張學(xué)敬，楊志偉，廖桂生

（西安電子科技大學(xué) 雷 達(dá)信號(hào)處理國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西 安 710071）

在飛行器或其他移動(dòng)平臺(tái)載體表面，常常需要安裝共形陣列天線[1－8].與常規(guī)均勻線陣相比，共形陣有著優(yōu)越的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和良好的測(cè)向性能，如其對(duì)雷達(dá)載體的空氣動(dòng)力學(xué)性能影響很小，且具有體積小、重量輕、易于安裝等優(yōu)點(diǎn).此外，共形陣列能獲得較大的有效孔徑，在不轉(zhuǎn)動(dòng)陣列天線的情況下即可獲得360°的覆蓋范圍.

由于共形陣列布陣的特殊性，導(dǎo)致其陣列流形不具有Vandermonde結(jié)構(gòu)，使得快速子空間類算法（如root－MUSIC[9]等）不能直接應(yīng)用于共形陣列，從而限制了其在工程上的應(yīng)用.在非等距線陣的處理方面，文獻(xiàn)[10]通過(guò)虛擬內(nèi)插變換，將非線性陣列轉(zhuǎn)換為線性陣列，并將root－MUSIC算法應(yīng)用于內(nèi)插變換中，實(shí)現(xiàn)了非線性陣列的快速波達(dá)方向估計(jì).文獻(xiàn)[11]提出了流形分離技術(shù)，將任意陣列的導(dǎo)向矢量表示成采樣矩陣與具有Vandermonde結(jié)構(gòu)的基矢量的乘積，其中采樣矩陣描述陣列本身，基矢量反映信號(hào)的角度特征，兩部分相互獨(dú)立，利用基矢量的特殊結(jié)構(gòu)即可實(shí)現(xiàn)快速波達(dá)方向估計(jì).文獻(xiàn)[12]將流形分離應(yīng)用于穩(wěn)健波束形成中.這些文獻(xiàn)僅討論了在特定的流形變換方式下如何對(duì)原陣列進(jìn)行處理以及處理后的性能，而在不同的虛擬陣列流形選取方式對(duì)最終陣列處理性能的影響方面缺乏研究.

筆者將虛擬陣列內(nèi)插方法應(yīng)用于半球共形陣列中，建立了半球陣到虛擬矩形陣和虛擬十字陣的兩種變換關(guān)系，并對(duì)兩種方式在波達(dá)方向估計(jì)、波束形成、運(yùn)算復(fù)雜度等方面的性能進(jìn)行了分析對(duì)比和仿真驗(yàn)證.

圖1 任意幾何結(jié)構(gòu)陣列模型

1 共形陣列信號(hào)模型

對(duì)于包含N個(gè)陣元的任意幾何結(jié)構(gòu)陣列，建立如圖1所示的正交直角坐標(biāo)系O－XYZ.假設(shè)在陣列遠(yuǎn)場(chǎng)（θk，φk）（k＝1，2，…，M）處有M 個(gè)窄帶點(diǎn)源以平面波入射（波長(zhǎng)為λ），其中θk為空間信源的方位角，φk為空間信源的俯仰角.陣列接收的快拍數(shù)據(jù)為

式中，X（t）為N×1快拍數(shù)據(jù)矢量，S（t）為M×1入射信號(hào)復(fù)幅度矢量，N（t）為N×1陣列噪聲矢量.考慮全向一致陣元，不考慮遮擋效應(yīng)，則陣列導(dǎo)向矢量矩陣A（θ，φ）可表示為

其中，a（θi，φi）為第i個(gè)信源的導(dǎo)向矢量.a（θi，φi）可表示為

其中，k0＝2πλ，為波數(shù)，其大小表示單位波長(zhǎng)的周期數(shù)；rn＝[xn，yn，zn]，為第n個(gè)陣元的坐標(biāo)矢量（n＝1，…，N）；vi＝ [sinφicosθi，sinφisinθi，cosφi]T，為第i個(gè)信源的空間方位矢量.

針對(duì)具體的半球共形陣列，圖2給出了半球陣列的陣元分布示意圖.令半球陣的第1層陣元分布在x－y平面內(nèi)，每層第1個(gè)陣元位于x軸正方向，按照x－y平面內(nèi)逆時(shí)針?lè)较蜻M(jìn)行編號(hào)，則可以計(jì)算出第p層、第q個(gè)陣元的空間俯仰角φpq和空間方位角θpq，分別為

圖2 半球陣列模型

式中，p＝1，2，…，P，q＝1，2，…，Qp，P表示陣列的層數(shù)，Qp表 示第p層的陣元個(gè)數(shù).若設(shè)半球陣底面半徑為R，則第（p，q）個(gè)陣元的位置坐標(biāo)矢量為

考慮陣列遠(yuǎn)場(chǎng)（θ，φ）方向的某個(gè)信源，則由前可知，半球陣列的導(dǎo)向矢量為

式中，apq＝exp（j（2π λ ）rpqv ） ，v為（θ，φ）方向的方位矢量.由此得到半球陣列的接收數(shù)據(jù)矢量為

2 流形變換理論

對(duì)于非等距線陣而言，其導(dǎo)向矢量不具有Vandermonde結(jié)構(gòu)，無(wú)法采用某些基于子空間的快速波達(dá)方向估計(jì)算法（如root－MUSIC），而直接利用MUSIC算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)的運(yùn)算復(fù)雜度較高.為降低運(yùn)算量，可對(duì)原陣列進(jìn)行流形變換，使得變換后的導(dǎo)向矢量滿足Vandermonde或類Vandermonde結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可利用新導(dǎo)向矢量的特殊結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)快速波達(dá)方向估計(jì).

典型的流形變換方法包括流形分離類方法[11－13]和虛擬陣列變換類方法[10].流形分離方法將任意陣列的導(dǎo)向矢量表示成采樣矩陣與具有Vandermonde結(jié)構(gòu)的基矢量的乘積，通常采用傅里葉基分解或球面諧波基分解等方式來(lái)實(shí)現(xiàn).對(duì)于三維陣列，由于需要兩維流形分離，在陣元數(shù)較多時(shí)計(jì)算量很大，工程應(yīng)用困難.虛擬陣列變換方法針對(duì)設(shè)置的虛擬陣列，采用變換矩陣將原陣列的接收數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為虛擬陣列的接收數(shù)據(jù).該方法可借助虛擬陣列的特殊結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)快速波達(dá)方向估計(jì).

虛擬陣列變換的核心是尋找在某個(gè)角域Θl內(nèi)滿足a（θ）＝（θ）（θ∈Θl）的變換矩陣Bl，其中a（θ）和（θ）分別表示真實(shí)陣列和虛擬陣列的導(dǎo)向矢量.通常要求（θ）具有Vandermonde結(jié)構(gòu).為了內(nèi)容的完整性，下面僅給出求解變換矩陣的主要步驟，詳細(xì)描述可參考文獻(xiàn)[10].步驟1 將陣列的感興趣觀察區(qū)域劃分為多個(gè)角域，在每個(gè)角域內(nèi)取一些測(cè)試角度，例如取第l個(gè)角域

步驟2 根據(jù)真實(shí)陣列的陣元位置關(guān)系，計(jì)算第l個(gè)角域內(nèi)所有測(cè)試角度對(duì)應(yīng)的真實(shí)陣列導(dǎo)向矢量

步驟3 根據(jù)虛擬陣列的陣元位置關(guān)系，計(jì)算第l個(gè)角域內(nèi)所有測(cè)試角度對(duì)應(yīng)的虛擬陣列導(dǎo)向矢量

記真實(shí)陣列數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣R＝ARsAH＋σ2I（其中Rs為信號(hào)矢量的自協(xié)方差矩陣），則虛擬陣列數(shù)據(jù)協(xié)時(shí)虛擬陣列的信號(hào)子空間與噪聲子空間不正交，所以需要進(jìn)行預(yù)白化處理，變換矩陣變?yōu)?/p>

此時(shí)TlT＝I成立，虛擬陣列信號(hào)子空間與噪聲子空間正交.真實(shí)陣列流形與虛擬陣列流形之間的關(guān)系變?yōu)?/p>

虛擬陣列的數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣表示為

顯然，對(duì)于式（11）就可以利用基于等距線陣的各種算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，所不同的就是陣列流形，即利用上式進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)時(shí)要注意其導(dǎo)向矢量是虛擬陣列的導(dǎo)向矢量，而不是真實(shí)陣列的導(dǎo)向矢量.由于虛擬陣列變換法原理簡(jiǎn)單，實(shí)現(xiàn)方便，計(jì)算量較小，且可以通過(guò)多種內(nèi)插方式來(lái)實(shí)現(xiàn)，所以利用虛擬陣列內(nèi)插法實(shí)現(xiàn)變換，并研究不同內(nèi)插方式的選取對(duì)最終陣列處理性能的影響.

3 半球陣列的兩種內(nèi)插方式

考慮半球陣列（如圖2），其陣列結(jié)構(gòu)的非均勻性導(dǎo)致接收數(shù)據(jù)為對(duì)空間數(shù)據(jù)的非等間隔采樣.為了得到等間隔采樣的數(shù)據(jù)，可以采用兩種均勻陣列對(duì)原陣列進(jìn)行虛擬內(nèi)插變換.虛擬陣列的數(shù)據(jù)相當(dāng)于借助原陣列得到的對(duì)空間數(shù)據(jù)的估計(jì)，這要求其陣列設(shè)計(jì)應(yīng)與原陣列在結(jié)構(gòu)上具有相似性，如位置應(yīng)與原陣列接近，有效孔徑應(yīng)與原陣列近似相等.

圖3 虛擬陣列模型

第1種方式采用矩形陣列（如圖3（a）），此時(shí)虛擬陣列在X、Y軸上與原陣列等效孔徑相等，但在Z軸方向有孔徑損失.第2種方式采用十字陣列（如圖3（b）），此時(shí)虛擬陣列僅分布于坐標(biāo)軸上，與原陣列在X、Y、Z軸上具有相同的等效孔徑，這種內(nèi)插方式不損失軸向孔徑，同時(shí)結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單.兩種虛擬陣列的分布特點(diǎn)使得將其作為半球陣的內(nèi)插陣列具有合理性.為了比較兩種內(nèi)插方式的性能，下面分別從轉(zhuǎn)換誤差[14]和孔徑分布兩方面對(duì)兩者進(jìn)行分析對(duì)比.

3.1 轉(zhuǎn)換誤差

轉(zhuǎn)換誤差的定義如下：

圖4 轉(zhuǎn)換誤差

3.2 等效孔徑

在等效孔徑方面，分別對(duì)XOY平面孔徑和Z軸孔徑進(jìn)行對(duì)比分析.XOY平面孔徑定義為陣列在XOY平面上對(duì)信源方向的有效孔徑，Z軸孔徑定義為陣列在Z軸方向上對(duì)信源方向的有效孔徑.分別用DXOY和DZ表示XOY平面孔徑和Z 軸孔徑，如圖5（a）和（b）所示.

由陣列理論可知，陣列孔徑越大，其分辨率越高，相應(yīng)的波達(dá)方向估計(jì)性能越好，同時(shí)主瓣波束越窄.結(jié)合XOY孔徑

和Z軸孔徑的定義可知，兩者可分別用來(lái)衡量陣列在方位維和俯仰維的波達(dá)方向估計(jì)性能以及方位維和俯仰維的主瓣寬度，陣列最終的波達(dá)方向估計(jì)性能受兩種孔徑綜合影響.為了對(duì)比不同陣列在等效孔徑方面的差異，圖6給出了3種陣列的孔徑隨角度變化的曲線.可以看出，在XOY平面孔徑方面，原半球陣列為一常數(shù)，兩種虛擬陣列隨方位角增大而波動(dòng)變化，當(dāng)方位角為45°或135°時(shí)，虛擬矩形陣列的孔徑達(dá)到最大值，虛擬十字陣列的孔徑取得最小值.在Z軸孔徑方面，虛擬矩形陣列Z軸孔徑恒為零，虛擬十字陣列與原陣列在Z軸方向的分量相同，使得兩者的孔徑隨俯仰角變化趨勢(shì)一樣，均隨俯仰角增大而增大.

圖5 等效孔徑

圖6 孔徑對(duì)比

綜上可知，利用虛擬陣列進(jìn)行處理，最終波達(dá)方向估計(jì)性能會(huì)受轉(zhuǎn)換誤差和孔徑分布兩種因素綜合影響.可以預(yù)計(jì)：在俯仰角較大時(shí)，雖然十字陣在XOY平面的孔徑較小，但它的Z軸孔徑較大且轉(zhuǎn)換誤差小于矩形陣，波達(dá)方向估計(jì)性能優(yōu)于矩形陣；在俯仰角較小時(shí)，兩種虛擬陣列的轉(zhuǎn)換誤差和Z軸孔徑均相差不大，但矩形陣在XOY平面孔徑上要明顯大于十字陣，此時(shí)矩形陣的波達(dá)方向估計(jì)性能較優(yōu).此外，在方位角接近45°或135°區(qū)域，矩形陣的XOY平面孔徑遠(yuǎn)大于十字陣，對(duì)應(yīng)的波達(dá)方向估計(jì)性能應(yīng)更優(yōu).

4 運(yùn)算復(fù)雜度分析

設(shè)原半球陣列的陣元數(shù)為N，若采用MUSIC算法進(jìn)行二維波達(dá)方向估計(jì)，其運(yùn)算復(fù)雜度主要體現(xiàn)在特征值分解和譜峰搜索上.根據(jù)文獻(xiàn)[15]，對(duì)維數(shù)為N×N的相關(guān)矩陣進(jìn)行特征分解的運(yùn)算復(fù)雜度為O[15（N－1）3].假設(shè)兩維譜峰搜索的總點(diǎn)數(shù)為K，則譜峰搜索的運(yùn)算復(fù)雜度為O[KN2].原陣列實(shí)現(xiàn)MUSIC算法的總的運(yùn)算復(fù)雜度為O[15（N－1）3]＋O[KN2].

利用虛擬陣列估計(jì)波達(dá)方向的過(guò)程可由離線運(yùn)算和在線運(yùn)算兩步組成.離線運(yùn)算主要包括計(jì)算轉(zhuǎn)換矩陣B和T.考慮L個(gè)角域，則離線部分的運(yùn)算復(fù)雜度為O[LN3]＋O[LNˉ3].在線運(yùn)算主要體現(xiàn)在root－MUSIC算法上.對(duì)于M 元等距線陣，若采用root－MUSIC進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)，其運(yùn)算復(fù)雜度為O[120（M－1）3].筆者設(shè)虛擬陣列在X軸、Y軸上的陣元數(shù)為Nxy，同時(shí)可得虛擬十字陣列Z軸上的陣元數(shù)Nz＝（Nxy＋1）2，考慮到L個(gè)角域，可知虛擬矩形陣列和虛擬十字陣列進(jìn)行在線波達(dá)方向估計(jì)時(shí)總的運(yùn)算復(fù)雜度分別為O[240L（Nxy－ 1）3]、O[255L（Nxy－1）3].由此看出，在通常情況下，虛擬矩形陣列的離線計(jì)算量大于虛擬十字陣列；若只考慮在線波達(dá)方向估計(jì)，則虛擬矩形陣列的計(jì)算量小于虛擬十字陣列.虛擬矩形陣列以大的離線計(jì)算量為代價(jià)，得到了相對(duì)較小的在線計(jì)算量.

由以上分析可知，對(duì)于三維共形陣列，在滿足N?Nxy的條件下，利用虛擬陣列實(shí)現(xiàn)在線波達(dá)方向估計(jì)的運(yùn)算量大大降低了.

5 仿真實(shí)驗(yàn)

在仿真實(shí)驗(yàn)中，采用圖2所示結(jié)構(gòu)的半球共形陣列，虛擬陣列設(shè)置如圖3所示.半球陣列由5個(gè)均勻分布的圓陣組合而成，各環(huán)陣元數(shù)分別為24、20、16、8、1，環(huán)與環(huán)之間服從等弧度分布，半球底面半徑取2λ.虛擬矩形陣列由81個(gè)陣元構(gòu)成，組成9×9方陣，陣元行列間距為λ2.虛擬十字陣列由21個(gè)陣元構(gòu)成，除坐標(biāo)原點(diǎn)陣元外，其余各陣元均勻分布于X軸、－X軸、Y軸、－Y軸、Z軸上，各軸向陣元數(shù)為4，間距為λ2.

在波達(dá)方向估計(jì)方面，對(duì)于矩形陣列，利用其結(jié)構(gòu)的特殊性，在對(duì)“虛擬數(shù)據(jù)”進(jìn)行行列合成處理[16]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用2Droot－MUSIC算法[17]即可得到信源的二維波達(dá)方向估計(jì).對(duì)于十字陣列，可利用XOY面上的十字陣列估計(jì)信源的俯仰角和方位角，利用Z軸上的等距線陣估計(jì)信源的俯仰角.為了減小估計(jì)誤差，將兩個(gè)俯仰角估計(jì)的均值作為最終的俯仰角估計(jì)值.

在自適應(yīng)波束形成方面，將線性約束最小方差（LCMV）準(zhǔn)則直接應(yīng)用于虛擬陣列中，得到虛擬陣列的權(quán)矢量為

實(shí)驗(yàn)1 在上述實(shí)驗(yàn)參數(shù)下，分別借助虛擬矩形陣列和虛擬十字陣列進(jìn)行二維波達(dá)方向估計(jì)，信噪比取0dB.經(jīng)過(guò)2 000次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到兩種內(nèi)插方式進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)的均方根誤差對(duì)比結(jié)果，如圖7所示.其中“圓圈”表示十字陣列的均方根誤差小于矩形陣列的均方根誤差，“星號(hào)”與之相反.

可以看出，兩種內(nèi)插方式的波達(dá)方向估計(jì)性能受信源俯仰角的影響較大.當(dāng)俯仰角較小時(shí)，矩形陣內(nèi)插的性能較優(yōu)；隨著俯仰角的增加，十字陣估計(jì)性能逐漸優(yōu)于矩形陣的估計(jì)性能.另外，兩者的性能對(duì)比結(jié)果關(guān)于90°方位角對(duì)稱.當(dāng)信源方位角靠近45°（或135°）時(shí)，矩形陣列的波達(dá)方向估計(jì)性能較優(yōu)，與理論預(yù)測(cè)一致.

圖7 兩種內(nèi)插方式的波達(dá)方向估計(jì)性能對(duì)比

實(shí)驗(yàn)2 分別將信源方向固定為（45°，30°）和（90°，50°），信噪比從－15dB增至15dB，經(jīng)過(guò)2 000次獨(dú)立的蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，得到這兩個(gè)角度下兩種虛擬內(nèi)插方式進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)以及直接利用原陣列MUSIC算法進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)的性能變化對(duì)比曲線，如圖8所示.

圖8 3種陣列波達(dá)方向估計(jì)性能隨信噪比變化曲線

可以看出，兩種虛擬內(nèi)插方式在信噪比較小時(shí)波達(dá)方向估計(jì)性能較差；隨著信噪比的增大，兩者的估計(jì)性能逐漸變優(yōu)，虛擬十字陣列變化趨勢(shì)明顯，而虛擬矩形陣列變化趨勢(shì)較為平坦.與原陣列MUSIC算法相比，虛擬陣列的波達(dá)方向估計(jì)性能略差.

實(shí)驗(yàn)3 設(shè)來(lái)波方向（θ，φ）＝（120°，30°），干擾方向（θ，φ）＝（30°，60°），信噪比為0dB，干信比為10dB，快拍次數(shù)取為1 000，分別在原陣列、矩形虛擬陣列、十字虛擬陣列上利用線性約束最小方差準(zhǔn)則，得到3種陣列的三維方向圖，如圖9所示.圖10對(duì)比了3種陣列構(gòu)型在主瓣方向的方位維方向圖和俯仰維方向圖.圖11對(duì)比了3種陣列構(gòu)型在干擾方向的方位維方向圖和俯仰維方向圖.表1為

3個(gè)方向圖在方位維和俯仰維的主瓣寬度對(duì)比.

表1 陣列主瓣寬度對(duì)比

圖9 三維方向圖

圖10 主瓣方向剖面圖

圖11 干擾方向剖面圖

可以看出，兩種虛擬陣列均可以在期望方向形成主瓣的同時(shí)對(duì)干擾進(jìn)行抑制.在兩維主瓣寬度上，虛擬矩形陣列在方位維的主瓣寬度比原陣列的窄，在俯仰維的主瓣寬度比原陣列的寬，整體與原半球陣列接近.虛擬十字陣列在兩維主瓣寬度上都寬于原陣列.在干擾方向圖上，具有較窄主瓣寬度的方向圖其在干擾方向的凹口也較窄，即凹口相對(duì)寬度與主瓣相對(duì)寬度保持一致.另外，不難看出，陣列方向圖寬度對(duì)比與各陣列孔徑分布特點(diǎn)（圖6所示）相一致.

實(shí)驗(yàn)4 將輸入信噪比從－20dB增至20dB，其余參數(shù)同實(shí)驗(yàn)3，得到3種陣列構(gòu)型方向圖的輸出信干噪比（SINR）隨輸入信噪比變化的曲線，如圖12所示.

可以看出，3種陣列輸出信干噪比均隨著輸入信噪比的增大而增大.在相同輸入信噪比下，3種陣列的輸出信干噪比由大到小依次為虛擬矩形陣列、原陣列、虛擬十字陣列，可知3種陣列按抗干擾能力強(qiáng)弱排布依次為虛擬矩形陣列、原陣列、虛擬十字陣列.這是因?yàn)榕c原半球陣列相比，虛擬矩形陣列陣元數(shù)較多，增加了系統(tǒng)自由度，使得其在滿足特定約束自由度的條件下?lián)碛懈嗟淖赃m應(yīng)自由度來(lái)抑制干擾和噪聲，所以輸出信干噪比大于原陣列.同理，虛擬十字陣列與原陣列相比，減少了系統(tǒng)自由度，其自適應(yīng)自由度降低，相當(dāng)于對(duì)原陣列進(jìn)行降秩處理，此時(shí)的波束形成性能（即輸出信干噪比）顯然會(huì)下降.

圖12 陣列輸出信干噪比隨輸入信噪比變化的曲線

6 總 結(jié)

筆者將虛擬內(nèi)插變換的思想應(yīng)用于半球共形陣列中，分別建立了半球共形陣列到矩形陣列和十字陣列的兩種變換關(guān)系，并利用虛擬陣列進(jìn)行波達(dá)方向估計(jì)、波束形成等陣列處理.對(duì)兩種內(nèi)插方式在波達(dá)方向估計(jì)、波束形成、運(yùn)算復(fù)雜度等方面進(jìn)行了全面分析和仿真驗(yàn)證，可為共形陣列的工程應(yīng)用提供參考.文中的分析和仿真雖然是在半球陣下進(jìn)行的，但虛擬陣列變換方法的適用性卻不會(huì)受到陣列排布的制約，這是因?yàn)槿绻残侮嚵袧M足空間無(wú)模糊采樣條件，那么總是可以通過(guò)合適的轉(zhuǎn)換矩陣將其內(nèi)插為均勻線陣/面陣或兩者的組合.同時(shí)，文中所描述的虛擬內(nèi)插變換的性能分析方法對(duì)于一般共形陣列仍然適用，這也擴(kuò)大了筆者提出方法的適用范圍.另外，文中陣列均是在理想情況下進(jìn)行分析和仿真的，當(dāng)陣列存在誤差時(shí)如何進(jìn)行虛擬內(nèi)插還需進(jìn)一步探討和研究.

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