周曉輝， 姚 儉

（上海理工大學管理學院，上海 200093）

區(qū)間直覺梯形模糊幾何Bonfer roni平均算子及其應用

周曉輝， 姚 儉

（上海理工大學管理學院，上海 200093）

研究了決策信息為區(qū)間直覺梯形模糊數且屬性間存在相互關聯(lián)的多屬性群決策問題，提出一種基于區(qū)間直覺梯形模糊幾何加權Bonferroni平均算子的決策方法.基于區(qū)間梯形直覺模糊數的運算法則和幾何Bonferroni平均算子，定義了區(qū)間直覺梯形模糊幾何Bonferroni平均算子及其加權算子.給出了這些算子的一些性質，建立基于區(qū)間直覺梯形模糊幾何加權Bonferroni平均算子的多屬性群決策模型.最后，將該方法應用在供應商選擇的群決策問題中，結果表明了該方法的有效性與可行性.

區(qū)間直覺梯形模糊數；幾何Bonferroni平均算子；多屬性群決策

Key words：interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy number；geometric weighted Bonferroni means operator；multi-attribute group decision making

自Atanassov提出直覺模糊集［1］（intuitionistic fuzzy sets，IFS）以來，因IFS綜合考慮隸屬度、非隸屬度和猶豫度三方面的信息，能更加細膩地描述和刻畫客觀世界的模糊性本質，眾多學者對IFS進行了深入研究.目前關于IFS的拓展形式主要有區(qū)間直覺模糊集（interval-valued intuitionistic fuzzy sets，IVIFS）［2-4］、三角直覺模糊數（triangular intuitionistic fuzzy numbers，TIFN）［5-6］、直覺梯形模糊數（intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers，ITFN）和區(qū)間直覺梯形模糊數（interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers，IVITFN）［7］.王堅強［7］于2008年首次提出了IVITFN的概念，但與其相關的研究并不多見.因IVITFN的隸屬函數和非隸屬函數用區(qū)間數描述，在刻畫客觀世界的模糊性本質方面比IFS，IVIFS，ITFN 和TIFN更為精細和準確，因而引起了眾多學者的關注.萬樹平［8］探討了IVITFN的運算法則，定義其得分函數和精確函數，給出了IVITFN的排序方法，定義了IVITFN的加權算術平均（IVITFNWAA）和加權幾何平均算子（IVITFNWGA），并將其應用于多屬性群決策（MAGDM）領域.Wu等［9］研究了IVITFN的加權幾何算子（IVITFNWG）、有序加權幾何算子（IVITFNOWG）和混合幾何算子（IVITFNHG），并給出MAGDM方法.汪新凡等［10］定義了新的IVITFN加法運算法則，結合IVITFN的期望值給出了新的IVITFN加權算術平均（IVITFNWAA）算子、有序加權平均（IVITFNOWA）算子和混合集成（IVITFNHA）算子.

上述研究的IVITFN集成算子僅考慮了屬性間相互獨立的情況，實際決策中，不同屬性間會存在不同程度的聯(lián)系，如互補、冗余、偏好關系等.有關屬性間具有相互關聯(lián)的IVITFN集成算子卻不曾見到報道.基于Bonferroni提出的BM算子［11］能夠很好地捕獲輸入變量之間的相互關聯(lián)情況，其可以將多個輸入變量集結為一個輸入變量，是一種介于最大和最小之間的集成算子.Xu等［12］在直覺模糊環(huán)境下拓展了BM算子進行IFS的信息集成，另外將BM算子與IVIFS結合，提出了IVIFBM算子，研究了相關的性質，并應用于MAGDM領域［13］.Dutta等［14］將ITFN和BM算子結合，提出了直覺梯形模糊Bonferroni（ITFBM）算子和廣義直覺梯形模糊Bonferroni（GITFBM）算子.Xia等［15］研究了幾何Bonferroni平均（GBM）算子，在直覺模糊環(huán)境下將IFS與GBM算子結合，提出了直覺模糊幾何Bonferroni平均（IFGBM）算子和直覺模糊幾何加權Bonferroni平均（IFGWBM）算子，同時研究了其性質，并通過MADGM算例驗證了IFGWBM算子的有效性和實用性.

基于以上分析，本文將IVITFN與GBM算子相結合，提出IVITFGBM算子和IVITFGWBM算子，同時研究它們的一些性質.最后給出一種基于IVITFGWBM算子的MAGDM方法.

1 基本理論

1.1 IVITFN定義

定義1［7-9］設α～實數集上的一個IVITFN的區(qū)間值隸屬函數為

圖1 區(qū)間直覺梯形模糊數Fig.1 Interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy number

1.2 IVITFN的運算法則

1.3 IVITFN的排序方法

1.4 GBM算子

定義4［15］設p，q＞0，且非負實數集合｛a1，a2，…，an｝滿足

則稱函數GBp，q為GBM算子.

為處理決策信息以IVITFN給出的MAGMD問題，結合GBM算子給出IVITFGBM算子.

1.5 IVITFGBM算子

1.6 IVITFGWBM算子

基于以上研究知，IVITFGBM算子考慮了屬性間關聯(lián)性，是一種IVITFN集成的新方法，但是在實際應用中，屬性具有不同的重要程度，為此，提出IVITFGWBM算子.

定理6的證明類似定理1，限于篇幅，證明過程略.

2 基于IVITFGWBM算子的MAGDM方法

步驟1 設決策者dk給出方案Ai在屬性Cj下的評價值為IVITFN，從而得到決策矩陣為D（k）= （α）n×t.

步驟2 利用IVITFGWBM算子，對m位決策專家給出的決策矩陣進行信息集成，綜合專家權重，得到方案Ai（i=1，2，…，t）的總體評價值.

步驟3 計算得分函數值與精確函數值，根據IVITFN排序方法對方案進行優(yōu)劣排序，進而得到最佳方案. wj=1.具體決策步驟如下：

3 實例分析

某食品公司擬從3個供應商（A1，A2，A3）中選擇合適的合作伙伴，故針對每個供應商的4個屬性進行了評估，4個屬性分別為：產品質量C1；技術能力C2；污染控制C3；環(huán)境管理C4.屬性的權重向量為w=［0.25，0.2，0.35，0.2］T，有3位決策專家d1，d2，d3分別對這A1，A2，A3根據上述的4個屬性進行滿意度測評，如表1～3所示.給出的測評值均為IVITFN，其中3位決策者的權重向量為ω= ［0.2，0.3，0.5］T.采用本文提出來的方法對供應商進行選擇.

表1 決策者d1給出的決策矩陣Tab.1 Decision matrix from decision maker d1

表2 決策者d2給出的決策矩陣Tab.2 Decision_ matrix from decision maker d2

表3 決策者d3給出的決策矩陣Tab.3 Decision matrix from decision maker d3

步驟1 本文研究p=1，q=1的情況，由式（22）算出各個決策者對每個供應商的測評值如下：

步驟2 考慮到決策者的權重，通過加權得到每個供應商的測評結果如表4所示.

表4 測評結果、得分函數值和精確函數值Tab.4 Evaluation results，scoring function values and precise function value

步驟3 由式（5）、式（6）計算得分函數值和精確函數值如表5所示，然后根據IVITFN排序方法對供應商進行優(yōu)劣排序為A1＞A3＞A2.因此，最優(yōu)的供應商為A1.

對比分析文獻［8］，運用IVITFWAA算子和IVITFWGA算子的結果如表5所示.

表5 IVITFWAA算子和IVITFWGA算子集成結果Tab.5 Integration results of IVITFWAA operator and IVITFWGA operator

由表5知，通過IVITFWAA算子和IVITFWGA算子得到供應商的優(yōu)劣排序均為A1＞A2＞A3.最優(yōu)的供應商為A1，而A2，A3的優(yōu)劣排序與IVITFGWBM算子的不同，主要因為本文提出的IVITFGWBM算子考慮了屬性間的關聯(lián)性.

4 結束語

實際生活中的MAGDM問題，決策屬性之間往往存在不同程度上的相互關聯(lián)［17-19］.針對現(xiàn)有IVITF信息集結算子存在的不足，結合GBM算子，研究了IVITFGBM算子和IVITFGWBM算子，并研究了IVITFGBM算子的一些性質，最后將IVITFGWBM算子應用在MAGDM中.算例結果表明了該算子的有效性和正確性.與傳統(tǒng)方法對比，該方法考慮了決策屬性間的關聯(lián)性，使決策分析更接近決策問題的實際情況，決策結果更加合理，為解決MAGDM問題提供了新思路.

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（編輯：丁紅藝）

Interval-valued Intuitionistic Trapezoidal Fuzzy Geometric Bonferroni Means and Its Application

ZHOU Xiao-hui， YAOJian
（Business School，University of Shanghai for Science and Technology，Shanghai 200093，China）

For solving multiple attributes group decision-making（MAGDM）problems where attribute values are in the form of interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers and attributes are associated with each other，an approach was proposed based on interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy geometric weighted Bonferroni means（IVITFGWBM）operator.The concepts of interval-valued intuitionistic trapezoidal fuzzy numbers were introduced，and intervalvalued intuitionistic trapezoidal fuzzy geometric Bonferroni means（IVITFGBM）operator and IVITFGWBM operator were defined based on operational laws and Bonferroni means operator. Meanwhile，the related properties were analysed，then a model of multi-attribute group decision making was constructed based on IVITFGWBM operator，which was for making decisions combined with sort methods.The approach was further applied in group decision-making problems of supplier selection，and the results show that the developed approach is feasible and effective.

C 934文獻標示碼：A

1007-6735（2014）05-0461-08

10.13255／j.cnki.jusst.2014.05.010

2013-12-25

周曉輝（1987-），男，碩士研究生.研究方向：系統(tǒng)工程、模糊決策理論與應用.E-mail：zxhhappy521g＠163.com

姚 儉（1960-），男，教授.研究方向：智能控制、模糊系統(tǒng)理論、系統(tǒng)工程.E-mail：yaojian＠usst.edu.cn