′,′Linewidth′,2)

case 2

semilogx(w/w0,Theta,′k′,′Linewidth′,2)

case 3

semilogx(w/w0,Theta,′k:′,′Linewidth′,2)

end

xlabel(′omega/omega_c′)

ylabel(′ heta(omega)′)

set(gca,′XTick′,[0.01 0.1 1 10 100 1000 ]);

set(gca,′YTick′,[-90 0 90]);

axis([0 1000 -90 90])

hold on

end

legend(′Q=0.5′,′Q=1′,′Q=2′);

根據(jù)電路分析的理論知道，頻帶寬度與品質(zhì)因數(shù)Q成反比，Q越大，帶寬越窄，曲線越尖銳，對(duì)信號(hào)的選擇性越好，Matlab可視化得到的圖8(a)能生動(dòng)形象地展示這個(gè)現(xiàn)象．圖8(b)是相頻特性曲線，它表明電壓U1和U2之間的相位關(guān)系．

圖8

4 總結(jié)

由于Matlab軟件有諸多突出的優(yōu)點(diǎn)，大部分高等院校已經(jīng)把它列入課程計(jì)劃中，成為學(xué)生必須掌握的基本軟件之一．由于在電路分析中涉及大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算問題，并且往往需要其抽象的計(jì)算結(jié)果用圖形來展示，而Matlab恰好具有這個(gè)功能，因此我們嘗試著把它引入到電路分析的教學(xué)中，經(jīng)過幾年的教學(xué)實(shí)踐表明，這種計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)方式是可行的，取得了較顯著的教學(xué)效果，深受學(xué)生的喜愛，認(rèn)為計(jì)算機(jī)輔助教學(xué)方式可以在其他課程教學(xué)中去嘗試和推廣．

致謝：目前，西藏大學(xué)應(yīng)用物理專業(yè)和電子信息工程專業(yè)使用的電路分析課程教材是由胡翔駿編著的《電路分析》(第2版)，因此文章中的實(shí)例均從該教材中改編而來，在此對(duì)該書作者表示感謝；同時(shí)也感謝匿名評(píng)審專家為本文提出的有益問題．

參考文獻(xiàn)

1 胡翔駿. 電路分析(第2版).北京: 高等教育出版,2007

2 曹戈.Matlab 教程及實(shí)訓(xùn). 北京: 機(jī)械工業(yè)出版社,2008

3 Desmond J.Higham,Nicholas J.Higham.MATLAB guide-2nded.USA:Societyfor Indus-trial and Applied Maathematics,2005

4 求是科技.Matlab7.0從入門到精通.北京:人民郵電出版社,2006