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斯特瓦特定理的純幾何證法

2014-06-23 23:04丁位卿
關(guān)鍵詞:斯氏瓦特阿基米德

丁位卿

阿基米德(公元前287年—前212年),古希臘數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家,被后人尊稱為“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”,深得歐幾里德《幾何原本》的精髓,他的許多數(shù)學(xué)和物理上的獨(dú)特思想與發(fā)現(xiàn),已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他所處的那個(gè)時(shí)代.

單墫教授《數(shù)學(xué)名題詞典》[1]介紹說:“據(jù)史料記載,斯特瓦特定理(以下簡稱斯氏定理),在公元前3世紀(jì),由阿基米德首先發(fā)現(xiàn)并證明,1746年英國數(shù)學(xué)家斯特瓦特(Stewart)重新發(fā)現(xiàn)了它,可用來計(jì)算三角形中一些特殊線段的長(如中線、角平分線等).”阿基米德如何證明斯氏定理,成為一個(gè)千古之謎,不過,圓的知識他已運(yùn)用得爐火純青.筆者潛心鉆研,借助三角形外接圓,得到了如下的純幾何證法,供讀者參考指正.

斯特瓦特定理 如圖1,P為△ABC底邊BC上任意一點(diǎn),則

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

證明 如圖2,作△ABC的外接圓⊙O,P為底邊BC邊上一點(diǎn),延長AP與⊙O交于D,連接BD、DC.不失一般性,設(shè)∠ABC>∠ACB,故過B點(diǎn)可作∠ABE=∠ACB交AP于E點(diǎn),同樣,過C作∠ACF=∠ABC交PD(或其延長線)于F點(diǎn).由作法知∠ABE=∠ACB,又∠ACB=∠ADB,所以∠ABE=∠ADB.又因?yàn)椤螧AE=∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=(AP-EP)·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可證,△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=(AP+PF)AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O與△ABC中,∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB,∠BAD=∠BCD,所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可證,∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

觀察①、②、③式,為消去EP和PF,

故①×PC+②×BP,并略加整理(注意到③式)得,

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD(PC+BP)+(PF·BP-EP·PC)AD=AP·AD·BC=AP(AP+PD)BC=(AP2+AP·PD)BC,又因?yàn)锳P·PD=BP·PC(相交弦定理),所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得證.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS(〗〖JZ〗圖3〖TS)〗

當(dāng)∠ABC=∠ACB時(shí),△BEP與△CFP退化為BP、PC兩條線段,此時(shí),EP=PF=0(E、P、F三點(diǎn)重合),③顯然成立,其余證明完全相同.

需要說明的是:

(1)P為BC中點(diǎn)時(shí),即BP=PC時(shí),可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2,此即為三角形中線公式.

(2)當(dāng)AP為∠BAC的角平

分線時(shí),由斯氏定理結(jié)合角平分線定理,可求出角平分線長度,AP2=AB·AC-BP·PC,此即為另一著名的斯庫頓定理(證明略),同時(shí)也揭示出兩定理之間的神秘關(guān)系.

參考文獻(xiàn)

[1] 單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京:江蘇教育出版社,2002:350.endprint

阿基米德(公元前287年—前212年),古希臘數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家,被后人尊稱為“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”,深得歐幾里德《幾何原本》的精髓,他的許多數(shù)學(xué)和物理上的獨(dú)特思想與發(fā)現(xiàn),已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他所處的那個(gè)時(shí)代.

單墫教授《數(shù)學(xué)名題詞典》[1]介紹說:“據(jù)史料記載,斯特瓦特定理(以下簡稱斯氏定理),在公元前3世紀(jì),由阿基米德首先發(fā)現(xiàn)并證明,1746年英國數(shù)學(xué)家斯特瓦特(Stewart)重新發(fā)現(xiàn)了它,可用來計(jì)算三角形中一些特殊線段的長(如中線、角平分線等).”阿基米德如何證明斯氏定理,成為一個(gè)千古之謎,不過,圓的知識他已運(yùn)用得爐火純青.筆者潛心鉆研,借助三角形外接圓,得到了如下的純幾何證法,供讀者參考指正.

斯特瓦特定理 如圖1,P為△ABC底邊BC上任意一點(diǎn),則

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

證明 如圖2,作△ABC的外接圓⊙O,P為底邊BC邊上一點(diǎn),延長AP與⊙O交于D,連接BD、DC.不失一般性,設(shè)∠ABC>∠ACB,故過B點(diǎn)可作∠ABE=∠ACB交AP于E點(diǎn),同樣,過C作∠ACF=∠ABC交PD(或其延長線)于F點(diǎn).由作法知∠ABE=∠ACB,又∠ACB=∠ADB,所以∠ABE=∠ADB.又因?yàn)椤螧AE=∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=(AP-EP)·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可證,△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=(AP+PF)AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O與△ABC中,∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB,∠BAD=∠BCD,所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可證,∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

觀察①、②、③式,為消去EP和PF,

故①×PC+②×BP,并略加整理(注意到③式)得,

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD(PC+BP)+(PF·BP-EP·PC)AD=AP·AD·BC=AP(AP+PD)BC=(AP2+AP·PD)BC,又因?yàn)锳P·PD=BP·PC(相交弦定理),所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得證.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS(〗〖JZ〗圖3〖TS)〗

當(dāng)∠ABC=∠ACB時(shí),△BEP與△CFP退化為BP、PC兩條線段,此時(shí),EP=PF=0(E、P、F三點(diǎn)重合),③顯然成立,其余證明完全相同.

需要說明的是:

(1)P為BC中點(diǎn)時(shí),即BP=PC時(shí),可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2,此即為三角形中線公式.

(2)當(dāng)AP為∠BAC的角平

分線時(shí),由斯氏定理結(jié)合角平分線定理,可求出角平分線長度,AP2=AB·AC-BP·PC,此即為另一著名的斯庫頓定理(證明略),同時(shí)也揭示出兩定理之間的神秘關(guān)系.

參考文獻(xiàn)

[1] 單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京:江蘇教育出版社,2002:350.endprint

阿基米德(公元前287年—前212年),古希臘數(shù)學(xué)家與物理學(xué)家,被后人尊稱為“數(shù)學(xué)之神”和“力學(xué)之父”,深得歐幾里德《幾何原本》的精髓,他的許多數(shù)學(xué)和物理上的獨(dú)特思想與發(fā)現(xiàn),已遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了他所處的那個(gè)時(shí)代.

單墫教授《數(shù)學(xué)名題詞典》[1]介紹說:“據(jù)史料記載,斯特瓦特定理(以下簡稱斯氏定理),在公元前3世紀(jì),由阿基米德首先發(fā)現(xiàn)并證明,1746年英國數(shù)學(xué)家斯特瓦特(Stewart)重新發(fā)現(xiàn)了它,可用來計(jì)算三角形中一些特殊線段的長(如中線、角平分線等).”阿基米德如何證明斯氏定理,成為一個(gè)千古之謎,不過,圓的知識他已運(yùn)用得爐火純青.筆者潛心鉆研,借助三角形外接圓,得到了如下的純幾何證法,供讀者參考指正.

斯特瓦特定理 如圖1,P為△ABC底邊BC上任意一點(diǎn),則

AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.

證明 如圖2,作△ABC的外接圓⊙O,P為底邊BC邊上一點(diǎn),延長AP與⊙O交于D,連接BD、DC.不失一般性,設(shè)∠ABC>∠ACB,故過B點(diǎn)可作∠ABE=∠ACB交AP于E點(diǎn),同樣,過C作∠ACF=∠ABC交PD(或其延長線)于F點(diǎn).由作法知∠ABE=∠ACB,又∠ACB=∠ADB,所以∠ABE=∠ADB.又因?yàn)椤螧AE=∠BAD,所以△ABE∽△ABDAEAB=ABADAB2=AE·AD=(AP-EP)·AD=AP·AD-EP·AD.……①

同理可證,△ACF∽△ACDAC2=AF·AD=(AP+PF)AD=AP·AD+PF·AD.……②

在⊙O與△ABC中,∠BEP=∠ABE+∠BAD.又∠ABE=∠ACB,∠BAD=∠BCD,所以∠BEP=∠ACB+∠BCD=∠ACD.

同理可證,∠PFC=∠ACD.所以∠BEP=∠PFCBE∥FC△BEP∽△CFPEPPF=BPPCPF·BP-EP·PC=0.……③

觀察①、②、③式,為消去EP和PF,

故①×PC+②×BP,并略加整理(注意到③式)得,

AB2·PC+AC2·BP=AP·AD(PC+BP)+(PF·BP-EP·PC)AD=AP·AD·BC=AP(AP+PD)BC=(AP2+AP·PD)BC,又因?yàn)锳P·PD=BP·PC(相交弦定理),所以AB2·PC+AC2·BP=AP2·BC+BP·PC·BC.斯氏定理得證.〖TPdwq-3.tif,Y〗〖TS(〗〖JZ〗圖3〖TS)〗

當(dāng)∠ABC=∠ACB時(shí),△BEP與△CFP退化為BP、PC兩條線段,此時(shí),EP=PF=0(E、P、F三點(diǎn)重合),③顯然成立,其余證明完全相同.

需要說明的是:

(1)P為BC中點(diǎn)時(shí),即BP=PC時(shí),可得2AB2+2AC2=4AP2+BC2,此即為三角形中線公式.

(2)當(dāng)AP為∠BAC的角平

分線時(shí),由斯氏定理結(jié)合角平分線定理,可求出角平分線長度,AP2=AB·AC-BP·PC,此即為另一著名的斯庫頓定理(證明略),同時(shí)也揭示出兩定理之間的神秘關(guān)系.

參考文獻(xiàn)

[1] 單墫.數(shù)學(xué)名題詞典[M].南京:江蘇教育出版社,2002:350.endprint

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