王 超， 張曉琳， 唐文彥， 王 軍， 馬 強

（哈爾濱工業(yè)大學，黑龍江哈爾濱 150001）

質(zhì)量特性測量系統(tǒng)的運動學標定

王 超， 張曉琳， 唐文彥， 王 軍， 馬 強

（哈爾濱工業(yè)大學，黑龍江哈爾濱 150001）

質(zhì)量特性測量過程中測量位姿的定位精度直接影響測量結(jié)果的精度。針對該問題利用D-H參數(shù)建立了系統(tǒng)機械結(jié)構(gòu)的運動學方程，進而得到了終端產(chǎn)品坐標系的位置誤差模型。利用激光跟蹤儀測量產(chǎn)品坐標系上一點在不同位姿下的坐標，通過測量點的位置誤差和D-H參數(shù)的雅克比矩陣建立標定方程，并求解得到系統(tǒng)實際的運動學參數(shù)。最后通過實驗，對標定方法進行了驗證，結(jié)果表明經(jīng)過標定后的系統(tǒng)定位精度較標定前有明顯的提高。

計量學；質(zhì)量特性測量；運動學；D-H模型；標定

1 引 言

質(zhì)量特性參數(shù)［1］包括質(zhì)量質(zhì)心、轉(zhuǎn)動慣量和慣性積。這些參數(shù)能夠直接影響導彈、火箭、衛(wèi)星等飛行器的飛行姿態(tài)以及穩(wěn)定性，因此為了精確地測量質(zhì)量特性參數(shù)，在使用前需要對測量系統(tǒng)進行標定。

現(xiàn)有的質(zhì)量特性測量設(shè)備標定技術(shù)主要集中在兩個方面，第一，對測量質(zhì)量質(zhì)心所用到的稱重傳感器進行標定［2］；第二，對計算慣性積和慣性矩所需要參數(shù)（比如扭擺法中的扭桿系數(shù)［3］，三線擺法中的空擺質(zhì)量、擺長等）進行標定。上述標定方法理論成熟，應(yīng)用廣泛，但由于研究對象主要是中小型測量設(shè)備，且機械結(jié)構(gòu)簡單，因此沒有考慮在加工裝配過程中機械結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)誤差對結(jié)果產(chǎn)生的影響，而對于大尺寸復雜測量設(shè)備來說，在測量過程中需要變換產(chǎn)品位姿，然后將與位姿相關(guān)的參數(shù)帶入數(shù)學模型中進行計算，因此產(chǎn)品位姿微小的變化（微分平移、微分旋轉(zhuǎn)）會對最后的計算結(jié)果造成較大的誤差［4］。為了進一步提高系統(tǒng)的測量精度，需要對機械工裝的運動學參數(shù)進行標定。

2 運動學建模及標定原理

由于機械工裝結(jié)構(gòu)屬于串聯(lián)型結(jié)構(gòu)［5］，共有2個軸，1個是U型架旋轉(zhuǎn)軸，1個是適配器旋轉(zhuǎn)軸。利用D-H表示法建立該工裝的連桿坐標系［6］。

如圖1所示，坐標系Oxyz為參考坐標系，O0x0y0z0為U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標系，O1x1y1z1為適配器旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標系，O2x2y2z2為待測產(chǎn)品坐標系。

圖1 連桿坐標系

然后需要確定每個坐標系之間轉(zhuǎn)換關(guān)系，運動學參數(shù)包括軸轉(zhuǎn)角θ，連桿偏置d，連桿長度a，連桿扭角α，通過這些運動學參數(shù)可以表示產(chǎn)品位姿P

由于機械工裝的加工和裝配存在一定的誤差，導致工裝的運動學參數(shù)存在一定的誤差Δθi、Δdi、Δai、Δαi

［7］。因此產(chǎn)品的實際位姿是

那么位姿誤差為ΔP＝P－P′。

當這些誤差較小時，位姿誤差可簡化成相應(yīng)的線性方程［9］

式中θi分別為工裝2個軸（U型架旋轉(zhuǎn)軸，適配器旋轉(zhuǎn)軸）的旋轉(zhuǎn)角，由于在旋轉(zhuǎn)軸采用伺服電機，內(nèi)置17Bit絕對編碼器，可以通過編碼器反饋得到精確的角度，因此可以將該角度的誤差忽略，即

同時，α2為適配器坐標系與產(chǎn)品坐標系z軸的夾角。產(chǎn)品尾部安裝在適配器上，前端固定在自由旋轉(zhuǎn)環(huán)內(nèi)，通過電機使適配器及產(chǎn)品旋轉(zhuǎn)，進而帶動旋轉(zhuǎn)環(huán)的內(nèi)環(huán)相對于外環(huán)發(fā)生旋轉(zhuǎn)。由于適配器內(nèi)部采用了球形調(diào)整機構(gòu)，使得位置和角度偏差都可實現(xiàn)微調(diào)，自由旋轉(zhuǎn)環(huán)的內(nèi)、外環(huán)中間使用偏心軸承連接，因此通過調(diào)整可以使產(chǎn)品進行旋轉(zhuǎn)而不發(fā)生機械干涉，所以可以將適配器坐標系與產(chǎn)品坐標系的z軸視為平行，即

所以，式（1）可以變換為

如果知道運動學參數(shù)的誤差，可以由式（3）得到產(chǎn)品坐標系上某點在任意位姿下的位置偏差，即微分平移

反之，若通過測量得到某點在n種位姿狀態(tài)下的位置偏差，那么可以將這n組偏差看做

只要n＞2，那么就可以通過解該超定方程組，得到運動學參數(shù)的誤差Δx

從而達到標定的目的。

3 標定步驟

3.1 參考坐標系的建立

利用激光跟蹤儀對工裝上的關(guān)鍵點的位置進行測量，再利用這些點構(gòu)造坐標系。如圖2所示，將一個高度為h的標準量塊放置在轉(zhuǎn)臺上，再將激光跟蹤儀的靶球放在該量塊上，測量靶球球心坐標，然后在臺面上移動量塊位置，重復上述步驟n（n＞3）次，根據(jù)所測的點擬合一個平面P，求出該平面的法向向量即為參考坐標系z軸方向向量。

再將靶球分別放置在圖2中所示定位孔O和A上，測量這兩點在平面P上的投影，得到O′、A′。O′當做參考坐標系原點，向量O′A′作為參考坐標系x軸方向向量，那么根據(jù)右手法則，建立參考坐標系。通過激光跟蹤儀測量軟件CAM2將測量坐標系轉(zhuǎn)移到參考坐標系上，之后所有的測量數(shù)據(jù)都是建立在參考坐標系下的值。

圖2 參考坐標系的建立

3.2 轉(zhuǎn)換矩陣的計算

將參考坐標系到U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標系變換記作E，U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)到適配器旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)的坐標系變換記作0T1，適配器旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)到產(chǎn)品坐標系變換記作1T2。那么參考坐標系到產(chǎn)品坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣就記作

式中E可以通過激光跟蹤儀測量得到。見圖3，將靶球固定在U型支架的一側(cè)，旋轉(zhuǎn)支架，利用激光跟蹤儀連續(xù)采點，在這些點所在的平面內(nèi)擬合圓，得到圓心M以及該圓所在平面的法向向量，即得到旋轉(zhuǎn)軸的軸線方程。將軸線的方向向量作為U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標系的z軸方向向量，x軸方向向量與參考坐標系的x軸方向一致，參考坐標系的原點在軸線上的投影作為U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標系的原點，最后根據(jù)右手法則建立U型架旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)坐標系。

將i－1Ti和E帶入式（7），結(jié)果矩陣最后一列px、py、pz表示坐標系沿坐標軸的平移，分別對3個平移量求關(guān)于D-H參數(shù)微分就得到式（6）中的雅克比矩陣。

圖3 測量軸線上一點

3.3 測量位姿的選取及位置偏差的計算

選取n組測量位姿，實際上就是確定n組（θ1，θ2）的值。待測產(chǎn)品安裝好后，將此狀態(tài)當做初始狀態(tài)0，把激光跟蹤儀的目標球靶固定到產(chǎn)品上某一點M，測量該點在參考坐標系下的坐標值（x0，y0，z0）。然后將產(chǎn)品變換到位姿1，根據(jù)當前位姿的連桿參數(shù)計算轉(zhuǎn)換矩陣T，通過T就能夠計算M點在位姿1下的理論值（x′1，y′1，z′1），同時利用激光跟蹤儀測量M點的坐標（x1，y1，z1），即該點的實際值，那么得到位置誤差ΔP1x、ΔP1y、ΔP1z。其它位姿下同理，因此式（5）中的b可求。

4 標定試驗

根據(jù)第2節(jié)的推導，理論上只需要2點就能夠標定5個運動學參數(shù)，但是標定點數(shù)越多，其標定精度也越高［8］。所以選取15個位姿，共測量得到15個點坐標，其中的12個點用來標定D-H模型參數(shù)偏差值，利用剩余的3個點來驗證結(jié)果的正確性。標定現(xiàn)場如圖4所示。

圖4 標定現(xiàn)場

測量數(shù)據(jù)如表1。將表1中的前12行數(shù)據(jù)代入式（5），利用廣義逆的計算方法，最終得到實際的運動學參數(shù)與理論值對比如表2。

表1 標定試驗數(shù)據(jù)

表2 運動學參數(shù)理論值與實際值對比

再將該結(jié)果與表1中的后3行中測量點坐標的理論值數(shù)據(jù)代入公式（4），得到這3個點的坐標位置偏差，將修正后的點坐標與實際坐標進行比較如表3，修正后與修正前的坐標值相對誤差如圖5。

表3 點坐標的數(shù)據(jù)對比mm

圖5 驗證點坐標標定前后絕對誤差對比

修正后的點坐標更加接近該點的實際坐標，修正后的相對誤差小于修正前的相對誤差。

5 結(jié) 論

由于目前針對大尺寸一體化質(zhì)量特性測量系統(tǒng)研究開展較少，而現(xiàn)有的質(zhì)量特性標定技術(shù)有著明顯的局限性，為了進一步提高測量精度，本文從設(shè)備的機械結(jié)構(gòu)出發(fā)，基于D-H模型和微分矩陣建立了終端產(chǎn)品坐標系的位置誤差模型，通過對該模型的解算，能夠得到設(shè)備的運動學參數(shù)，即完成了系統(tǒng)的運動學標定。通過實驗，證明了標定后的設(shè)備在定位精度上較標定前有明顯的提高，這為質(zhì)量特性測量的誤差補償提供了實現(xiàn)條件。

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Kinem atical Calibration of Mass Property Measurement System

WANG Chao， ZHANG Xiao-lin， TANGWen-yan， WANG Jun， MA Qiang
（Harbin Institute of Technology，Harbin，Heilongjiang 150001，China）

In the process of measuring mass properties，the measurement of precision is influenced by position accuracy directly.The kinematics equation of the physical construction of the equipment is established with D-H transformation matrix.The relational equation between equipment terminal position error and link D-H parameter error is present.The calibration points position in different pose aremeasured with laser tracker，then the real D-H parameters are obtained by solving calibration equation，which is established by position error and Jacobian matrix.In the end，the calibrated results are verified by simulation.The result shows that positioning accuracy of the equipment is improved obviously through calibrating.

Metrology；Mass propertymeasurement；Kinematic；D-H model；Calibration

TB932

A

1000-1158（2014）06-0595-04

10．3969／j．issn．1000-1158．2014．06．16

2012-09-04；

2013-02-19

王超（1984－），男，黑龍江哈爾濱人，哈爾濱工業(yè)大學在讀博士研究生，主要研究方向為大尺寸飛行器質(zhì)量特性測量。wangchao1984＠hit.edu.cn