李曉華，王寶基，薛中會

（河南理工大學物理化學學院，河南 焦作 454000）

磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的參數(shù)優(yōu)化及減振效果

李曉華，王寶基，薛中會

（河南理工大學物理化學學院，河南 焦作 454000）

在調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的基礎(chǔ)上，將黏性阻尼器換成電磁阻尼器，建立了3個自由度磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)的力學模型及其運動學方程。利用傅里葉變換導出了該系統(tǒng)隨外激勵變化的傅里葉響應函數(shù)。根據(jù)固定點法和參數(shù)組合篩選法對系統(tǒng)的參數(shù)進行了優(yōu)化處理，得到了最優(yōu)頻率比、電阻尼比和耦合參數(shù)。減振效果顯示，磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器比調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的減振效果提高了20%左右。

調(diào)諧質(zhì)量阻尼器；磁耦合；參數(shù)優(yōu)化；傅里葉變換

0 引言

目前，為了減輕外激勵作用而引起建筑物的振動，許多被動控制器已成功地安裝在世界各地的高聳建筑物和塔上，如美國紐約的Citicorp中心，波士頓的John Hancock塔，澳大利亞悉尼Centerpoint塔等。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（TMD）是被動控制器之一，它能使主體結(jié)構(gòu)的振動得到很好的抑制［1－6］。目前，一些研究發(fā)現(xiàn)，在TMD的基礎(chǔ)上加上磁場能達到更好的減振效果，如磁耦合減振器在梁的減振方面的研究有：文獻［7］分析了當機械部分達到很好的減振效果時的耦合參數(shù)的取值范圍，以及非線性時的分岔和混沌與耦合參數(shù)的關(guān)系；文獻［8］研究了多個有磁耦合的減振器串聯(lián)時的穩(wěn)定邊界條件和分岔情況以及對應Lyaponov指數(shù)；文獻［9］研究了磁TMD對梁的減振效果，結(jié)果顯示在參數(shù)沒有取最優(yōu)的條件下，減振效果也比TMD的減振效果好。就目前情況來看，磁耦合減振器在高聳結(jié)構(gòu)減振方面的研究還較為少見。本文在調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的基礎(chǔ)上，將黏性阻尼器換成電磁阻尼器，建立了磁耦合調(diào)諧質(zhì)量阻尼器（MC-TMD），系統(tǒng)地對MC-TMD系統(tǒng)的參數(shù)進行了優(yōu)化研究，并進一步比較了TMD和MC-TMD的減振效果。

1 模型和運動方程

為了便于分析MC-TMD的動力學特性，考慮3個自由度的力學模型，如圖1所示。該模型是在調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的基礎(chǔ)上去掉黏性阻尼器，加上了電磁學部分形成電磁阻尼器，并通過力磁耦合把電磁學部分和原有的機械部分形成一個整體。調(diào)諧質(zhì)量阻尼器是由質(zhì)量m1與受外激勵的振蕩器相連，質(zhì)量m2放在質(zhì)量m1上，質(zhì)量m2通過一個剛度系數(shù)為k2的彈簧與質(zhì)量m1相連；電磁學部分是由電阻R、電感L和電容C組成的永久性磁鐵。電磁學部分的作用是：當主體結(jié)構(gòu)在遭受到外激勵作用時，主體結(jié)構(gòu)和TMD之間發(fā)生相對運動，帶動線圈在磁場中運動，引起線圈磁通量的變化，產(chǎn)生感應電動勢，作為電路的電源，同時通電線圈的運動會產(chǎn)生安培力，作為運動線圈的阻力來阻礙兩者之間的相對運動，從而達到減振的效果。

圖1 有磁耦合的TMD結(jié)構(gòu)模型

根據(jù)牛頓定律和基爾霍夫定律，考慮安培力和感應電壓的貢獻，系統(tǒng)的微分方程如下：

式中，m1和m2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量；x1和x2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的位移；“·”表示對時間求導；c為主體結(jié)構(gòu)的阻尼系數(shù)；k1和k2分別為主結(jié)構(gòu)和TMD的剛度；B為線圈所在處的磁場強度；l為在磁場B→m中線圈的有效長度；P（τ）為系統(tǒng)受到的簡諧激勵力；q為電容器極板上的瞬時電量；L、R和C分別為電感、電阻和電容。

為了便于參數(shù)優(yōu)化的研究，下面對式（1）進行無量綱化處理，設(shè)無量綱變量為：

式中，Q0為電容器的參考電荷電量。

將上面的無量綱變量代入式（1），則方程（1）可化簡為：

式（2）中，y1和y2表示主體的位移和TMD的位移；y3表示電容器的瞬時電量；ζ和γ分別為主結(jié)構(gòu)阻尼比和電阻尼比；λ為電磁阻尼比；α為電力耦合系數(shù)；f1、f2和ω分別為TMD、振蕩電路和簡諧激勵力的固有頻率與主體結(jié)構(gòu)的固有頻率的比值；F0為簡諧激勵力的無量綱幅值；t為無量綱時間。

簡諧激勵力F0cos（ωt）傅里葉函數(shù)存在，并且初始條件為零，對方程（2）兩邊進行傅里葉變換可得

式中，Y1（ω），Y（ω），Y3（ω），F(xiàn)（ω）分別表示系統(tǒng)響應y1（t），y2（t）－y1（t），y3（t）和外激勵f（t）的傅里葉變換。由方程（3）得到外激勵和系統(tǒng)響應之間的傅里葉變換關(guān)系，

則系統(tǒng)主體結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)為：

2 最優(yōu)頻率比的求解

2.1 理論求解

為了便于最優(yōu)頻率比的獲取，將主體結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)表示如下：

在對附著在無阻尼結(jié)構(gòu)上TMD的最優(yōu)設(shè)計研究中發(fā)現(xiàn)，存在兩個固定點的頻率，使主系統(tǒng)的振幅與TMD的阻尼無關(guān)［10］。本文模型是有阻尼的主體結(jié)構(gòu)，在這里假定該模型也存在兩個固定點頻率，在此頻率下，主體結(jié)構(gòu)的振幅與TMD的電磁阻尼無關(guān)，即無論如何改變其他參數(shù)，這兩個固定點頻率所對應主體結(jié)構(gòu)的幅值保持不變。根據(jù)這一假設(shè)，將存在λ＝0和λ＝∞時所對應的傅里葉函數(shù)模相等，即

由于μ≠0，ω≠0，所以式（7）就變成了關(guān)于ω2的一元二次方程，則有

方程（9）化簡后得

由式（8）和式（11）可得最優(yōu)頻率比為：

這樣就得到了附著在阻尼結(jié)構(gòu)上CD-TMD的最優(yōu)頻率比。如果是單自由度無阻尼結(jié)構(gòu)（即ζ＝0），結(jié)果將與文獻［11］的TMD系統(tǒng)最優(yōu)頻率比表達式［1／（1＋μ）］相一致。由式（12）可以看出：最優(yōu)頻率比只與主體結(jié)構(gòu)的阻尼比和質(zhì)量比有關(guān)，與其他的物理參數(shù)均無關(guān)。由式（12）得到的最佳頻率比，在后面的參數(shù)優(yōu)化討論中，結(jié)合固定點的縱坐標為峰值，獲得最優(yōu)耦合參數(shù)及電系統(tǒng)阻尼比，使主體結(jié)構(gòu)位移的傅里葉函數(shù)的幅值達到最小值，從而使主體結(jié)構(gòu)在遭受更寬能量范圍的外激勵的響應減小，或者能使更寬范圍固有頻率的主體結(jié)構(gòu)響應得到抑制。

2.2 數(shù)值驗證

為了驗證附著MC-TMD的阻尼輕質(zhì)結(jié)構(gòu)存在兩個‘固定點’的可行性，本文利用數(shù)值計算方法對其進行了模擬?？紤]質(zhì)量比μ＝0.01和μ＝0.02，主體結(jié)構(gòu)阻尼比為ζ＝0.01和ζ＝0.02。由于ζ?1，4ζ2可以忽略不計，這樣最優(yōu)頻率比就簡化為［1／（1＋μ）］。對μ＝0.01，可以求得對應的頻率比為0.99，并將頻率比［1／（1＋μ）］代入方程（7），求出此條件下對應的兩個固定點的理論值為1.029 4和0.959 2（考慮到固定點的頻率為正）；同理，對于μ＝0.02，可以得到兩個固定點的理論值為1.038 1和0.939 5（考慮到固定點的頻率為正）。

利用數(shù)值計算方法可以獲得主體結(jié)構(gòu)響應的傅里葉函數(shù)隨外激勵頻率比的變化曲線，如圖2所示。當阻尼比ζ＝0.01時，不同的耦合參數(shù)λ的相交點和固定點非常接近，見圖2a和圖2b；當阻尼比ζ＝0.02時，不同的耦合參數(shù)λ的相交點和固定點比較接近，見圖2c和圖2d。從圖2中可以看出：主體結(jié)構(gòu)的阻尼比越小，固定點越趨近于一點，反之，固定點就越分散。在實際工程中，目前都向著高強輕質(zhì)的方向發(fā)展，主體結(jié)構(gòu)的阻尼比越來越小，因此‘固定點’法是可行的。

圖2 CD-TMD系統(tǒng)主體結(jié)構(gòu)位移的傅里葉函數(shù)

3 數(shù)值方法進行參數(shù)優(yōu)化

參數(shù)的選取原則是：調(diào)控不同的耦合參數(shù)λ，使主體結(jié)構(gòu)位移的傅里葉函數(shù)變化曲線的交點A和B在同一水平線上，設(shè)法降低這兩點的傅里葉函數(shù)模高度，并使其成為曲線上的最高點。這樣就可以使主體結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)模的峰值被限制在A點和B點所對應的傅里葉函數(shù)模之下。由于在主結(jié)構(gòu)的傅里葉函數(shù)表達式中參數(shù)α和λ總是以αλ2的形式出現(xiàn)，為了參數(shù)優(yōu)化的方便，這里將αλ2看成一個參數(shù)，并設(shè)為β，這樣傅里葉函數(shù)的表達式中的參數(shù)就可減少為：主結(jié)構(gòu)和TMD的質(zhì)量比μ，TMD和主體結(jié)構(gòu)的固有頻率比f1，LC振蕩電路和主體結(jié)構(gòu)的固有頻率比f2，耦合參數(shù)γ、β。參數(shù)f2、γ和β最優(yōu)值的選取原則，使傅里葉函數(shù)的表達式分別對f2、γ和β求導，并使導數(shù)在處為零，即，求出相應的參數(shù)f2、γ和β值，這些值就是它們最優(yōu)值。但由于傅里葉函數(shù)的表達式比較復雜，TMD最優(yōu)參數(shù)的解析式較復雜，很難求解。這里，把主體結(jié)構(gòu)響應的傅里葉函數(shù)模的峰值最小作為優(yōu)化目標，利用Matlab進行數(shù)值計算，尋求參數(shù)f2、γ和β的最優(yōu)值，如圖3所示。這里采用組合篩選法尋找參數(shù)f2、γ和β最優(yōu)值，即將f2、γ和β的取值進行一一組合，求出每一組所對應的主體結(jié)構(gòu)響應的傅里葉函數(shù)模的峰值，那么所有峰值中的最小值所對應的f2、γ和β，即為和βopt。這里，f2、γ和β的步長分別為0.000 1、0.005 0和0.001 0，精度可分別達到0.01%、0.50%和0.10%。在實際工程中要想達到更高的精度，則只需改變步長就可以了。

為了便于在設(shè)計中直接選用MC-TMD的最優(yōu)參數(shù)，將不同質(zhì)量比μ和不同主體結(jié)構(gòu)阻尼比ζ所對應的最優(yōu)TMD參數(shù)γopt和βopt，以及振動傅里葉函數(shù)模峰值的最小值列于表1中。在表1中還給出了f2＝1時的最優(yōu)參數(shù)γopt和βopt以及此時的。比較兩者可以看出：在相同的質(zhì)量比和阻尼比條件下，兩種情況的的值相差非常小。因此，在工程計算中為了方便起見，f2的值可以直接取1。由表1中的數(shù)據(jù)可看出：當質(zhì)量比一定時，隨著主結(jié)構(gòu)阻尼比的增加參數(shù)f2、γ和β的最優(yōu)值的變化非常小，但是減振效果變化卻非常大。但對于阻尼比一定而質(zhì)量不同時，振蕩回路最優(yōu)阻尼比γopt、最優(yōu)參數(shù)βopt變化就相對較大一些。由此看來，質(zhì)量比對優(yōu)化參數(shù)的影響大于阻尼比的影響。

圖3 參數(shù)優(yōu)化步驟

表1 MC-TMD系統(tǒng)最優(yōu)參數(shù)設(shè)計

4 減振效果的比較

下面通過討論MC-TMD和普通TMD在主體結(jié)構(gòu)阻尼比和質(zhì)量比相同條件下的減振情況，對它們的減振效果進行比較。這里取ζ＝0.01、μ＝0.01和ζ＝0.02、μ＝0.01，對于普通TMD采用文獻［12］中的最佳頻率比和阻尼比的設(shè)計：

而對MC-TMD，采用本文所獲取的優(yōu)化參數(shù)。通過主體結(jié)構(gòu)的響應隨外激勵頻率比變化的曲線來比較兩者的減振效果，如圖4所示。從圖4中可以看出：當主體結(jié)構(gòu)的固有頻率和外激勵力的頻率達到共振時，兩者的減振效果有較大的差別，MC-TMD的優(yōu)勢就突顯出來了。很明顯，無論是大阻尼還是小阻尼，MC-TMD在較寬的頻率范圍，其主體結(jié)構(gòu)傅里葉函數(shù)的模趨于穩(wěn)定，并且MC-TMD比普通TMD的減振效果也有顯著的提高，其減振效果提高了20%左右。

5 結(jié)論

（1）主結(jié)構(gòu)的最優(yōu)阻尼比只與主體結(jié)構(gòu)的阻尼比和質(zhì)量比有關(guān)，與其他的物理參數(shù)均無關(guān)，并且當阻尼比為零時，與文獻［11］的TMD系統(tǒng)最優(yōu)頻率比表達式［1／（1＋μ）］相一致。

（2）質(zhì)量比對振蕩回路最優(yōu)阻尼比γopt、最優(yōu)參數(shù)βopt的值影響較大，而主結(jié)構(gòu)阻尼比對上述參數(shù)的影響幾乎可以忽略不計；LC振蕩電路和主體結(jié)構(gòu)的固有頻率比f2取1和取最優(yōu)值減振效果幾乎一樣，因此在工程計算中可以直接取1。

圖4 外激勵頻率比對減振效果的影響

（3）在相同主體結(jié)構(gòu)和相同TMD下，頻率比在1附近（即共振）時，無論是大阻尼還是小阻尼，MCTMD比TMD的減振效果有顯著的提高，其減振效果提高了20%左右。

在風振多發(fā)的地區(qū)還可以將電阻轉(zhuǎn)換成電爐絲將風能轉(zhuǎn)換成熱能，制成風能熱水器。這樣既能減振又能轉(zhuǎn)害為寶。

［1］Benedikt W，Glauco F.Assessment of Long-term Behavior of Tuned Mass Dampers by System Identification［J］. Engineering Structures，2010，32（11）：3670－3682.

［2］ Moutinho C.An Alternative Methodology for Designing Tuned Mass Dampers to Reduce Seismic Vibrations in Building Structures［J］.Earthquake Engineering＆Structural Dynamics，2012，41（14）：2059－2073.

［3］ Lu X L，Ding K，Shi W X.Tuned Mass Dampers for Human-Induced Vibration Control of the Expo Culture Centre at the World Expo 2010 in Shanghai，China［J］.Structural Engineering and Mechanics，2012，43（5）：607－621.

［4］ 李曉華，王寶基，閆安志.雙邊塑性碰撞調(diào)諧質(zhì)量阻尼器的位置控制［J］.河南科技大學學報：自然科學版，2012，33（2）：92－96.

［5］ 李曉華，閆安志.基于塑性碰撞的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器參數(shù)優(yōu)化研究［J］.河南理工大學學報：自然科學版，2009，28（3）：340－346.

［6］ Rakicevic Z T，Bogdanovic A，Jurukovski D.Effectiveness of Tune Mass Damper in the Reduction of the Seismic Response of the Structure［J］.Bulletin of Earthquake Engineering，2012，10（3）：1049－1073.

［7］ Yamapi R.Dynamics of an Electromechnical Damping Device with Maganetic Coupling［J］.Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2006，11（8）：907－921.

［8］ Woafo P，Yamapi R，Chabi O J B.Dynamics of a Nonlinear Electromechnical System with Multiple Function in Series［J］. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation，2005，10（3）：229－251.

［9］ Bae J S，Hwang J H，Roh J H，et al.Vibration Suppression of a Cantilever Beam Using Magnetically Tuned-Mass-Damper［J］.Journal Sound of Vibration，2012，331（26）：5669－5684.

［10］ Mallik A K.Principles of Vibration Control［M］.New Delhi：Affiliated East West Press Pvt Ltd，1990.

［11］ Den H J P.Mechanical Vibrations［M］.4 ed.New York：McGraw Hill，1956.

［12］ Warburton G B.Optimum Absorber Parameters for Various Combinations of Response and Excitation Parameters［J］. Earthquake Engineering and Structural Dynamics，1982，10（3）：381－401.

TU473

A

1672－6871（2014）04－0086－06

國家自然科學基金項目（11003003）；河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃基金項目（112300410277）；河南省科技廳重點攻關(guān)項目（122102310279）；河南省高校青年骨干教師基金項目

李曉華（1976－），女，河南許昌人，實驗師，碩士，研究方向為振動、沖擊和減振.

2013－11－01