袁國(guó)軍， 肖慶憲

（1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093；2.皖西學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，六安 237012）

基于近似對(duì)沖的亞式期權(quán)定價(jià)模型與實(shí)證分析

袁國(guó)軍1，2， 肖慶憲1

（1.上海理工大學(xué)管理學(xué)院，上海 200093；2.皖西學(xué)院經(jīng)濟(jì)與管理學(xué)院，六安 237012）

考慮了標(biāo)的股票的價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過(guò)程的亞式定價(jià)問(wèn)題.利用無(wú)套利原理和廣義Ito公式，運(yùn)用近似對(duì)沖跳躍風(fēng)險(xiǎn)的方法，建立了跳-擴(kuò)散過(guò)程中算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價(jià)模型.然后，通過(guò)變量代換，將超拋物型偏微分方程變?yōu)橐话銙佄镄头匠?，基于半離散化方法，給出了基于半離散化的差分求解方法，并且對(duì)差分格式的穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行了分析.最后，以北歐電力交易所曾經(jīng)交易過(guò)的亞式期權(quán)為例，對(duì)亞式期權(quán)定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證分析.

跳-擴(kuò)散過(guò)程；亞式期權(quán)；近似對(duì)沖；數(shù)值方法

亞式期權(quán)是目前OTC（柜臺(tái)交易）市場(chǎng)上最受投資者歡迎的金融衍生產(chǎn)品，其最早是由美國(guó)銀行家信托公司（Bankers Trust）于20世紀(jì)90年代在日本東京推出，故稱(chēng)為亞式期權(quán).最初設(shè)計(jì)開(kāi)發(fā)亞式期權(quán)的目的是用于防止市場(chǎng)上的操縱行為，尤其是期權(quán)到期前的操縱行為.后來(lái)，針對(duì)法人治理結(jié)構(gòu)下現(xiàn)代公司的“內(nèi)部人控制”問(wèn)題，引入了亞式期權(quán)，對(duì)公司經(jīng)理人采用基于亞式期權(quán)的經(jīng)理人激勵(lì)機(jī)制，較好地解決了“內(nèi)部人控制”問(wèn)題.與歐式期權(quán)相比，亞式期權(quán)不但具有套期保值的功能，而且還具有價(jià)格便宜、可以盡可能減少市場(chǎng)操縱和內(nèi)幕交易的優(yōu)點(diǎn).因此，關(guān)于亞式期權(quán)的研究成為企業(yè)界和理論界的熱點(diǎn)問(wèn)題之一.

亞式期權(quán)實(shí)際上是一種路徑相依期權(quán)，期權(quán)到期日的收益依賴(lài)于部分或整個(gè)期權(quán)有效期內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)所經(jīng)歷的價(jià)格的平均值.交割價(jià)以幾何平均和算術(shù)平均最為常見(jiàn).Cox等［1］首次給予亞式期權(quán)定價(jià)方法，通過(guò)引入路徑相依變量，給出了亞式期權(quán)定價(jià)的二叉樹(shù)方法.Barraquand［2］給出了二叉樹(shù)方法修正的前移打靶格子方法.基于交易賬戶(hù)的思想，Shreve等［3］通過(guò)對(duì)標(biāo)的證券的自融資交易復(fù)制期權(quán)對(duì)亞式期權(quán)進(jìn)行定價(jià).Hoogland等［4］采用半解析的方法來(lái)處理標(biāo)的證券支付紅利的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.另外，亞式期權(quán)的定價(jià)方法還有：基于偏微分方程求解法［5-6］、Monte Carlo模擬法［7］、傅里葉變換法［8］、近似解析法［9］和上下界法［10］等.

然而，上述關(guān)于亞式期權(quán)的定價(jià)方法都是基于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)給出的，只適用于資產(chǎn)價(jià)格的連續(xù)變化情況.但在金融實(shí)踐中，一些重大信息的到達(dá)會(huì)對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格變化造成劇烈的波動(dòng)，出現(xiàn)大幅的跳躍現(xiàn)象.因此，幾何布朗運(yùn)動(dòng)不能很好地刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格的變化情況，尤其是跳躍現(xiàn)象.Merton［11］首次用Poisson過(guò)程來(lái)刻畫(huà)價(jià)格的跳躍現(xiàn)象，假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格服從Poisson 跳-擴(kuò)散過(guò)程.Halluin等［12］研究了跳-擴(kuò)散模型中具有固定執(zhí)行價(jià)格的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.Fusai等［13］對(duì)Levy過(guò)程下的離散亞式期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了研究，并且給出了幾何平均亞式期權(quán)的傅里葉變換形式的封閉解和算術(shù)平均亞式期權(quán)的遞歸算法.Chou等［14］研究了跳-擴(kuò)散模型中的亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，得到了類(lèi)似于B-S模型中的亞式期權(quán)價(jià)格的封閉解，推廣了連續(xù)情形下的B-S模型.Kim等［15］運(yùn)用二叉樹(shù)方法給跳-擴(kuò)散模型中亞式期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，并且討論了二叉樹(shù)方法的收斂性.Hubalek等［16］在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格同時(shí)具有隨機(jī)波動(dòng)率和跳躍的假設(shè)下，給出了幾何平均亞式期權(quán)價(jià)格的半顯式公式.劉宣會(huì)等［17］分別在完全市場(chǎng)與不完全市場(chǎng)上，通過(guò)選擇賬戶(hù)折算變換與復(fù)制，將跳-擴(kuò)散模型中一種算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題簡(jiǎn)化為一種類(lèi)似歐式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，然后運(yùn)用Merton對(duì)沖風(fēng)險(xiǎn)方法得到了原亞式期權(quán)的定價(jià)和套期保值策略.張靜等［18］討論了跳躍-擴(kuò)散模型下亞式期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，得到了具有固定執(zhí)行價(jià)格算術(shù)平均亞式期權(quán)的價(jià)格下界公式，并且通過(guò)數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了該下界公式可以作為亞式期權(quán)定價(jià)的近似公式.孔文濤等［19］運(yùn)用總體最小二乘擬蒙特卡洛方法為帶跳市場(chǎng)中隨機(jī)利率下的美式-亞式期權(quán)定價(jià)，并將得到的定價(jià)結(jié)果和不帶跳市場(chǎng)中的美式-亞式期權(quán)的價(jià)格進(jìn)行了比較.韓響楠等［20］在標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過(guò)程的假設(shè)下，給出了具有固定執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)和浮動(dòng)執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)價(jià)格的一個(gè)下界.魏正元［21］在跳躍-擴(kuò)散過(guò)程模型限定下，運(yùn)用It?-Skorohod微分公式和等價(jià)鞅測(cè)度變換，得到了歐式加權(quán)幾何平均亞式期權(quán)封閉形式的解析定價(jià)公式.

盡管Black-Schole與Merton模型已成功應(yīng)用到金融市場(chǎng)，但是近來(lái)經(jīng)驗(yàn)研究表明：在刻畫(huà)資產(chǎn)價(jià)格波動(dòng)上，它們與實(shí)際還存在較大偏差.主要表現(xiàn)為：a.跳風(fēng)險(xiǎn)是不容忽視的，可能蘊(yùn)涵了某種重要的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象；b.資產(chǎn)收益分布可能具有非對(duì)稱(chēng)、尖峰厚尾特征以及“隱含波動(dòng)率微笑”.近幾十年來(lái)，很多研究都是通過(guò)解釋Black-Scholes模型的這兩個(gè)缺陷來(lái)修正Black-Scholes公式，但是這些模型也沒(méi)能很好地體現(xiàn)資產(chǎn)收益的尖峰厚尾和非對(duì)稱(chēng)特征，特別是尖峰厚尾特征.Kou［22］的研究發(fā)現(xiàn)，已有的跳-擴(kuò)散模型不能很好地反映金融市場(chǎng)的實(shí)際情況，于是他提出了一種新的跳-擴(kuò)散模型，認(rèn)為跳躍的密度函數(shù)服從雙指數(shù)分布.該模型最主要的特點(diǎn)就是能產(chǎn)生一個(gè)尖峰厚尾分布，雙指數(shù)跳-擴(kuò)散模型能夠很好地體現(xiàn)資產(chǎn)收益的經(jīng)驗(yàn)特征：尖峰厚尾特征和期權(quán)定價(jià)中的“波動(dòng)率微笑”.Kou等應(yīng)用均衡理論，研究了雙指數(shù)跳-擴(kuò)散過(guò)程下的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，分別得到了標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)定價(jià)公式、美式期權(quán)近似定價(jià)公式和幾種路徑依賴(lài)型期權(quán)的定價(jià)公式.Park［23］討論了雙指數(shù)跳-擴(kuò)散模型中回望期權(quán)二叉樹(shù)方法的收斂性問(wèn)題；鄧國(guó)和等［24-25］分別研究了連續(xù)支付紅利的雙指數(shù)跳-擴(kuò)散模型中美式兩值現(xiàn)金或無(wú)看漲期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題和CIR隨機(jī)波動(dòng)率與Kou 雙指數(shù)跳-擴(kuò)散組合模型的美式期權(quán)函數(shù)及最佳實(shí)施邊界的性質(zhì).（4）

目前文獻(xiàn)中關(guān)于跳-擴(kuò)散模型中期權(quán)定價(jià)采用的方法主要有：鞅方法、隨機(jī)微分方程法、一般均衡理論法和Merton對(duì)沖法等.但Merton對(duì)沖法只是對(duì)沖Brown運(yùn)動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)，對(duì)Poisson跳躍通常采用取其期望的方法.跳躍行為發(fā)生的頻率雖然很小，然而一旦發(fā)生，將會(huì)對(duì)股票、債券及金融衍生產(chǎn)品市場(chǎng)產(chǎn)生巨大的沖擊.歷史上股票市場(chǎng)上多次崩盤(pán)事件的發(fā)生均是由股票價(jià)格的向下大幅劇烈波動(dòng)造成的.所以，在跳-擴(kuò)散期權(quán)定價(jià)模型中，跳躍部分的風(fēng)險(xiǎn)必須給予高度的重視，盡量考慮到跳躍風(fēng)險(xiǎn)對(duì)期權(quán)價(jià)格的影響.因此，本文采用近似對(duì)沖跳躍風(fēng)險(xiǎn)的方法，并且運(yùn)用證券組合技術(shù)和無(wú)套利原理建立了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從Kou 跳-擴(kuò)散過(guò)程的算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價(jià)模型，并且討論了該定價(jià)模型的數(shù)值解法及其穩(wěn)定性和誤差等問(wèn)題.

1 基于近似對(duì)沖跳躍風(fēng)險(xiǎn)的亞式期權(quán)定價(jià)模型

設(shè)St為一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過(guò)程，在給定的概率空間（Ω，F(xiàn)，P）中，滿(mǎn)足下列隨機(jī)微分方程

式中，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率r、波動(dòng)率方差σ2為常數(shù)；ζ= E［Xi］；W（t）是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)Brownian運(yùn)動(dòng)；N（t）是跳躍強(qiáng)度為λ的Poisson過(guò)程；W（t），N（t），｛Xi｝相互獨(dú)立，且｛Xi｝是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，具有對(duì)數(shù)雙指數(shù)密度函數(shù)

式中，α1，α2分別為兩個(gè)指數(shù)分布的參數(shù)，且α1＞1；p，q分別為價(jià)格向上跳躍和向下跳躍的概率，且p+q=1.

設(shè)期權(quán)的有效期為T(mén)，對(duì)于任意時(shí)刻0≤t≤T，期權(quán)的價(jià)格V是標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格S、路徑變量J和時(shí)間t的函數(shù)，記為V=V（S（t），J，t）.期權(quán)賣(mài)出方在t時(shí)刻持有Δ份風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，以期對(duì)沖在期權(quán)到期日T時(shí)刻損失V=V（S，J，T）的風(fēng)險(xiǎn)，即花費(fèi)了ΔS，于是在t時(shí)刻該組合的價(jià)值為

Poisson過(guò)程N(yùn)（t）在d t時(shí)間內(nèi)有一次跳躍的概率是λd t，超過(guò)一次的概率是o（d t）.因此，如果d t足夠小，可以忽略多次跳躍，并有

其中，Bt為Bernoulli隨機(jī)變量，且P（Bt=1）= λd t，P（Bt=0）=1-λd t，Xi是跳躍幅度，服從對(duì)數(shù)雙指數(shù)分布.由Taylor公式得

若時(shí)間的變化d t足夠小，標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格要么發(fā)生一次跳躍，要么沒(méi)有跳躍.分別求出沒(méi)有跳躍和有一次跳躍時(shí)期權(quán)的價(jià)格，再以發(fā)生跳躍與否的概率作為權(quán)重求出跳-擴(kuò)散模型中亞式期權(quán)的價(jià)格.

根據(jù)期權(quán)定價(jià)的無(wú)套利原理，則投資組合的期望收益等于其無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益，即：E［dΠ］=rΠd t，則

2 數(shù)值解法

若標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，幾何平均亞式期權(quán)有解析解，而算術(shù)平均亞式期權(quán)則沒(méi)有解析，通常用二叉樹(shù)方法、均值關(guān)系近似方法、二階矩近似方法、Monte Carlo模擬方法等來(lái)求解算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)模型.Boyle［7］采用Monte Carlo方差控制方法，以幾何平均為標(biāo)的的亞式期權(quán)作為初始值，導(dǎo)出了算術(shù)平均亞式期權(quán)的近似解.基于線(xiàn)性過(guò)程的方法，Bouaziz［27］給出了平均執(zhí)行價(jià)格亞式期權(quán)的近似解.利用對(duì)數(shù)正態(tài)分布近似算術(shù)平均的真實(shí)分布來(lái)作為算術(shù)平均近似的分布，Lévy［28］給出了算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)的近似解.Simon［29］給出了算術(shù)平均亞式期權(quán)的近似解及模擬方法.

對(duì)于跳躍過(guò)程服從復(fù)合Poisson過(guò)程下的亞式期權(quán)更是沒(méi)有解析解.另外，由于亞式期權(quán)具有避免人為操縱、內(nèi)部交易等優(yōu)點(diǎn)，在目前的期權(quán)OTC市場(chǎng)上深受投資者歡迎.與幾何平均相比，算術(shù)平均更容易理解，在期權(quán)OTC市場(chǎng)上，以算術(shù)平均亞式期權(quán)表現(xiàn)最為活躍.因此，研究其數(shù)值解更具有實(shí)踐意義和應(yīng)用價(jià)值.這里主要討論了跳躍過(guò)程服從復(fù)合Poisson過(guò)程的Kou 跳-擴(kuò)散模型中算術(shù)平均亞式期權(quán)定價(jià)的數(shù)值解法問(wèn)題.

對(duì)于線(xiàn)性?huà)佄镄推⒎址匠?，求解的?shù)值方法有有限元法、有限差分法等.拋物型偏微分方程在某種意義上是常微分方程的擴(kuò)展［30］.因此，可以?xún)H對(duì)空間導(dǎo)數(shù)離散化，將偏微分方程近似轉(zhuǎn)化為一個(gè)常微分方程組，這種方法稱(chēng)為半離散化方法［30］.這里，僅給出式（9）的半離散化差分格式，式（6）的半離散化差分格式及其穩(wěn)定性和誤差分析等結(jié)果同理可得.

由于式（9）是一個(gè)含有3個(gè)變量的超拋物型偏微分方程，為了給出其簡(jiǎn)單易行的數(shù)值方法，先通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q，把它變?yōu)橐话愕膾佄镄推⒎址匠?首先給出變換

其中，I是N-1階單位矩陣，k=Δt，lk=τ=T-t，則式（15）向量初值問(wèn)題的數(shù)值解為

3 差分格式的穩(wěn)定性分析

本節(jié)討論對(duì)于固定的h=Δx＞0，有限差分格式對(duì)時(shí)間的穩(wěn)定性.即h=Δx固定時(shí)，當(dāng)k=Δτ，l→+∞，且lk=τ時(shí)，解u（τ）仍是有界的.

當(dāng)h固定時(shí)，矩陣C也是固定的，則矩陣C可以分解為

式中，Λ和D是對(duì)角陣，且

4 差分格式的誤差分析

對(duì)于一個(gè)有效的差分格式，當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，其截?cái)嗾`差應(yīng)趨于零，亦即意味著差分格式的精確解能夠很好地趨向于偏微分方程理論上的精確解.

令Tni（U）=F（Uni）-L（Uni），若當(dāng)h=Δx→0，k=Δτ→0時(shí)，Tni（U）→0，則稱(chēng)差分格式的誤差有界，也即差分格式是收斂的［31］.其中，Uni表示方程（11）在點(diǎn)（xi，nk）處的理論值，即Uni=U（xi，nk）.如果Tni（U）=O（hp）+O（kq），則稱(chēng)差分格式的截?cái)嗾`差是O（hp+kq）［31］.

對(duì)于差分格式的內(nèi)點(diǎn)，則有

所以差分格式式（17）的截?cái)嗾`差有界，且Tni（U）= O（h4）+O（k）.

5 實(shí)證分析

北歐電力交易所（Nord Pool）的期權(quán)交易開(kāi)始于1999年10月29日，提供兩種類(lèi)型可供交易的期權(quán)：歐式電力期權(quán)（EEO或EPO）和亞式電力期權(quán)（AEO或APO）.其中亞式電力期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)是在北歐電力交易所交易的標(biāo)準(zhǔn)的電力期貨合約，亞式電力期權(quán)是根據(jù)現(xiàn)貨電價(jià)市場(chǎng)的系統(tǒng)電價(jià)的算術(shù)平均值進(jìn)行自動(dòng)執(zhí)行和結(jié)算的.如果平均系統(tǒng)平均電價(jià)和執(zhí)行價(jià)格的價(jià)差為正（負(fù)），則買(mǎi)入（賣(mài)出）的亞式電力期權(quán)是盈利的，在結(jié)算期的最后一個(gè)交易日后進(jìn)行結(jié)算；如果是“價(jià)格不變”或是“賠錢(qián)的”，則不發(fā)生支付行為.因此，亞式電力期權(quán)本質(zhì)上就是金融衍生品中的亞式期權(quán).另外，亞式電力期權(quán)是北歐電力交易所中一個(gè)特殊且重要的電力衍生產(chǎn)品.一是因?yàn)樗俏ㄒ辉诮灰姿灰椎膩喪狡跈?quán)；二是盡管它滿(mǎn)足了投資者在不穩(wěn)定電力市場(chǎng)上進(jìn)行套期保值的需求，但是可能基于較低的流動(dòng)性，北歐電力交易所后來(lái)終止了其交易.

用U1表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格向上跳躍的百分比，U2表示標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格向下跳躍的百分比，假設(shè)U1，U2均是在一定的有限區(qū)域上服從對(duì)數(shù)雙指數(shù)分布.規(guī)定當(dāng)系統(tǒng)電價(jià)上升（下降）超過(guò)3%時(shí)，跳躍即發(fā)生.這里假設(shè)U1的取值范圍為U1∈［0.03，0.1］，U2的取值范圍為U2∈［-0.1，-0.03］.將系統(tǒng)電價(jià)的樣本看成是有序樣本，根據(jù)上面假設(shè)，由市場(chǎng)數(shù)據(jù)，很容易找到相應(yīng)的跳躍點(diǎn).若U1發(fā)生了n1次，U2發(fā)生了n2次，則跳躍強(qiáng)度λ的估計(jì)為λ=（n1+n2）／n.根據(jù)樣本計(jì)算，n1=84，n2= 110，故λ=0.535 5.另外，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出跳躍的平均幅度ζ=0.016，跳躍幅度的方差為ξ=0.191 6，無(wú)風(fēng)險(xiǎn)利率取r=0.032 5.

為了檢驗(yàn)本文模型和計(jì)算方法的有效性和期權(quán)價(jià)格對(duì)poisson跳躍分布的穩(wěn)健性，利用本文的定價(jià)模型及差分算法計(jì)算出1999年11月25日至2000年1月3日19個(gè)交易日（共26個(gè)交易日，舍去了7個(gè)明顯異常的數(shù)據(jù)）的亞式電力期權(quán)（AEOGB0300）的價(jià)格.圖1給出了不同交易日的本文計(jì)算價(jià)格、Merton模型價(jià)格、對(duì)數(shù)均勻分布價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格計(jì)算結(jié)果的比較.

從圖1可以看出，用本文模型和方法計(jì)算的亞式電力期權(quán)的價(jià)格比用Merton模型和跳躍服從對(duì)數(shù)均勻分布模型計(jì)算的價(jià)格更接近市場(chǎng)的實(shí)際價(jià)格.另外發(fā)現(xiàn)，亞式電力期權(quán)的價(jià)格對(duì)poisson跳躍分布具有較大的敏感性，與對(duì)數(shù)正態(tài)分布和對(duì)數(shù)均勻分布相比，期權(quán)價(jià)格對(duì)對(duì)數(shù)雙指數(shù)分布更敏感，其計(jì)算的期權(quán)價(jià)格更接近市場(chǎng)價(jià)格.

圖2給出了亞式電力市場(chǎng)價(jià)格、計(jì)算價(jià)格及標(biāo)的資產(chǎn)（電力期貨合約）價(jià)格變化趨勢(shì).從圖2可以看出，采用本文的模型和方法計(jì)算的期權(quán)價(jià)格變化趨勢(shì)和標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格變化的趨勢(shì)幾乎完全吻合（僅出現(xiàn)一次不吻合）.隨著每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的漲跌，該期權(quán)的理論價(jià)值也會(huì)立即產(chǎn)生相應(yīng)的漲跌，但是變化的幅度大于標(biāo)的資產(chǎn)的變化幅度（因?yàn)闃?biāo)的資產(chǎn)——電力期貨合約的價(jià)格較高），而市場(chǎng)價(jià)格卻出現(xiàn)了6次變化趨勢(shì)與標(biāo)的股價(jià)變化趨勢(shì)相反的情況.因此，本文模型和方法計(jì)算的價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的敏感度要高于市場(chǎng)價(jià)格對(duì)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的敏感度.

圖1 幾種模型價(jià)格與市場(chǎng)價(jià)格的比較Fig.1 Comparison of several models’prices with market prices

圖2 亞式電力期權(quán)市場(chǎng)價(jià)格、計(jì)算價(jià)格及標(biāo)的期貨合約價(jià)格變化趨勢(shì)比較Fig.2 Changing trend comparison between the market price，calculated price and futures contract price of Asian eletricity options

6 結(jié)束語(yǔ)

基于近似對(duì)沖跳躍風(fēng)險(xiǎn)的方法，本文建立了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格服從跳-擴(kuò)散過(guò)程的歐式固定執(zhí)行價(jià)格算術(shù)平均亞式期權(quán)的定價(jià)模型.給出了基于半離散化的差分求解方法，并且對(duì)差分格式的穩(wěn)定性和誤差進(jìn)行了分析.在最后的實(shí)證分析部分，以北歐電力交易所曾經(jīng)交易過(guò)的亞式電力期權(quán)為例，對(duì)亞式期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證分析.

致謝本文作者衷心感謝波蘭Wroclaw大學(xué)Rafal Weron教授提供了北歐亞式電力期權(quán)數(shù)據(jù).

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（編輯：丁紅藝）

Pricing Model of Asian Options and Empirical Analysis Based on Approximating Hedge

YUANGuo-jun1，2， XIAOQing-xian1
（1.Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China；2.School of Economy and Management，West Anhui University，Lu’an 237012，China）

The Asian pricing was considered when underlying stock price obeys jump-diffusion process.An arithmetic mean Asian options pricing model and a partial differential equation of the pricing model were established by using the generalized It oformula and the no-arbitrage principle，based on the method of approximating hedge jump risk.Then，the ultra parabolic partial differential equation was transformed into a generalized parabolic equation by using variable substitution method.The semidiscretization numerical arithmetic scheme of the partial differential equation derived by means of semidiscretization，and the stability and error analysis of the difference scheme were also discussed.Finally，the empirical analysis of Asian option pricing was carried out，taking the Asian-style electricity options，as an example which have been traded in the Nord Pool.

jump-diffusion process；Asian options；approximating hedge；numerical method

F 830.9；F 224.0文獻(xiàn)標(biāo)示碼：A

1007-6735（2014）05-0416-09

10.13255／j.cnki.jusst.2014.05.002

2013-09-20

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11171221）；上海市一流學(xué)科建設(shè)資助項(xiàng)目（XTKX2012）

袁國(guó)軍（1981-），男，博士研究生.研究方向：金融工程.E-mail：13865792190＠163.com

肖慶憲（1956-），男，教授.研究方向：金融工程.E-mail：qxxiao＠163.com