王小斌，周 鵬，黃 劍

(1．數理與軟件工程學院；2．機電工程學院，蘭州交通大學，甘肅蘭州 730070)

一類單自由度碰撞振動系統的顫振分析

王小斌1，周 鵬2，黃 劍1

(1．數理與軟件工程學院；2．機電工程學院，蘭州交通大學，甘肅蘭州 730070)

研究了一類單自由度碰撞振動系統的顫振運動，運用理論推導的方法找到了其顫振完成點及顫振時間，并針對該碰撞系統中的顫振導致的碰撞問題，借助慧尾映射找到了一種有效的研究該碰撞系統中顫振現象的數值方法．利用數值仿真的方法揭示了系統中的完全顫振和不完全顫振現象．

碰撞；顫振；慧尾映射；數值仿真

碰撞問題大量地出現在生物系統和機械系統中，這些系統大多數是非光滑或分段光滑的．非光滑動力系統作為動力學的一個分支，廣泛存在于多個科學領域．早期，Steven Wayne Shaw等[1]對碰撞振子作了大量研究，他們發(fā)現這類系統中存在倍周期分岔和混沌等非線性特征，隨后許多學者將非光滑系統的研究重點由局部分析轉向全局問題，也取得了許多成果[2-6]．

碰撞系統通常存在擦邊和顫振這兩種新穎的非光滑系統的動力學特性，這使得其呈現出許多光滑系統中所沒有的復雜動力學行為．顫振作為碰撞系統的一個特殊性質，主要可以概括為完全顫振和非完全顫振．完全顫振表示在有限時間間隔內系統發(fā)生了無窮次的碰撞；不完全顫振表示在有限時間間隔內系統發(fā)生N（N為一個很大的有限數）次碰撞．本文對一類具有單側剛性約束的單自由度碰撞振動系統的碰撞過程進行了研究，利用數學理論的相關知識找到了其顫振完成點和顫振時間，并以此碰撞系統為模型（圖1），通過借助慧尾映射的概念，有效地近似了完全顫振中產生的碰撞現象，分析了其發(fā)生機理．

1 系統的力學模型及運動微分方程

具有單側剛性約束的單自由度碰撞振動系統的力學模型如圖1所示，質量為M的振子由剛度為K的線性彈簧和阻尼系數為C的線性阻尼器連接于支承，并受到簡諧激勵Psin(ΩT+τ)的水平方向的作用，當振子的位移X等于間隙B時，振子與剛性約束A發(fā)生碰撞．

設碰撞由碰撞恢復系數R確定，振幅為P，頻率為Ω，相位為τ．當X＜B時，系統自由運動微分方程如下：

當X=B時，碰撞發(fā)生，碰撞塊的速度根據碰撞法則改變，質塊的碰撞方程為：

取無量綱參數：

圖1 系統模型圖

2 碰撞運動

事實上，黏滑運動與系統的顫振有著密不可分的關系．下面來具體分析系統的碰撞運動過程．

其中Ο(1)表明了x的邊界函數．若僅僅只保留前兩項，可以發(fā)現最終的速度恰好為零，相應的發(fā)生顫振的時間也是準確的，從x1=0出發(fā)，可以發(fā)現最終的位置是關于x22階的，這一點當然是符合忽略項的．由（6）式可知，所有方程定義的函數都是封閉可解的．碰撞是首先發(fā)生在∑1-的一個點，通過給定的映射R，視碰撞速度v不依賴于x，依文獻[7]可定義第一次碰撞的位置和速度分別為：

3 數值分析

下面定義一個完全顫振子空間：

取完全顫振子空間中的初始點x0∈∑c，先經過碰撞映射R(x)到達碰撞面的某一點x01，接著自由運動到下一個碰撞點x1，如此反復碰撞，最終到達完全顫振的結束點x*，滿足條件：

固定系統參數ζ=0.1，b=0.1，ω=2.7994，r=0.8，初始條件為(0.1,-0.2,0)T，圖2（a）為系統P(∞,1)運動的相圖（符號P(m,n)表示n個周期中發(fā)生m次碰撞）．圖2（b）為系統的時間歷程圖，它給出了從完全顫振到粘滑的過程（圖中實線為x2關于t的變化曲線，虛線為x1關于t的變化曲線，m和n分別為粘滑的開始點和結束點）．圖2（c）和圖2（d）為圖2（b）的局部放大圖，它展示了完全顫振中的彗尾映射[8]S:m→n．系統的顫振完成點為x1=0.1，x2=0，時間為t=26.667，與前面的理論分析吻合，這驗證了理論推導的正確性．

圖2 系統((4)式和(5)式)的完全顫振到粘滑運動的彗尾映射

考慮系統的向量場（7），取系統參數ω=2.787，其余參數均同于上圖，令恢復系數r依次為0.800、0.801、0.802、0.803、0.803 04、0.803 1．圖3（a）–（f）為系統的時間位移圖像，展示了系統由非完全顫振到完全顫振再到非完全顫振的過程．從圖3（d）和圖3（e）可知，當恢復系數r取0.803 – 0.803 04時，系統有一個穩(wěn)定的完全顫振周期1軌道，從這兩幅圖中可以明顯看到，完全顫振包含有非零時間的黏滑運動，即s＞0．隨著恢復系數r值的增大，黏滑運動時間s將減少直到最終對于某個恢復系數值r*有s=0，此時意味著完全顫振將轉變?yōu)榉峭耆澱瘢瑀*為系統從完全顫振到不完全顫振的參數分岔點，它是以黏滑運動的突然產生和消失作為標準的．更精確地說，在r*處的軌道存在一個點，這個點是無限次碰撞的結束點，因此無黏滑運動產生．圖3中（a）、（b）、（c）、（f）的一部分軌跡描繪了這種碰撞次數有限、但值很大的特殊碰撞．

圖3r取不同值時系統((4)式和(5)式)的時間歷程圖

4 結 語

本文引入了一種新穎的數值算法來計算碰撞振動系統的完全顫振，求得了具體的顫振完成點及顫振時間，并通過計算機數值模擬，驗證了理論的正確性和可行性．本文所提出的方法適用于普通的碰撞振動系統的顫振研究，包括線性碰振系統、弱或強的非線性碰振系統．

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Chattering Analysis of a Vibrating System with Single Degree of Freedom

WANG Xiaobin1, ZHOU Peng2, HUANG Jian1
(1. School of Mathematics, Physics and Software Engineering; 2. School of Mechanic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou, China 730070)

Chattering of a kind of impact oscillator system with single degree of freedom is studied. The chattering duration and the chattering complete point have been theoretically derived. Aimed at the impact problem caused by flutter in the collision system and by using the tail mapping technique, a numerical method has been found out to effectively study the chattering phenomena. Numerical simulation has also been applied to investigate the complete and incomplete chattering behaviors.

Impact; Chatter; Tail Map; Numerical Simulation

O325

A

1674-3563(2014)02-0015-07

10.3875/j.issn.1674-3563.2014.02.003 本文的PDF文件可以從xuebao.wzu.edu.cn獲得

(編輯：王一芳)

2013-12-04

王小斌(1985- )，男，甘肅秦安人，碩士研究生，研究方向：非線性與動力系統