陳雯

摘 要：對于凸的非齊次單個守恒律 其中初始條件u0（x）在有界區(qū)域的左邊取常數(shù)u_，右邊取常數(shù)u+，。u_?u+我們將證明初值問題的解會在有限時間內(nèi)形成單個激波。證明過程涉及到與具有分片常數(shù)初值的解進行比較，同時單個激波的出現(xiàn)會受到稀疏波的影響。

關(guān)鍵詞：守恒律；廣義特征線；激波

1 引言

對于齊次的單個守恒律

其中流函數(shù) 是光滑凸的：f'?0。對于L∞初值u0（x），當x?x_時，u0（x）取常數(shù)u_；當x?x+時，u0（x）取常數(shù)u+，其中u_?u+，x_?x+。對此，我們已經(jīng)知道，弱解在有限時間內(nèi)收斂到連接到的單個激波而組成的分片常數(shù)解。

本篇論文的目的是證明非齊次單個守恒律特殊模型

也有一個相似的結(jié)果。證明將涉及到廣義特征線的應(yīng)用。

2 預(yù)備知識

我們先考慮一般的平衡律

并作出這樣的假設(shè)：源項g是一個正的且為嚴格增的C1函數(shù)；流項f是一個增的且為嚴格凸的C2函數(shù)。

為了方便以后的求解，我們引入一些正函數(shù)：

則F，H是嚴格增函數(shù)。這樣，F(xiàn)的反函數(shù)也是一個嚴格增的 C1函數(shù)，記其為G，則有

下面我們介紹守恒律方程（2.1）（2.2）廣義特征線的一些基本概念和性質(zhì)。

定義2.1 定義在區(qū)間[a，b]上的一條Lipschitz曲線稱為問題（2.1）（2.2）的特征線，如果對幾乎所有的t∈[a，b]，在分布意義下滿足方程

這里是根據(jù)Fillippov在分布意義下提出的一種定義，即滿足

對任意的 ，至少存在一條定義在最大存在區(qū)間 （其中 ）上的后向廣義特征線 ，使得 在（x，t）平面上所有從點 出發(fā)的無數(shù)條后向廣義特征線都限制在最小和最大后向廣義特征線所張成的一個錐形區(qū)域之中，如圖2.1所示：

記最小和最大特征線分別為 和 。

定理2.2 設(shè) 是（2.1）的真正特征線，則存在一個函數(shù) 使得函數(shù)對 滿足

并且對幾乎所有的t∈（a，b），

證明：可直接由定理2.2中的式（2.8）得出。

問題（2.1）（2.2）存在唯一的從任意一點 中出發(fā)的前向特征線 。此外，如果 ，則對任意 。并且

這就是說若原方程的解在前向特征線的某點 形成間斷，則前向特征線沿激波線傳播且稱 是激波的生成點，而經(jīng)過點 的后向特征線是真正特征線。

引入這些之后，我們設(shè)u是問題（2.1）（2.2）的一個可容許解，固定上半平面中一點（x，t），設(shè)ξ是從（x，t）出發(fā)的最大或最小后向特征線 。利用函數(shù)F，G，H的性質(zhì)對（2.1）積分，可得

3 主要結(jié)果

考慮以下初值問題

其中 都是常數(shù)。我們將會證明初值問題（3.1）（3.2）的解會在有限時間內(nèi)產(chǎn)生單個激波。為了得出這一結(jié)果，我們將解u（x，t）與具有特殊初值問題的解 進行比較，其中特殊初值問題的初始條件是

這里um，uM，xc待定，滿足

它們之后將由u0來確定。很顯然激波S_，S+分別從點（x_，0），（x+，0）發(fā)出，（xc，0）產(chǎn)生中心稀疏波。則我們得到如下結(jié)果。

定理3.1 滿足 的初值問題（3.1）（3.3）的解在有限時間內(nèi)產(chǎn)生激波。

證明：對于任意的y_?x_和y+?x+，從點（y_，0），（y+，0）分別作最小特征線y_（t）和最大特征線y+（t）。由（2.15）知，特征線的表達式為

由（2.13）可知

將（3.5）（3.6）相減，我們得到一個關(guān)于 的單個方程

于是

對（3.8）式求導，利用中值定理得

其中 介于v（t），w（t）之間，由（2.13）

另一方面，v（t），w（t）滿足

解常微分方程（3.12）（3.13）得，

故

其中C是某一正常數(shù)。因此，由（3.9）（3.15）不難得出，一定存在一點 ，使得 。換言之，曲線 在有限時間內(nèi)會相交。

然而，兩激波S_和S+相撞之前可能會與從xc出發(fā)的中心稀疏波相交。所以，為了完成證明，必須考察激波 在中心稀疏波S_，S+的作用下是加速還是減速的。

令 是常微分方程

的解，其中初值分別為 ，于是解得

對于從 出發(fā)的激波S_，未遇上稀疏波時，速度是

當S_遇上稀疏波作用后，速度變?yōu)?/p>

其中 同樣可由（3.17）得到，即

由函數(shù)F，G的性質(zhì)知， ，則S_加速。同理，S+減速。故S_，S+在有限時間內(nèi)一定會相撞產(chǎn)生單個激波。

我們令產(chǎn)生的單個激波為 ，記x*=η（t*）。顯然

回到問題（3.1）（3.2），我們將其解u（x，t）與具有特殊初值問題（3.1）（3.3）的解 作比較。首先，我們給出一個關(guān)于u（x，t）和 性質(zhì)的重要引理。

引理3.2 若um，uM滿足

且

則有

證明：根據(jù)式（3.23）中xc的選取，我們得到

于是，當t=0時，式（3.25）自然成立。同時，式（3.24）顯然成立。

選取足夠大的常數(shù)M，使得在區(qū)域（-∞，M]）×[0，t]上， ；在區(qū)域 上， 。分別在不同的初值條件（3.2）和（3.3）下，將（3.1）在矩形區(qū)域 上積分，利用Green公式我們得到

將上面兩式相減，得

令

顯然P（0）=0。利用（3.1），對上式微分得

這意味著P（t）=0，即（3.25）成立。

引理3.3：對于任意一點 ，我們有

證明：為了方便起見，我們記引理3.3中的（x，t）為 ，令 是滿足下面常微分方程初值問題

的一條曲線.記 .設(shè)函數(shù)

直接計算得

于是，由f的嚴格凸性知， .由引理4.1.1知 ，所以 .特別地，

設(shè)（x*，t*）如（3.21）中所定義。下面我們可以證明本文的主要定理。

定理3.4：在條件（3.22）和（3.23）下，初值問題（3.1）（3.2）的解在有限時間內(nèi)產(chǎn)生單個激波。記激波相撞時間為t*，激波為 。則有

證明：對于任意一點 ，我們作（3.1）（3.3）的后向特征線，記為 ，且交x軸于點 。同樣，我們也可作一條（3.1）（3.2）的后向特征線，記為x（t），交x軸于點（y，0）。顯然 。接下來我們將證明 。為了得到這一結(jié)果，我們只需證明 的情形。將方程

在以頂點為 的“曲邊”三角形區(qū)域（記為Ω）上積分，利用Green公式，得到

化簡得

由引理3.2可知，等式左端第一項非正。由f的嚴格凸性可知，等式左邊第二、三項均嚴格負。然而，注意到 ，故從引理3.3可知，

這意味著 的情形不成立，則 。另一方面。運用同樣的推理過程，對于任一點 ，則我們可以證明 。于是 就是的激波。

[參考文獻]

[1]C.M.Dafermos.Generalized characteristics and the structure of solutions of hyperbolicconservation laws.Indiana Univ.Math.J，1977，26：1097-1119.

[2]Michae Shearer and C.M.Dafermos，F(xiàn)inite time emergence of a shock wave for scalar conservation laws.Journal of hyperbolic differential equations，2010，Vol.7，No.1：107-116.

[3]O.Oleinik.Discontinuous solutions of nonlinear differential equations，Usp.Mat.Nauk.，1957，12：3-73.

[4]O.Oleinik.Uniqueness and stability of the generalized solution of the Cauchy problem forquasilinear equation.AMS Translation Ser.2，1964，33：285-290.

[5]R.Courant and K.O.Friedrichs，Supersonic Flow and Shock Waves.New York，1948.