劉文璽，周其斗

（海軍工程大學(xué) 艦船工程系，武漢430033）

基于非線性有限元法的橡膠隔振器構(gòu)型優(yōu)化

劉文璽，周其斗

（海軍工程大學(xué) 艦船工程系，武漢430033）

設(shè)計(jì)一種用于連接兩板的橡膠隔振器。以Mooney-Rivlin模型為基礎(chǔ)，對橡膠材料進(jìn)行靜態(tài)特性的試驗(yàn)研究，得到了材料模型參數(shù)。根據(jù)實(shí)際的使用要求，設(shè)計(jì)隔振器的參數(shù)、基本尺寸，以此為基礎(chǔ)，采用優(yōu)化計(jì)算法，以隔振器的尺寸、預(yù)緊力、兩板間距、橡膠的最大應(yīng)力為變量，以隔振器剛度為目標(biāo)，同時(shí)，滿足隔振量的要求，用非線性有限元法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到滿足要求的隔振器。

構(gòu)型優(yōu)化；Mooney-Rivlin；橡膠隔振器；非線性有限元法

1 引 言

在一些海洋結(jié)構(gòu)物（如潛器等）內(nèi)部，有些聲學(xué)裝置、電聲器件被安放在甲板或平臺板上[1]，為了避免無關(guān)的外界振動(dòng)的干擾，常要采取一些隔振措施，在甲板或平臺板下面安放隔振器，隔振器的下端與基座板相連，這樣使得平板及其上面的設(shè)備整體隔振，如圖1所示；一些小型的水下結(jié)構(gòu)物，為了減弱動(dòng)力設(shè)備工作時(shí)引起的結(jié)構(gòu)振動(dòng)對其他艙室的儀器和設(shè)備的干擾，可以將動(dòng)力設(shè)備所在的一段艙室的兩端用多個(gè)隔振器與這段艙室兩端的其他結(jié)構(gòu)相連，這樣使得兩端的其他艙室得到整體的隔振效果，如圖2所示。

圖1 平板及其上面設(shè)備的整體隔振Fig.1 Vibration-isolation of the plate and machines

圖2 艙室的整體隔振Fig.2 Vibration-isolation of the cabin

工程實(shí)際中，需要滿足類似于上述隔振效果的情況還很多，為了達(dá)到上述隔振目的，設(shè)計(jì)一種用于連接兩板的隔振器，本文將其稱作板間隔振器，這種隔振器由橡膠件與金屬件組裝而成，用螺栓將隔振器與被連接板固定在一起，有如下特點(diǎn)：

（1）結(jié)構(gòu)簡單，占用的空間??；

（2）板間隔振器結(jié)構(gòu)考慮安裝拆卸的方便，橡膠彈性元件與金屬件不要粘接在一起，同時(shí)，橡膠彈性元件采用統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)以方便備件的存儲(chǔ)和更換；

（3）安裝板間隔振器時(shí)，螺栓施加預(yù)緊力的大小應(yīng)使隔振器工作時(shí)被連接板、金屬墊片與彈性元件不脫開，彈性元件之間也不發(fā)生分離；

（4）兩塊板通過板間隔振器連接在一起，一塊板的振動(dòng)經(jīng)過彈性元件的衰減傳遞到另一塊板，達(dá)到隔振的目的；

（5）一般情況下，隔振器的結(jié)構(gòu)、材料很復(fù)雜，其性能只有通過試驗(yàn)才能確定，而板間隔振器的性能可以通過數(shù)值計(jì)算的方法確定，縮短了設(shè)計(jì)周期，降低了成本。

根據(jù)板間隔振器的上述特點(diǎn)和實(shí)際的使用要求，設(shè)計(jì)隔振器。以Mooney-Rivlin模型為基礎(chǔ)，對選用的氯丁橡膠材料進(jìn)行靜態(tài)特性的試驗(yàn)研究，得到了材料模型參數(shù)。設(shè)計(jì)隔振器的參數(shù)、基本尺寸，以此為基礎(chǔ)，采用優(yōu)化計(jì)算法，以隔振器的尺寸、預(yù)緊力、兩板間距和橡膠的最大應(yīng)力為變量，以隔振器剛度為目標(biāo)，同時(shí)，滿足隔振量的要求；由于板間隔振器安裝時(shí)會(huì)產(chǎn)生較大的變形，橡膠材料是非線性的，應(yīng)按大變形計(jì)算，因此采用非線性有限元法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到滿足要求的隔振器。

2 橡膠材料的彈性常數(shù)及試驗(yàn)測定

氯丁橡膠彈性較好，因此，在橡膠隔振器設(shè)計(jì)中，優(yōu)先選擇氯丁橡膠，本文板間隔振器的設(shè)計(jì)中，采用該種橡膠。

取邵氏A硬度70的氯丁橡膠（40%的氯丁和60%的煙片膠），由國際橡膠硬度等級與楊氏彈性模量間的關(guān)系[2]，小變形時(shí)的楊氏彈性模量E≈6 MPa，泊松比ν≈0.5，基本上為體積不可壓縮。

由于板間隔振器安裝時(shí)產(chǎn)生較大的變形，應(yīng)按大變形計(jì)算。

橡膠是一種各向同性的體積近似不可壓縮超彈性材料（外力做功與變形路徑無關(guān)的彈性材料稱之為超彈性材料），超彈性材料的特征是存在一個(gè)應(yīng)變能函數(shù)W，其非線性彈性本構(gòu)模型可以用應(yīng)變能函數(shù)描述[3]，

式中：σ是Cauchy應(yīng)力張量，p是靜水壓力，I是單位矩陣，B是Cauchy-Green變形張量，其三個(gè)應(yīng)變不變量是

對于不可壓縮橡膠材料I3=1，W=W（ I1, I2）是應(yīng)變能函數(shù)，目前得到廣泛承認(rèn)并在工程中大量應(yīng)用的是Mooney-Rivlin模型，其應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式如下：

式中：C10和C01為Mooney-Rivlin系數(shù)，由材料試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合確定，與小變形下（初始狀態(tài)）的彈性常數(shù)間有如下關(guān)系：

式中：μ，K分別為剪切彈性模量和體積彈性模量，它們與楊氏彈性模量E和泊松比ν有如下關(guān)系：

由橡膠拉伸試驗(yàn)[4-6]可以得到應(yīng)力—應(yīng)變曲線，通過曲線擬合得到Mooney-Rivlin材料參數(shù)C10、C01分別為C10=0.499 7 MPa，C01=0.451 7 MPa，橡膠材料的體積彈性模量由試驗(yàn)測定是很困難的，若不知道體積模量，可假定其為 1 400 MPa，由此通過（4）式得 d=1.43×10-31/MPa。

3 板間隔振器設(shè)計(jì)計(jì)算

3.1 隔振器的參數(shù)設(shè)計(jì)

在進(jìn)行隔振器的具體設(shè)計(jì)之前，根據(jù)使用要求，設(shè)計(jì)隔振系統(tǒng)的動(dòng)剛度、靜剛度[7-8]和隔振器的基本結(jié)構(gòu)。

根據(jù)前述的板間隔振器的特點(diǎn)和使用要求，初步設(shè)計(jì)了板間隔振器的基本結(jié)構(gòu)形式，如圖3所示。

本文設(shè)計(jì)的隔振器沿豎直方向安裝，連接板2在下面，是基座板，固定在其它結(jié)構(gòu)上；連接板1在上面，板1及其上面的設(shè)備被整體隔振，只通過隔振器與連接板2相連接，且滿足下面的要求：

（1）根據(jù)安裝空間，隔振器的外徑不超過150 mm，高度不超過75 mm；

（2）隔振器的內(nèi)徑大小應(yīng)滿足在正常工作狀態(tài)下，橡膠件與螺桿不接觸；

（3）位移或力的傳遞率小于0.3；

（4）作用在上板的激振力頻率大于40 Hz，隔振系統(tǒng)的固有頻率小于激振力頻率的二分之一，即小于20 Hz；

（5）隔振器的橡膠件與金屬件均滿足強(qiáng)度要求。

圖3 板間隔振器的基本結(jié)構(gòu)形式Fig.3 Basic structure of the rubber isolator

在螺栓預(yù)緊力的作用下，隔振器產(chǎn)生預(yù)緊變形。在預(yù)緊狀態(tài)下，連接板1上受到正弦擾動(dòng)力F=F0sin（ ωt）的作用，隔振系統(tǒng)做小幅振動(dòng)，系統(tǒng)固有頻率fn（角頻率 ωn=2πfn），阻尼比 ζ，通過隔振器作用在基座板上力F′=F0′sin ω（）t，對于這一彈性安裝的隔振系統(tǒng)來說，動(dòng)力傳遞率TA表示為

由前述可知，TA＜0.3，所以由（7）式及隔振系統(tǒng)的固有頻率小于20 Hz的要求，系統(tǒng)固有頻率fn取18.6 Hz，連接板1及其上面設(shè)備總質(zhì)量M=100.4 kg，因此，整個(gè)隔振系統(tǒng)的垂向動(dòng)剛度Kd=M（ 2π fn）2=1 364.9 N/mm，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，動(dòng)剛度大約是靜剛度的1.3～1.5倍，這里，靜剛度取Ks=Kd/1.3=1 050.0 N/mm

3.2 板間隔振器結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)和剛度特性數(shù)值計(jì)算

數(shù)值計(jì)算的過程是通過優(yōu)化計(jì)算[9]確定隔振器的形狀和尺寸，使隔振系統(tǒng)的剛度等于設(shè)計(jì)值。由于板間隔振器安裝時(shí)產(chǎn)生較大的變形，橡膠材料是非線性的，應(yīng)按大變形計(jì)算，因此采用非線性有限元法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。

優(yōu)化設(shè)計(jì)按如下三步進(jìn)行：

（1）優(yōu)化計(jì)算，確定靜剛度：計(jì)算在螺栓預(yù)緊狀態(tài)下隔振系統(tǒng)的靜剛度。以橡膠件外徑Dout、內(nèi)徑Din、預(yù)緊力Fpre、橡膠件沿垂向的壓縮率ε和兩個(gè)連接板間距Ldis為變量，以隔振器靜剛度值為目標(biāo)，同時(shí)，滿足橡膠、金屬的強(qiáng)度要求，用非線性有限元法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，得到滿足要求的隔振器。在計(jì)算模型中，橡膠元件與金屬件之間通過接觸關(guān)系連接，通過接觸算法來確定它們之間的關(guān)系[10]；

（2）計(jì)算隔振系統(tǒng)垂向振動(dòng)固有頻率；

（3）計(jì)算隔振系統(tǒng)垂向動(dòng)剛度值。

一般地，動(dòng)剛度值與設(shè)計(jì)值會(huì)有差異可采取如下措施進(jìn)行修改：首先，保持動(dòng)剛度值不變，調(diào)整靜剛度值，或者動(dòng)剛度值和靜剛度值均保持不變，然后，根據(jù)差異情況，調(diào)整預(yù)緊力大小和隔振器尺寸，重復(fù)步驟（1）到（3）的計(jì)算，直至得到滿意的結(jié)果。優(yōu)化設(shè)計(jì)的過程如圖4所示。

將圖3所示的板間隔振器的基本結(jié)構(gòu)形式優(yōu)化后，得到如圖5所示的優(yōu)化結(jié)構(gòu)形式，其中（i）是隔振器數(shù)值計(jì)算的有限元模型，（ii）表示是隔振器詳細(xì)尺寸，（iii）是橡膠彈性元件。

圖4 板間隔振器優(yōu)化設(shè)計(jì)過程Fig.4 Process of the optimizing design of the tween plate isolator

圖5 板間隔振器的優(yōu)化結(jié)構(gòu)形式Fig.5 Optimizing structure of the rubber isolator

經(jīng)過上述的優(yōu)化計(jì)算可知，螺栓的預(yù)緊載荷為4 400 N，隔振器垂向預(yù)緊變形為8.8 mm，彈性元件整體的壓縮率達(dá)8.8%，在預(yù)緊狀態(tài)下，連接板1上受到垂向靜載荷是983.7 N，連接板1在整個(gè)加載歷程中的垂向位移如圖6所示，其中，預(yù)緊力加載的時(shí)間歷程是橫軸的0～1.0，垂向靜載荷加載的時(shí)間歷程是橫軸的1.0～2.0，在垂向靜載荷作用下，兩連接板之間的垂向相對位移為0.958，板間隔振器在垂向靜載荷作用時(shí)的垂向靜剛度為：Ks=983.7/0.958=1 026.8 N/mm。

圖6 連接板1在整個(gè)加載歷程中的垂向位移Fig.6 Vertical displacement of the upper plate during loading

隔振器固有頻率的設(shè)計(jì)值是18.6 Hz，計(jì)算隔振器在預(yù)緊狀態(tài)下的固有頻率，得到隔振器的垂向振動(dòng)一階固有頻率是17.8 Hz，振型圖如圖7所示。

圖7 隔振器垂向振動(dòng)一階振型圖Fig.7 First-order natural frequency vibration model of isolator in vertical direction

圖8 板間隔振器在預(yù)緊力、垂向靜載荷作用下的變形圖Fig.8 Deformation of the isolator under the action of preload and vertical static load

圖9 板間隔振器在預(yù)緊力、垂向靜載荷作用下的VON MISES應(yīng)力云圖Fig.9 Von Mises stress fringe of the isolator under the action of preload and vertical static load

圖10 板間隔振器在預(yù)緊力、垂向靜載荷作用下橡膠件的Von Mises應(yīng)力云圖Fig.10 Von Mises stress fringe of the rubber under the action of preload and vertical static load

由動(dòng)剛度 ，而Kd=M（ 2π fn）2，而fn=17.8 Hz，因此隔振系統(tǒng)動(dòng)剛度Kd=M（ 2π fn）2=1 250.0 N/mm，與設(shè)計(jì)值相差不大。

圖11 板間隔振器在預(yù)緊力、垂向靜載荷作用下橡膠件與金屬件的接觸狀態(tài)Fig.11 Touching state between rubber and metal component under the action of preload and vertical static load

板間隔振器在4 400 N的預(yù)緊力和983.7 N垂向靜載荷作用下的變形如圖8所示。Von Mises應(yīng)力云圖如圖9所示，鋼的最大Von Mises應(yīng)力為112.0 MPa，橡膠的應(yīng)力遠(yuǎn)小于鋼的應(yīng)力，橡膠的Von Mises應(yīng)力云圖如圖10所示，最大應(yīng)力為2.89 MPa，出現(xiàn)在接觸的角點(diǎn)處。鋼材的屈服極限是590 MPa，氯丁橡膠的屈服極限是15～20 MPa，因此計(jì)算結(jié)果滿足強(qiáng)度要求。

板間隔振器在預(yù)緊力、垂向靜載荷作用下橡膠件與金屬件的接觸狀態(tài)如圖11所示，其中高亮顯示的區(qū)域表示接觸，可以看出，橡膠件與墊片、鋼板一直處于接觸狀態(tài)，且基本上沒有滑移，與螺栓不接觸，最大間隙距離為2.0 mm。

4 結(jié) 論

（1）從計(jì)算結(jié)果可以看出，本文設(shè)計(jì)的板間連接隔振器滿足設(shè)計(jì)的要求，能夠正常工作，隔振器工作時(shí)被連接板、金屬墊片與彈性元件不脫開，彈性元件之間也不發(fā)生分離。

（2）對于橡膠金屬隔振器，用文中所提出的基于非線性有限元法的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，可以實(shí)現(xiàn)通過數(shù)值計(jì)算的方式進(jìn)行設(shè)計(jì)，縮短了設(shè)計(jì)的周期，提高了效率。

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Study on configuration optimization of rubber isolator by nonlinear FEM

LIU Wen-xi,ZHOU Qi-dou

(Dept.of Naval Achitecture Engineering,Naval University of Engineering,Wuhan 430033,China)

The Configuration Optimization of tween plate isolator is studied.In order to obtain the model’s parameters,the static characteristics of the rubber are studied experimetally on the basis of the Mooney-Rivlin model.For meeting the requirement of engineering practice,the basic parameters and the basic dimensions are designed,and then an optimization algorithm is adopted for detailing the rubber isolator,in which the dimensions of the isolator,the preload,the distance between the two plates and the maximum stress are considered as the design variables,and the stiffness is considered as the objective function.In the condition of satisfying the vibration-isolation effect,the numerical calculation is made by the nonlinear finite element method(FEM),and the rubber isolator is designed successfully.

configuration optimization;Mooney-Rivlin;rubber isolator;nonlinear FEM

TB535+.1

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2014.04.011

1007-7294（2014）04-0434-07

2013-06-01

*****演示驗(yàn)證項(xiàng)目（*2011001/101）

劉文璽（1977-），男，博士后，E-mail:wxliu777@yahoo.com.cn；

周其斗（1962-），男，海軍工程大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師。