杜宵豐 吝孟蔚 黃 迪

八年級學(xué)生數(shù)學(xué)能力測評及教學(xué)建議
——基于八萬名學(xué)生幾何典型錯例分析

杜宵豐 吝孟蔚 黃 迪

錯例是一種重要的教育資源。分析學(xué)生在幾何題目中的錯誤作答，這有利于教師了解學(xué)生對幾何知識的掌握程度及其數(shù)學(xué)思維過程，從而做到有效教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文基于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，對來自三個省市的83792名學(xué)生進(jìn)行測試，將經(jīng)典的幾何錯例作為分析樣本，揭示出學(xué)生錯誤背后突顯出的數(shù)學(xué)能力問題，并為加強數(shù)學(xué)教學(xué)提出相應(yīng)的改進(jìn)建議。

數(shù)學(xué)；幾何；錯例；能力問題；教學(xué)啟示

幾何是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容之一?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《標(biāo)準(zhǔn)》）強調(diào)要注重發(fā)展學(xué)生的空間觀念和幾何直觀，要求學(xué)生能根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，并能利用圖形描述和分析問題。在北京師范大學(xué)“區(qū)域質(zhì)量健康體檢”項目中，通過對三個地區(qū)的83792名學(xué)生進(jìn)行測試，研究者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在幾何解題中存在很多問題，如思維混亂、審題思維不縝密、忽視隱含條件、幾何概念掌握不到位等。教師應(yīng)該充分認(rèn)識中學(xué)生數(shù)學(xué)能力中存在的問題，從而采取適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略，幫助學(xué)生做出必要的改進(jìn)。

一、問題的提出

分析學(xué)生在數(shù)學(xué)題目中的錯誤答案，能夠幫助教師更好地了解學(xué)生對幾何知識的掌握程度和數(shù)學(xué)思維過程，從而促進(jìn)教學(xué)。本文基于《標(biāo)準(zhǔn)》對三個地區(qū)的83792名學(xué)生進(jìn)行測試，詳細(xì)解析了幾何錯例，試圖揭示學(xué)生錯誤背后突顯出的數(shù)學(xué)能力問題，并提出相應(yīng)的教學(xué)建議。

二、測試內(nèi)容框架

本測試按照《標(biāo)準(zhǔn)》將考查內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率三個維度。由于實施測評的三個地區(qū)所用教材版本不同，因此，在選擇考查內(nèi)容時，課題組綜合了三個地區(qū)的相同知識點。三套試卷中共有15道圖形與幾何的題目，所考知識點依據(jù)表1。

表1 圖形與幾何測試框架表

三、測試能力框架

本評價項目基于《標(biāo)準(zhǔn)》，結(jié)合我國數(shù)學(xué)教育實際情況將能力框架劃分為“了解、理解、掌握、運用”四個層次。具體描述見表2。

表2 能力類別的指標(biāo)及具體描述

四、測試題目類型

初中數(shù)學(xué)素養(yǎng)測評項目主要采用紙筆測試，力圖對學(xué)生數(shù)學(xué)知識技能、思想方法以及數(shù)學(xué)能力的發(fā)展?fàn)顩r做較為全面的評價。試題結(jié)構(gòu)包括選擇題、填空題和解答題，其分?jǐn)?shù)比例為2:1:2。不同的內(nèi)容類別中，數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率所占比例約為5:3.5:1.5。試題中考查了解、理解、掌握、運用的題目比例約為2:3:3:2。測試題目難度在75%左右，難度水平1、水平2、水平3、水平4的題目比例3:5:2:0.5。試題既能照顧到知識覆蓋各層面的學(xué)生情況，又能充分地通過各種題型功能反映學(xué)生的認(rèn)知水平、解題能力以及數(shù)學(xué)語言的正確靈活運用，同時也體現(xiàn)出學(xué)生在求解過程中的觀察、猜想、驗證、推理等數(shù)學(xué)活動。

測評選取的幾何題目分別從4個能力層次出發(fā)，考查學(xué)生幾何知識的掌握情況。調(diào)查顯示，學(xué)生的錯誤作答很有特點，能較好地反映出他們在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中存在的一些問題。

五、幾何錯例分析中突顯出中學(xué)生的數(shù)學(xué)能力問題

1.幾何審題思維不縝密

審題是做對題目的開端，它需要一定的數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，更需要有良好的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識為保證。著名數(shù)學(xué)家波利亞說：“最糟糕的情況是學(xué)生沒有弄清問題就進(jìn)行演算和作圖?！币虼?，審題思維是否縝密，直接影響到學(xué)生思考問題的條理性、深刻性以及問題解決的能力。初中生正處于具體形象思維向抽象形象思維轉(zhuǎn)變的過渡階段，由于所學(xué)知識不系統(tǒng)、不全面，他們很容易在審題過程中因思維不周密而出現(xiàn)解題錯誤，也容易導(dǎo)致思維的片面性。下文以測試B卷第17題為例，展示了學(xué)生思維不縝密的表現(xiàn)。

如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，若重疊部分構(gòu)成菱形，則重疊部分周長的最小值是____________．

本題是一道體現(xiàn)圖形轉(zhuǎn)換思想的題目，能力層次為理解，綜合考查了學(xué)生對菱形和正方形的區(qū)分與聯(lián)系。

經(jīng)過訪談?wù){(diào)查筆者了解到，回答錯誤的學(xué)生主要是將問題中求解重疊部分周長的最小值看作是求解重疊部分面積的最小值。該部分學(xué)生對于菱形和正方形的掌握比較到位，解題思路也比較清晰，但由于審題不清，不能分辨信息的有效性，從而得出錯誤答案。由此可見，提高學(xué)生的解題、審題、分析能力尤為重要。

2.幾何概念掌握不到位

數(shù)學(xué)概念是人類對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡明、概括的反映。概念是數(shù)學(xué)知識體系的基本單位?！稑?biāo)準(zhǔn)》明確指出：“有意識利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實世界中的問題?！?/p>

當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)存在著把概念與性質(zhì)、公式、定理和生活實際割裂開來，甚至對立起來的問題。一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師認(rèn)為講清概念就是讓學(xué)生熟記定義，忽視了學(xué)生對概念內(nèi)涵和外延的理解。重解題、輕概念的教學(xué)現(xiàn)象一定程度上仍然在延續(xù)，這也是學(xué)生對數(shù)學(xué)概念掌握不到位、概念應(yīng)用意識差的主要原因。在解題中，概念掌握不到位就會導(dǎo)致錯誤不斷，如測試B卷第20題。

一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形.如圖，第一個四邊形為面積是1的箏形．依次連接該箏形各邊中點得到第2個四邊形，然后再依次連接這個四邊形各邊中點得到第3個四邊形.按照此方法繼續(xù)下去，請回答下列各題：

（1）第2個四邊形是什么圖形？面積是多少？

（2）第3個四邊形是什么圖形？面積是多少？

（3）第10個、第11個四邊形是什么圖形？面積是多少？

該題給出了新的四邊形的定義“一條對角線垂直平分另一條對角線的四邊形是箏形”，再要求學(xué)生進(jìn)行圖形規(guī)律的討論，能力層次是運用。在分析學(xué)生的作答情況時筆者發(fā)現(xiàn)，學(xué)生錯答的原因主要表現(xiàn)為幾何概念不明確、幾何思維缺乏邏輯性等方面。筆者對學(xué)生作答情況進(jìn)行了編碼、統(tǒng)計，約68.1%的學(xué)生在第（1）（2）問作答中完全正確，而在錯誤作答中，約15.5%的學(xué)生僅能正確判斷圖形，約3.9%的學(xué)生只能正確求出面積。第（3）問完全回答正確的學(xué)生比率為38.8%。

該題以學(xué)生不熟悉的箏形為背景，借助中位線，又涉及到矩形、菱形的判定，對概念及性質(zhì)理解掌握不到位的學(xué)生就容易出現(xiàn)錯誤判斷。由題目中的條件學(xué)生僅能推得第2個四邊形對邊平行且相等、鄰邊垂直的結(jié)論，因此，部分學(xué)生則判斷圖形為正方形。出現(xiàn)這種結(jié)論的原因在于：一是學(xué)生混淆了正方形與矩形的概念，二是學(xué)生對箏形的概念進(jìn)行了擴充，有意或無意地添加了“箏形兩條對角線相等”的條件。

對于特殊四邊形如平行四邊形、矩形、菱形、正方形，學(xué)生雖在生活中有所接觸，但轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言后他們經(jīng)常會混淆部分特殊四邊形的概念。在對圖形進(jìn)行加工后，學(xué)生如果思考不充分則很容易主觀地增添或忽視某些條件和性質(zhì)。

3．幾何思維缺乏邏輯性

邏輯思維是運用概念、判斷、推理等思維形式所進(jìn)行的思考活動，是一種有條件、有步驟、有根據(jù)、漸進(jìn)式的抽象思考方式。它是重要的數(shù)學(xué)能力之一，數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)中就十分強調(diào)培養(yǎng)學(xué)生思維的邏輯性。

幾何解題中，學(xué)生如果缺乏邏輯思維能力，就無法識別出題目所考查的知識點，也容易思維混亂，對題目結(jié)論進(jìn)行主觀臆斷。此外，思維邏輯性的缺失也會使學(xué)生無法充分結(jié)合圖形，挖掘題目中的隱含信息，從而造成學(xué)生思考不深入、不全面以及淺嘗輒止的后果，如測試B卷第20題。

在分析中筆者發(fā)現(xiàn)，該部分學(xué)生將第2個四邊形判斷為平行四邊形，他們僅利用了中位線的性質(zhì)，未運用題目中所給箏形的概念得出進(jìn)一步的結(jié)論，說明思維邏輯性的欠缺導(dǎo)致了學(xué)生在解題過程中的思考不夠深入。然而，該部分學(xué)生在第（2）問中的解答卻是正確的，其將平行四邊形四邊中點連線形成的四邊形判斷為菱形，顯然，這些學(xué)生的推斷是不合理的。在學(xué)生訪談中筆者也發(fā)現(xiàn)，有些學(xué)生僅憑直觀的圖形呈現(xiàn)（題目中的圖形更像是菱形），繼而判斷其他圖形也是菱形，由此可見，他們在得出正確答案的過程中存在主觀臆斷、思維不嚴(yán)密的問題。

第20題前兩問要求學(xué)生求解出圖形面積，第3問得根據(jù)對前兩問的求解總結(jié)歸納出規(guī)律，以避免繁復(fù)的計算。探索規(guī)律的題目需要有假設(shè)猜想，但學(xué)生首先需要理解其中蘊含的變化趨勢，在這類題目中，學(xué)生往往容易忽視對題目的分析。教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生重點分析題目中的已知信息，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行合理構(gòu)思和猜想。從上述錯例來看，學(xué)生對復(fù)雜圖形中的中點四邊形計算尚未達(dá)到靈活運用的水平。在教學(xué)中，教師可以利用剪拼、方格紙或軟件引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)任意四邊形與其中點四邊形面積之間的關(guān)系，讓學(xué)生對該問題有較為直觀的認(rèn)識，然后再從數(shù)學(xué)上作出分析。對于學(xué)有余力的學(xué)生，教師還可以將此類問題一般化，考察第n個圖形的情況。

4．空間觀念不強

《標(biāo)準(zhǔn)》中強調(diào)的空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系；描述圖形的運動和變化；依據(jù)語言的描述畫出圖形等。空間觀念對初中數(shù)學(xué)，特別是初中幾何的學(xué)習(xí)起著至關(guān)重要的作用。

許多初中學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何時表示感到困難，無法在頭腦中想象出物體的形狀，缺乏空間表象能力，空間組合復(fù)雜時不能順利建立映像。而導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因除了幾何課程自身的特點，日常教學(xué)中對學(xué)生空間想象力訓(xùn)練的不足也是主要原因。空間觀念不強嚴(yán)重影響了學(xué)生分析問題、解決問題的能力。下文以測試B卷第5題為例進(jìn)行分析。

如圖，在一張三角形紙片ABC中，∠C=90°，∠B=45°，D、E分別是AC、AB的中點，現(xiàn)把紙片沿DE剪開．那么能拼成幾種不同形狀的四邊形？（）

A.1 B.2 C.3 D.4

本題的能力層次為了解，主要考查各類四邊形的概念。學(xué)生需根據(jù)題目中的條件，進(jìn)行合理拼接。正確拼法如下所示。

由分析可知，學(xué)生在三角形中位線和各類四邊形知識的掌握上不夠熟練，在平時的學(xué)習(xí)中較少使用“拼接”這樣的分析思路，因此，學(xué)生難以在具體題目中靈活地運用，從而遺漏一些重要的隱含信息。選擇A選項的學(xué)生主要集中在拼法（2），說明學(xué)生僅達(dá)到對圖形“補”的程度，而“拼”的意識還比較薄弱。選擇B選項的學(xué)生之所以拼出了兩種圖形，是因為這一部分學(xué)生通過條件“D、E分別是AC、AB的中點”，拼出（2）和（3）；另一部分學(xué)生能拼出（1）和（2），原因是（1）和（2）是對稱圖形，比較直觀；還有少部分學(xué)生拼出（1）和（3）。上述學(xué)生無法找全3個圖形的原因在于，學(xué)生在解題時無法在頭腦中形成清晰的幾何圖形，只是利用題目中的已知條件進(jìn)行簡單的拼接，空間觀念較差。也有一部分學(xué)生拼出了4種或多于4種的情況，這是因為該部分學(xué)生忽略了題目中拼出四邊形的限定條件。還有些學(xué)生做題取巧，認(rèn)為正確答案往往是最多的一項，他們在答題中出現(xiàn)了態(tài)度不認(rèn)真的情況，雖然對知識脈絡(luò)比較清晰，能較好地運用知識來進(jìn)行推理，但在解題過程中，卻忽略了題目中的限定條件。

5．幾何過程性探究能力不足

《標(biāo)準(zhǔn)》明確規(guī)定了以“經(jīng)歷”、“體驗”、“探索”為標(biāo)志的過程性目標(biāo)，希望學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何課程時“經(jīng)歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過程”。不難看出，新標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生對幾何有一定的過程性探究能力。

在目前的數(shù)學(xué)教學(xué)中，一部分教師不太重視學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，認(rèn)為學(xué)生掌握了知識點就達(dá)到了教學(xué)的目的，忽略了讓學(xué)生體驗和探究知識的過程，忽視了學(xué)生之間的交流與合作，從而導(dǎo)致學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識局限于表象，最終在解題過程中，他們只會機械地生搬硬套，無法靈活運用所學(xué)知識解決問題。詳見B卷第11題。

在Rt△ABC中，∠ABC=90°，分別以三條邊為斜邊做三個等腰直角三角形，若三個等腰直角三角形的直角邊分別記為a，b，c，則a，b，c的關(guān)系是（ ）．

A.a+b＜c B.a2+b2＞c2

C.a+b=c D.a2+b2=c2

本題的能力層次為掌握，主要考查學(xué)生對勾股定理的進(jìn)一步應(yīng)用。學(xué)生普遍熟知勾股定理的內(nèi)容，并能利用它解決直角三角形的計算問題，但本題的情境相對復(fù)雜，在直角三角形ABC外部又有新的圖形，這三個新的圖形實為相似圖形。在這樣的背景下，學(xué)生需要將新圖形的邊長與三角形ABC的邊長建立起聯(lián)系，以便利用三角形ABC三邊關(guān)系表示新圖形的邊長關(guān)系。19.3%的學(xué)生選擇了B項，訪談?wù){(diào)查顯示，該類學(xué)生主要是從視覺上判斷a+b＞c，因而得出a2+ b2＞c2的結(jié)論，說明學(xué)生對勾股定理的認(rèn)識只限于結(jié)論，忽視了過程性的探究。

六、教學(xué)建議

1．重視學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)

我們應(yīng)該從關(guān)注學(xué)生的主體性著手，重視學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗的積累，基于“動態(tài)數(shù)學(xué)觀”，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷探究物體與圖形的形狀、大小、位置關(guān)系和變換的過程，培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和邏輯思維能力從而促進(jìn)知識的動態(tài)生成，并挖掘?qū)W生數(shù)學(xué)思維的深度。學(xué)生只有具備敏銳的數(shù)學(xué)眼光，才能識別出題目中的有效信息，與此同時，細(xì)致耐心的作題態(tài)度也是不能或缺的。學(xué)生在平時的學(xué)習(xí)中要有意識地注重細(xì)節(jié)，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣。此外，教師應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生有理有據(jù)地思考，而非對題目進(jìn)行主觀臆造，幫助學(xué)生認(rèn)識到數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。

在解題時，數(shù)學(xué)教師要積極地引導(dǎo)學(xué)生做到不漏字、不添字，及時抓住題目中的關(guān)鍵字、詞，仔細(xì)認(rèn)真推敲，準(zhǔn)確理解題意。在此基礎(chǔ)上，教師要注重知識的系統(tǒng)性和全面性，培養(yǎng)學(xué)生形成系統(tǒng)的知識體系，同時有針對性地訓(xùn)練學(xué)生的審題能力，提高學(xué)生分析問題的能力，并有意識地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方法，幫助他們掌握必要的基礎(chǔ)知識與基本技能，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望與信心，從而養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

2．加強幾何概念、公式、定理的聯(lián)系和應(yīng)用的教學(xué)

概念是數(shù)學(xué)知識體系的基本單位，從錯例分析中，我們可以看出學(xué)生在學(xué)習(xí)知識時，對相似的概念和性質(zhì)容易混淆。對幾何概念、公式和定理掌握得不到位是影響學(xué)生解題的癥結(jié)所在。

由此可見，數(shù)學(xué)教師要注重概念的教學(xué)，給學(xué)生打下一個扎實的基礎(chǔ)，并在日常教學(xué)中對各個概念、公式和定理進(jìn)行串聯(lián)、總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生與其他知識發(fā)生多向聯(lián)系，幫助他們理清相關(guān)知識之間的區(qū)別與聯(lián)系，從而做到對定理、公式的透徹理解和靈活運用。比如，在學(xué)習(xí)中位線時，教師可以通過幾何畫板或具體實物模型，以形象直觀的方式演示中位線的形成過程，讓學(xué)生對中位線的本質(zhì)屬性有更深刻的理解。此外，我們還可以通過創(chuàng)設(shè)包含著能緊扣教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)信息，并承載相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、公式、定理或思想方法的有效情境，激勵和啟發(fā)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題、提出問題進(jìn)而探究問題、解決問題，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考能力和創(chuàng)新能力的不斷發(fā)展。

3．加強初中幾何的過程性教學(xué)

傳統(tǒng)結(jié)果取向的評價觀念容易導(dǎo)致數(shù)學(xué)教學(xué)中存在重結(jié)果、輕過程的現(xiàn)象，伴隨而來的教學(xué)結(jié)果是，學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認(rèn)識局限于表象，難以變通、難于轉(zhuǎn)化。幾何教學(xué)的重心不在于公式的幾何證明，也不在于公式的識記，而是重在過程。教師應(yīng)該指導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對幾何問題探索的全過程，讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動的過程中理解與提出問題，尋求解決問題的思路，發(fā)現(xiàn)對象的特征及其與相關(guān)對象的區(qū)別和聯(lián)系。結(jié)合具體的幾何內(nèi)容，數(shù)學(xué)教師可以采用“問題情境—建立模型—解釋、應(yīng)用與拓展”的模式展開教學(xué)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的形成與應(yīng)用的過程，在此過程中，學(xué)生收獲最多的并非是對幾何知識的認(rèn)識，而是問題探究過程中感悟的數(shù)學(xué)思想和方法。

運用所學(xué)知識去解決問題是學(xué)生必須掌握的技能之一，但知識與解題脫節(jié)的現(xiàn)象屢屢出現(xiàn)，那么，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)知識、習(xí)題以及實際問題之間的聯(lián)系，從而運用所學(xué)知識解決數(shù)學(xué)問題。比如，在課堂上，教師應(yīng)與學(xué)生積極交流題目中的信息，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)隱含條件、判斷考查知識點的能力。數(shù)學(xué)教學(xué)還應(yīng)該為學(xué)生補充許多模型，讓學(xué)生在多個圖形中探尋問題的解題規(guī)律。在問題解決的過程性教學(xué)中，學(xué)生首先要具備的就是閱讀能力和觀察能力。其中，閱讀能力體現(xiàn)在對題意的理解上，觀察能力體現(xiàn)在對圖形特征的把握上。雖然我們希望學(xué)生具備幾何問題代數(shù)化的意識，但首要的是建立幾何直觀并分析幾何關(guān)系本質(zhì)，這是能夠幫助學(xué)生進(jìn)行下一步的猜想或推導(dǎo)的。

責(zé)任編輯/雷 熙

G40-058.1

A

1674-1536（2014）12-0035-05

本文是北京師范大學(xué)教育質(zhì)量監(jiān)測協(xié)同創(chuàng)新中心“區(qū)域質(zhì)量健康體檢項目”的子項目“中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量診斷與反饋”（項目編號：105006）的研究成果。

杜宵豐/北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院碩士生，研究方向為數(shù)學(xué)教育。（北京 100875）

吝孟蔚/北京師范大學(xué)教育學(xué)部碩士生，研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。

黃 迪/北京師范大學(xué)教育學(xué)部碩士生，研究方向為數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論。