許 然，李亞超，邢孟道

（西安電子科技大學(xué) 雷 達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西 安 710071）

合成孔徑雷達(dá)（Synthetic Aperture Radar，SAR）通過(guò)發(fā)射寬帶脈沖信號(hào)并進(jìn)行方位相干積累，實(shí)現(xiàn)二維（距離向和方位向）高分辨成像，在地表測(cè)繪和目標(biāo)識(shí)別等領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用.為了使SAR圖像包含豐富的特征信息和保證目標(biāo)的檢測(cè)識(shí)別概率，最直接的途徑就是提高成像分辨率.近年來(lái)寬帶射頻半導(dǎo)體技術(shù)的發(fā)展使得SAR能夠取得亞米級(jí)，甚至厘米級(jí)的距離分辨率.而與此同時(shí)，為了在方位向獲得與距離向同等級(jí)別的分辨能力，則需要比常規(guī)SAR更寬角度的方位積累，即進(jìn)行大轉(zhuǎn)角SAR成像（Wide Angle SAR，WASAR）[1].

在進(jìn)行大轉(zhuǎn)角SAR成像的情況下，成像處理將變得困難.首先，回波數(shù)據(jù)的二維頻域支撐區(qū)將是占據(jù)很大角度范圍的同心圓環(huán)扇形區(qū)域，而不再用矩形網(wǎng)格近似；其次，大的相干積累角度意味著散射點(diǎn)在距離向和方位向的徙動(dòng)現(xiàn)象嚴(yán)重，需要加以補(bǔ)償；此外，由于積累角度很大，必須考慮目標(biāo)的各向散射異性，即各個(gè)散射點(diǎn)的回波能量分布在長(zhǎng)方位孔徑上，但并不一致.這些問(wèn)題使得常規(guī)小轉(zhuǎn)角下的理想假設(shè)不再成立，因此不能直接使用如極坐標(biāo)格式算法（PFA）等基于傅里葉變換的成像算法.針對(duì)大轉(zhuǎn)角SAR成像問(wèn)題，常用方法是將整個(gè)成像間隔分為若干個(gè)有重疊區(qū)段的子孔徑進(jìn)行處理，這樣每塊子數(shù)據(jù)便滿足小轉(zhuǎn)角的近似假設(shè).文獻(xiàn)[2]認(rèn)為子塊數(shù)據(jù)滿足線性等均勻采樣條件，散射點(diǎn)未發(fā)生走動(dòng)，可直接利用快速傅氏變換算法（FFT）進(jìn)行成像，然后再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)融合獲得大轉(zhuǎn)角綜合圖像，但在高分辨率大目標(biāo)情況下，不徙動(dòng)條件難以滿足；文獻(xiàn)[1，3]用逆問(wèn)題對(duì)成像處理進(jìn)行描述，構(gòu)建帶有正則化稀疏約束的最優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)每塊子孔徑數(shù)據(jù)分別迭代求解成像再取最大值融合，能夠一定程度地增強(qiáng)二維分辨能力.但該方法會(huì)產(chǎn)生虛假點(diǎn)，需要構(gòu)建復(fù)雜的成像投影算子，并且對(duì)計(jì)算機(jī)存儲(chǔ)和計(jì)算性能要求很高；文獻(xiàn)[4]針對(duì)WASAR中二維信號(hào)缺失的問(wèn)題，提出了一種自適應(yīng)幅相估計(jì)的方法實(shí)現(xiàn)超分辨成像，但其譜估計(jì)的精度在很大程度上依賴于較高的信噪比.

非負(fù)矩陣分解（Non－negative Matrix Factorization，NMF）是在所有元素非負(fù)性條件下的一種矩陣分解方法，可以獲得更直觀和更符合人腦認(rèn)知的加性基表示，其作為一種穩(wěn)健的特征降維分析工具，被廣泛應(yīng)用于信號(hào)處理和模式識(shí)別等領(lǐng)域[5－7].在遙感探測(cè)方面，NMF也得到了一定的關(guān)注[8－9]，但并沒(méi)有在雷達(dá)成像領(lǐng)域的應(yīng)用.筆者提出了一種基于稀疏NMF的大轉(zhuǎn)角SAR成像算法，首先將全孔徑劃分為互有重疊的子孔徑成像段以滿足短孔徑假設(shè)條件，然后采用PFA算法獲得目標(biāo)在各個(gè)不同方位角的子孔徑圖像，再通過(guò)構(gòu)造帶有稀疏增強(qiáng)的正則項(xiàng)約束的NMF目標(biāo)函數(shù)，將子圖像映射到NMF子空間，完成全孔徑圖像綜合與稀疏特性增強(qiáng).該方法不需要構(gòu)造成像逆算子，采用改進(jìn)的乘性迭代算法保證收斂性與非負(fù)性，能夠在有效提高圖像信噪（雜）比的同時(shí)，獲得特征信息更清晰的目標(biāo)圖像.

1 大轉(zhuǎn)角雷達(dá)成像模型

圖1 聚束SAR模式示意圖

提高剛體目標(biāo)的成像時(shí)間，可以獲得更豐富的散射信息，有利于目標(biāo)的檢測(cè)和識(shí)別.例如，對(duì)地面目標(biāo)可采用高分辨聚束SAR成像模式（如圖1所示），其本質(zhì)是通過(guò)增加相干積累角以提高方位分辨率，并獲得多角度雷達(dá)散射截面（RCS）信息.在常規(guī)短孔徑近似下，目標(biāo)區(qū)域被認(rèn)為是由若干各向同性的散射點(diǎn)組成的，不同點(diǎn)的散射系數(shù)僅是其空域位置的函數(shù)；而在寬角度成像模式下，這種近似將不再合理.因?yàn)橥ǔＴ趯?shí)際情況下，大多數(shù)場(chǎng)景點(diǎn)目標(biāo)是各向異性的，即散射系數(shù)還與方位觀測(cè)角存在耦合關(guān)系.令雷達(dá)發(fā)射脈沖為p（t），對(duì)于場(chǎng)景中某一點(diǎn)p，其在方位角θ處的回波可表示為

其中，Rp（θ）為目標(biāo)點(diǎn)與雷達(dá)相位中心在方位θ處的斜距，σ（xp，yp；θ）是目標(biāo)點(diǎn)的散射系數(shù)，c是光速，（xp，yp）是點(diǎn)p在斜距平面內(nèi)的投影坐標(biāo).實(shí)際上，目標(biāo)點(diǎn)與雷達(dá)視線的擦地角也隨θ變化，對(duì)散射系數(shù)產(chǎn)生額外的微小調(diào)制，但在小場(chǎng)景遠(yuǎn)場(chǎng)假設(shè)下，這種變化可以忽略.如果雷達(dá)發(fā)射線性調(diào)頻信號(hào)為

其中，rect（·）表示矩形窗函數(shù)；Tp為脈沖寬度；γ＝B Tp，為調(diào)頻率，B為信號(hào)帶寬.則雷達(dá)接收到的場(chǎng)景總回波在經(jīng)過(guò)去載頻、匹配濾波和運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償?shù)阮A(yù)處理后，可以表示為

其中，V 代 表雷達(dá)照射區(qū)域；Kx＝4πfsinθc，為距離向波數(shù)；Ky＝4πfcosθc，為方位向波數(shù)；θ∈[－Θ2，Θ2]，表示方位觀測(cè)角變化范圍；f∈ [fc－B 2，fc＋B 2]，為信號(hào)頻率.常規(guī)短孔徑成像模式下，信號(hào)的二維波數(shù)譜體現(xiàn)為角度支撐不大的扇區(qū)（通常不超過(guò)10°），給定Θ便可以直接利用PFA算法完成極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)的插值去除距離和方位的耦合，再采用IFFT進(jìn)行成像.然而在大轉(zhuǎn)角情況下，這種二維耦合現(xiàn)象嚴(yán)重，波數(shù)譜占據(jù)了很大的角度區(qū)間，其支撐區(qū)接近于同心圓環(huán)（如圖2所示），有效插值區(qū)域存在上限，進(jìn)而出現(xiàn)頻譜利用率較低的情況，使得直接使用PFA有一定的角度限制[10]；反向傳播（Back－Projection，BP）算法雖然沒(méi)有使用約束條件，但全孔徑相干積分會(huì)使能量平均到整個(gè)成像區(qū)間，使得弱散射點(diǎn)被抑制，抗噪性能不強(qiáng)，而且全孔徑BP算法運(yùn)算量較大.為了解決這些問(wèn)題，通常是犧牲方位分辨率，將整個(gè)全孔徑劃分為若干子孔徑以保證PFA性能，同時(shí)降低各向異性效應(yīng)，然后分別成像，獲得不同觀測(cè)角下的子圖像，再最終完成旋轉(zhuǎn)融合.子孔徑數(shù)據(jù)可以表示為

圖2 WASAR二維波數(shù)域

其中，N表示子數(shù)據(jù)總塊數(shù)，Ω表示子孔徑方位積累角，Δθ表示子孔徑間的角度差.若令Δθ＜Ω，則相鄰子孔徑間有Ω－Δθ大小的角度重疊.由于PFA算法會(huì)損失一定的頻譜，重疊可以防止子孔徑間的積累角度出現(xiàn)較大斷裂，提高譜利用率.其次，這種劃分能平滑子圖像間的散射系數(shù)變化，同時(shí)保護(hù)較短方位響應(yīng)范圍的弱散射點(diǎn)，防止其相位歷程被切斷而造成能量弱化和分辨能力降低.選擇子孔徑的長(zhǎng)度時(shí)，應(yīng)在滿足PFA使用條件和保證方位分辨率的情況下，盡量縮短孔徑長(zhǎng)度以減小各向異性對(duì)成像質(zhì)量的影響.

接下來(lái)對(duì)各個(gè)子孔徑數(shù)據(jù)分別使用PFA算法進(jìn)行成像，即將sn（f，θ）進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)系的插值.通常是分別沿著距離維和方位維完成一維插值重采樣，然后再對(duì)插值后矩形網(wǎng)格數(shù)據(jù)進(jìn)行二維IFFT變換得到子圖像.為了抑制副瓣可以在該步驟中加入窗函數(shù).子圖像代表了目標(biāo)在不同方位觀測(cè)角處的SAR圖像，要獲得全孔徑特征信息，則應(yīng)對(duì)子圖像旋轉(zhuǎn)到統(tǒng)一坐標(biāo)系配準(zhǔn)后再進(jìn)行全孔徑圖像綜合.最簡(jiǎn)單也最容易理解的方法是，對(duì)所有配準(zhǔn)子圖像直接求和.這種方式可以直觀地反映目標(biāo)的特征信息，但弱散射點(diǎn)的能量不能夠得到很好的體現(xiàn)，尤其在低信噪比情況下目標(biāo)和噪聲都進(jìn)行了非相干疊加，使得圖像質(zhì)量不高；文獻(xiàn)[1]采用了基于一般似然比檢驗(yàn)（GLRT）的方法，將綜合圖像中的像素灰度定義為所有子圖像中該像素位置處的灰度最大值，這種方法獲得的目標(biāo)圖像特征信息更清晰，但抗噪性仍然不高，且破壞了目標(biāo)原始的散射能量分布，這對(duì)于目標(biāo)散射信息提取和目標(biāo)識(shí)別十分不利.因此，筆者提出了一種基于稀疏非負(fù)矩陣分解的全孔徑圖像綜合方法，在圖像域通過(guò)加入稀疏約束的迭代優(yōu)化，融合各個(gè)子孔徑下的目標(biāo)散射信息，抑制噪聲（雜波）的同時(shí)，獲取散射特征信息增強(qiáng)的全孔徑SAR圖像，提高圖像的可解譯能力.

2 基于稀疏NMF的全孔徑圖像綜合

非負(fù)矩陣分解是以所有矩陣元素均非負(fù)作為約束條件的矩陣分解方法，其問(wèn)題可以描述為：已知一個(gè)非負(fù)矩陣V∈Rm×n，求非負(fù)矩陣W ∈Rm×r和非負(fù)矩陣H ∈Rr×n，使得

其中，r滿足（m＋n）r＜mn.NMF可看做是將原始數(shù)據(jù)V映射到低維特征子空間中，在減少數(shù)據(jù)量的同時(shí)，獲得基于數(shù)據(jù)自身的特征基向量的線性表示，而這種表示的基向量本身和權(quán)值系數(shù)也滿足非負(fù)條件.NMF算法得到的基向量組W具有一定的正交性和稀疏性，即體現(xiàn)了原始數(shù)據(jù)的局部特征.那么由非負(fù)的線性組合來(lái)近似表達(dá)V，則體現(xiàn)了整體由局部組成的直觀認(rèn)知，具有明確的物理意義.W中基向量的個(gè)數(shù)r直接決定了特征空間的維數(shù).根據(jù)NMF算法的理論，當(dāng)r＝1時(shí)，原始數(shù)據(jù)V中各個(gè)樣本均可由子空間的惟一基向量加權(quán)近似表示，那么該基向量應(yīng)盡可能包含原始樣本集的完整特征.如果令各個(gè)配準(zhǔn)后的子孔徑圖像作為NMF的特征樣本輸入V，迭代得到惟一基W作為輸出的綜合全孔徑圖像，則該圖像就包含了目標(biāo)所有方位觀測(cè)角下的散射特性.而在NMF算法中加入稀疏約束，可以增強(qiáng)分解結(jié)果本身具有的稀疏性，提高散射點(diǎn)的分辨能力，并且抑制旁瓣、噪聲和雜波.

目前，已經(jīng)有很多關(guān)于稀疏NMF的研究：文獻(xiàn)[11]實(shí)現(xiàn)了基于NMF的稀疏編碼，但其針對(duì)的是分解系數(shù)矩陣而不是基矩陣；文獻(xiàn)[12]采用了一種定量控制基矩陣或系數(shù)矩陣稀疏度的NMF算法，采用l1范數(shù)約束，通過(guò)梯度下降法進(jìn)行迭代求解，但每步迭代都需要復(fù)雜的稀疏投影操作，且無(wú)法保證非負(fù)性.相比較于l2范數(shù)和l1范數(shù)，加以lk范數(shù)正則項(xiàng)（k＜1）約束的解具有更稀疏的結(jié)構(gòu)[13].考慮點(diǎn)散射模型下，大轉(zhuǎn)角剛體目標(biāo)的雷達(dá)圖像由強(qiáng)散射點(diǎn)組成這一稀疏特性，可采用歐氏距離作為NMF算法的代價(jià)函數(shù)，并向其中加入對(duì)基向量（也就是全孔徑圖像）的lk范數(shù)懲罰（0＜k＜1），可得到如下的最優(yōu)化問(wèn)題：

其中，V ＝ [v ，v，v，… ， v]，v＝vec（I），I是由sn（f，θ）經(jīng)過(guò)PFA算法得到的第n幅子圖像的灰度矩

123Nnnn陣，vec（·）表示矩陣按列堆疊成列向量操作；W 是 NMF輸出的全孔徑綜合圖像幅度向量，其長(zhǎng)度M＝Nr×Ncr，Nr和Ncr分別為距離向和方位向采樣點(diǎn)數(shù).式（6）中的第1項(xiàng) V －WH用來(lái)控制NMF分解結(jié)果與原始數(shù)據(jù)的擬合誤差，αW為稀疏約束正則項(xiàng)，α是懲罰因子，·k代表矩陣元lk范數(shù)，定義為大小決定了W的稀疏程度，k越小，則解中非零元素個(gè)數(shù)越少，也就越稀疏.α和k作為正則化參數(shù)，一同起著平衡分解誤差與稀疏程度的作用，應(yīng)根據(jù)實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合進(jìn)行適當(dāng)選取.當(dāng)信噪比較低或雜波較強(qiáng)時(shí)，需合理采用較大的α和較小的k以增強(qiáng)圖像的稀疏度，抑制噪聲和雜波的影響.

最常用的NMF算法是基于交替迭代的梯度下降算法，即按照下式進(jìn)行迭代：

利用矩陣跡函數(shù)的性質(zhì)和求導(dǎo)法則，得到F（W，H）分別對(duì)Wia和Haj進(jìn)行偏導(dǎo)數(shù)，即

Lee和Seung令式（7）中的μia和δaj隨著W和H的即時(shí)迭代結(jié)果進(jìn)行更新，得到一種乘性迭代規(guī)則[14]，該算法易于實(shí)現(xiàn)，同時(shí)保證了非負(fù)性和收斂性能.在此基礎(chǔ)上，根據(jù)具體的代價(jià)函數(shù)形式，得到修改后的乘性迭代規(guī)則.令

其中，ε是一個(gè)很小的正數(shù)，例如可以取ε＝10－7，以避免分母為零的情況出現(xiàn).將式（9）和式（10）代入式（7），可得迭代規(guī)則為

與其他經(jīng)典NMF算法一樣，在每次W迭代后需對(duì)其基向量進(jìn)行歸一化操作，這里選擇l2范數(shù)歸一化：

NMF對(duì)初始值并不敏感，通常采用非負(fù)隨機(jī)矩陣作為初始即可快速收斂.將迭代終止條件設(shè)置為

其中，δ＞0是個(gè)很小的門限常數(shù).按照式（11）進(jìn)行迭代，直至滿足式（12）.此時(shí)的Wopt經(jīng)過(guò)向量轉(zhuǎn)換為矩陣的逆操作vec－1（Wopt），即得到稀疏特征增強(qiáng)后的全孔徑綜合圖像.文中方法的全孔徑圖像綜合過(guò)程如圖3所示.值得指出的是，子孔徑分割處理和PFA算法不可避免地會(huì)降低方位分辨率.但實(shí)際上這種綜合圖像的分辨率并不比全孔徑圖像差很多，因?yàn)橥ǔＤ繕?biāo)的方位散射響應(yīng)范圍有限，而且存在遮擋等情況，這樣成像的分辨率存在上限，不會(huì)隨著積累角度無(wú)限制增加.而通過(guò)對(duì)圖像特征的稀疏增強(qiáng)，可以抑制副瓣與雜波噪聲，這在一定程度上改善了散射點(diǎn)的分辨能力.此外，文中方法應(yīng)用范圍不僅局限于WASAR，還可應(yīng)用于其他成像場(chǎng)合，例如多基地雷達(dá)協(xié)同成像[15]和大轉(zhuǎn)角ISAR成像等，前者通過(guò)方位向數(shù)據(jù)拼接形成長(zhǎng)角度孔徑來(lái)提高圖像分辨率，后者對(duì)非機(jī)動(dòng)或合作目標(biāo)采用長(zhǎng)時(shí)間跟蹤成像模式，可以通過(guò)運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償?shù)刃閃ASAR.這些應(yīng)用本質(zhì)上都屬于寬角度積累問(wèn)題，均可用文中方法進(jìn)行成像處理.

圖3 全孔徑圖像綜合示意圖

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

為了驗(yàn)證文中方法的有效性，采用Backhoe公開(kāi)數(shù)據(jù)[16]進(jìn)行大轉(zhuǎn)角圖像重構(gòu)實(shí)驗(yàn).該數(shù)據(jù)方位合成角為110°，信號(hào)頻率范圍為7～13GHz，人為地對(duì)原始數(shù)據(jù)加以－5dB的加性高斯白噪聲.通過(guò)計(jì)算該數(shù)據(jù)的二維頻域支撐區(qū)范圍，可知全孔徑PFA算法的有效插值區(qū)域過(guò)小，無(wú)法直接適用.圖4（a）給出了全孔徑BP算法的成像結(jié)果.可以看出，噪聲與目標(biāo)能量相當(dāng)，極大地影響了其特征辨識(shí).將全孔徑分為29個(gè)Δθ＝2.9°，每個(gè)轉(zhuǎn)角Θ＝28°的子孔徑，然后采用PFA算法加漢明窗獲得29幅子圖像，對(duì)子圖像旋轉(zhuǎn)配準(zhǔn)后，分別使用直接求和疊加方法和文獻(xiàn)[1]中的GLRT方法，得到的綜合全孔徑圖像分別如圖4（b）和圖4（c）所示.與圖4（a）相比較，這兩種子孔徑PFA方法成像結(jié)果分辨率稍差，但重疊子孔徑處理避免了散射能量的全局平均，尤其對(duì)弱散射點(diǎn)保護(hù)較好，目標(biāo)信息更為豐富；但圖4（b）中的目標(biāo)特征在噪聲背景下仍不夠清晰，圖4（c）中目標(biāo)散射特性雖然較好，但噪聲水平依然很高.

圖4（d）給出了采用文中方法迭代得到的綜合全孔徑圖像（α＝0.6，k＝0.8）.可以看出，圖4（d）中目標(biāo)結(jié)構(gòu)輪廓清晰，分辨能力得到了提高，噪聲和旁瓣被很好地抑制，目標(biāo)的稀疏特征得到增強(qiáng).比較這3種子孔徑綜合圖像所對(duì)應(yīng)的灰度向量幅度（圖5（a）～（c）所示），GLRT方法得到的圖像雖然特征清晰，但噪聲也被放大，散射能量分布已被破壞；文中方法在保留散射能量分布情況的同時(shí)，令目標(biāo)圖像的特征信息和信噪比量[12]，得到稀疏度sp＝0.903 8，并將該數(shù)值設(shè)置為稀疏參數(shù)，使用文獻(xiàn)[12]中的稀疏約束NMF方法（NMFSC），得到綜合圖像和相應(yīng)的灰度向量分別如圖4（e）和圖5（d）所示.與文中方法結(jié)果相比，相同稀疏度下，該方法得到的全孔徑綜合圖像噪聲水平較高，目標(biāo)散射信息的表述能力稍差.為了定量比較圖像質(zhì)量，分別對(duì)不同方法下的WASAR成像結(jié)果進(jìn)行了圖像熵和目標(biāo)－背景雜波比的衡量比較，其結(jié)果如表1所示.可以看出，文中方法結(jié)果的熵值最小，TCR最高，表明其目標(biāo)表征能力最強(qiáng).另外，筆者還對(duì)幾種方法在PC平臺(tái)上的運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)對(duì)比，文中方法運(yùn)算時(shí)間雖比圖像旋轉(zhuǎn)求和及GLRT方法的耗時(shí)，但仍處于一個(gè)數(shù)量級(jí)，對(duì)比最終圖像質(zhì)量，這種運(yùn)算時(shí)間上的增加是可以接受的.而與全孔徑BP算法和NMFSC方法相比較，文中方法又具有圖像質(zhì)量和運(yùn)算時(shí)間上的雙重優(yōu)勢(shì)，體現(xiàn)出了良好的性能.

表1 不同方法下的全孔徑圖像質(zhì)量對(duì)比

圖4 不同方法的全孔徑圖像

圖5 不同方法全孔徑圖像灰度矢量

4 結(jié)束語(yǔ)

提出了一種基于稀疏非負(fù)矩陣分解的WASAR成像方法.該方法首先將全孔徑分為若干重疊的子孔徑，分別進(jìn)行PFA成像，得到若干不同視角下的子圖像，然后構(gòu)造帶有稀疏增強(qiáng)正則項(xiàng)的NMF優(yōu)化問(wèn)題，利用改進(jìn)的乘性迭代規(guī)則，對(duì)旋轉(zhuǎn)配準(zhǔn)后的子圖像在NMF子空間進(jìn)行融合，獲得最終的綜合全孔徑圖像.Backhoe數(shù)據(jù)的處理結(jié)果證明了文中方法有很強(qiáng)的目標(biāo)特征增強(qiáng)能力和去噪能力.文中方法實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單，但正則化參數(shù)的自動(dòng)選取仍需要進(jìn)一步研究.

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