李 雪， 高滿屯， 趙 軍

(1. 蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2. 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

Li Xue1, Gao Mantun2, Zhao Jun1

(1. School of Mechatronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China; 2. School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical Universit y, Xi’an Shaanxi 710072, China)

由物體線框模型構(gòu)建表面模型研究綜述

李 雪1， 高滿屯2， 趙 軍1

(1. 蘭州交通大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730070；2. 西北工業(yè)大學(xué)機(jī)電學(xué)院，陜西 西安 710072)

三維重建過程中線框模型往往作為中間模型出現(xiàn)，由于線框模型的二義性以及過于簡單的信息制約了它的應(yīng)用，通常都要將其轉(zhuǎn)換為表面模型或?qū)嶓w模型。該文主要圍繞三維重建中線框模型的表面構(gòu)建問題，分析其中所面臨的難點(diǎn)。根據(jù)三維重建源對象的不同，對直接從線框模型提取特征構(gòu)建表面模型、面向線框模型從單幅線圖構(gòu)建表面模型以及基于多面投影圖構(gòu)建表面模型三個方面，綜述了當(dāng)前對線框模型進(jìn)行表面構(gòu)建的方法。在此基礎(chǔ)上指出研究中尚存在的問題并展望未來的發(fā)展趨勢。

三維重建；線框模型；表面構(gòu)建；表面模型

三維重建是計(jì)算機(jī)視覺的研究重點(diǎn)和熱點(diǎn)之一，它的主要任務(wù)是從所獲得的圖形或圖像二維信息中提取三維信息，并通過對這些信息進(jìn)行分類、分析和綜合等處理，求解物體的三維信息并在三維空間中構(gòu)造出與二維信息對應(yīng)的三維形體，恢復(fù)形體的點(diǎn)、線、面及其拓?fù)潢P(guān)系，實(shí)現(xiàn)形體的重建。而在計(jì)算機(jī)中表示三維形體的模型，按照幾何特點(diǎn)進(jìn)行分類，通常有3種：線框模型、表面模型和實(shí)體模型。

在許多從圖形、線圖或者圖像的三維重建過程中，作為中期視覺結(jié)果，往往會有一個中間過渡模型——線框模型出現(xiàn)。線框模型是用頂點(diǎn)和鄰邊來表示形體，其中的邊可以是直線也可以是曲線，它對形體的表示有時會具有二義性。對于非平面體線框模型的表示也存在一定問題，另外由于線框模型不具有表面信息，不能明確給定點(diǎn)與形體之間的內(nèi)外關(guān)系，因此線框模型不能用來處理CAD/CAM中的許多問題，如明暗色彩圖、消隱圖、加工處理等。三維重建的目的是要獲得一個完整的三維形體，這就需要把線框模型轉(zhuǎn)換為表面模型或?qū)嶓w模型，其中關(guān)鍵的環(huán)節(jié)即是要對線框模型構(gòu)建表面。

雖然對線框模型構(gòu)建表面在多個領(lǐng)域都有研究，但現(xiàn)有文獻(xiàn)中缺乏比較全面的綜述性介紹。本文根據(jù)三維重建所使用源對象的不同，分三種情形對表面構(gòu)建方法進(jìn)行介紹與分析，即：從線框模型提取特征構(gòu)建表面模型、面向線框模型從單幅線圖構(gòu)建表面模型以及通過多面投影圖構(gòu)建表面模型。

1 從線框模型提取特征構(gòu)建表面模型

自上世紀(jì) 80年代初期以來，計(jì)算機(jī)實(shí)體模型表示技術(shù)逐步成熟并顯示出其巨大的優(yōu)越性以后，線框模型向表面模型或?qū)嶓w模型的轉(zhuǎn)換就成了一個重要的問題。根據(jù)線框模型信息構(gòu)建其表面，途徑主要有兩種，一種是根據(jù)線框模型的拓?fù)湫畔⑦M(jìn)行表面構(gòu)建，另一種是根據(jù)線框模型的幾何信息進(jìn)行構(gòu)建。

最早由Markowsky和Wesley[1]對多面體的線框模型向?qū)嶓w模型的轉(zhuǎn)換進(jìn)行了研究。他們利用線框模型包含的幾何信息，用兩個鄰接的直線邊定義一個面和該面的方程，并搜索該面上的所有邊，在這些邊中尋找潛在的面回路。算法主要有六步：①檢查輸入數(shù)據(jù)的一致性；②尋找相交邊組成的平面圖；③計(jì)算潛在面回路；④檢查矯正非法潛在面；⑤計(jì)算侯選體塊；⑥生成實(shí)體模型。其算法基于代數(shù)拓?fù)洌ㄟ^搜索并刪除連接兩個邊回路或面回路的“bridge”，實(shí)現(xiàn)冗余的邊或面的剔除，利用一個包含所有侯選體塊和面回路的決策樹生成實(shí)體模型。其算法不能處理含有孔洞的多面體線框模型和含有曲線邊的線框模型。Gujar和 Nagendra[2]在文獻(xiàn)[1]算法的基礎(chǔ)上，提出首先由候選面構(gòu)造侯選子立體的方法，利用平面的法向量和組成平面回路的方向劃分出子空間得到侯選子立體，通過將子立體分類減少搜索空間進(jìn)而優(yōu)化重建過程。

Ganter和Uicker[3]將線框模型視為一個獨(dú)立于物體表面類型的圖，基于圖論理論改進(jìn)了 Cobb[4]的方法，通過一個展開樹搜索出一系列獨(dú)立的回路，為了避免假面，這些回路之間具有最少的公共邊數(shù)。使用試探法使得回路之間具有最小的重疊性，兩個回路之間的重疊性定義為它們之間的公共邊數(shù)。用重疊性總和較小的回路逐步替換總和較大的回路，最終達(dá)到所有回路具有最小重疊性。通過M?bius規(guī)則確定各個表面的方向，最后利用射線追蹤法檢查整個立體的合法性。Courter和 Brewer[5]后來又提出了基于基本回路的線框模型到實(shí)體模型的轉(zhuǎn)化拓?fù)浞椒?。算法核心思想類似于文獻(xiàn)[3]的算法，但卻具有更好的回路收縮策略。例如對一個線框模型(如圖1)，按照文獻(xiàn)[3]的方法生成各邊的展開樹(如圖2)，從中搜索出基本回路(如圖3)。利用各個回路之間的“異或”操作，將基本回路轉(zhuǎn)換為面回路(如圖4)。進(jìn)行“異或”操作轉(zhuǎn)換回路在理論上是基于兩條原則：一是一個圖中存在一個完整的基本回路集合，其中沒有一條邊會出現(xiàn)在超過兩個以上的回路中；二是當(dāng)一個圖中所有回路的邊數(shù)總和最小時，這些回路是真實(shí)表面。該算法雖然幾何意義明顯，但在最終表面回路中總有一個 “封閉回路”面環(huán)不能被提取出來。算法對于對稱度很高的線框模型，所產(chǎn)生的基本回路矩陣十分龐大，并且對于基本回路進(jìn)行重疊邊消除時，計(jì)算耗時較多。

圖1 線框模型

圖2 生成樹

圖3 基本回路

圖4 基本回路經(jīng)過異或操作轉(zhuǎn)換為表面

Hanrahan[6]提出了一種完全利用拓?fù)湫畔⒌霓D(zhuǎn)換方法，基于平面嵌入技術(shù)，將線框圖嵌入一個平的二維頂點(diǎn)、邊圖中，其中各邊除了頂點(diǎn)外無交點(diǎn)，產(chǎn)生的面域即表示相應(yīng)形體的表面。該方法對無二義性和無孔洞形體具有較好的適應(yīng)性，但由于對一個線框圖要求具有唯一的平面嵌入體，要求線框圖中各頂點(diǎn)必須都為3連接。文獻(xiàn)[7-8]均綜合利用了線框模型的拓?fù)湫畔⒑蛶缀涡畔?，研究了將線框模型轉(zhuǎn)換為實(shí)體模型的方法。文獻(xiàn)[7]首先根據(jù)相交兩條邊確定一個表面，然后提取所有位于該表面上的棱線，并在其中按照順(逆)時針方向搜索回路，處理完所有的相交邊后，根據(jù)“一條邊屬于且僅屬于兩個面”原則，檢測非法回路和非法邊。對于共平面的嵌套回路利用射線法根據(jù)奇偶原則確定點(diǎn)與一個回路的包含關(guān)系，其方法可以處理包含孔洞的模型。但算法重復(fù)計(jì)算過多，效率較低，且不能處理頂點(diǎn)度數(shù)大于3的立體。Li和Zhang[9]研究了假面的判別快速算法使其復(fù)雜度達(dá)到線性。趙軍等[10]也提出了一種綜合利用拓?fù)浞椒ㄅc幾何方法基于投影的線框模型表面構(gòu)建新方法，通過投影降低維數(shù)，在投影圖中搜索最小回路，作為潛在表面回路。算法降低了問題的時間和空間復(fù)雜度同時還具有較廣泛的形體適應(yīng)域。趙軍等[11-12]在對含曲棱線線框模型的表面重建研究中，基于曲直分治思想，進(jìn)行表面構(gòu)建。特別是在對含曲棱線的潛在表面回路搜索研究中，給出一種適用于曲面的回路搜索最小轉(zhuǎn)角法，結(jié)合矢量混合積驗(yàn)證搜索曲面上最小回路。其方法可處理含有任意位置的二次曲表面的線框模型，并能準(zhǔn)確判別二次曲面的類型。

絕大部分基于圖的方法都是在無向圖中提取表面，也有人提出過基于有向圖提取線框模型表面的算法，通過有向圖代替原始無向圖生成一個新的連接結(jié)構(gòu)，方便了線框模型表面的提取，但所處理的對象僅限于三連接的無孔洞平面體。

2 面向線框模型從單幅線圖構(gòu)建表面模型

三維重建中的模型有時采用基于外部特征來表示，有時采用基于模型的表示方法，基于模型的表示方法相對有利于圖像或線圖場景中三維物體的理解，因而相對應(yīng)用的較多。而基于模型的三維物體重建通常采用基于幾何特征的方法。該方法以對象為中心進(jìn)行表達(dá)，通常使用三維CAD 模型對物體進(jìn)行描述。

Marill[13]利用一個簡單的優(yōu)化方法模擬人類看圖的感知，對單幅二維線圖進(jìn)行了三維線框恢復(fù)，后來Leclerc和Fischler[14]在Marill方法的目標(biāo)函數(shù)中添加了一個平面約束改進(jìn)了線框投影中表面的搜索。但他們的方法也僅能重建簡單的無孔洞多面體。Shpitalni和Lipson[15]提出了在進(jìn)行面識別和基于面構(gòu)造已知的情況下從線圖解釋三維對象。他們的方法能處理平面和圓柱面適用于較大范圍的對象，可以是流形或非流形體。但算法不能處理含有內(nèi)表面的對象。Liu[16]把面識別公式化為圖中的最大權(quán)重問題，采用深度優(yōu)先搜索算法(depth first search，DFS)查找所有的回路；然后利用最大權(quán)重從潛在面中選擇真實(shí)表面。為了提高算法回路的搜索效率，又引入了遺傳算法對回路查找方法進(jìn)行了優(yōu)化。

Lipson和Shpitalni[17]在假設(shè)利用邊緣檢測方法已經(jīng)精確得到線圖的情況下，結(jié)合線圖中的幾何信息和圖像中的陰影信息，并考慮節(jié)點(diǎn)位置的不確定性來恢復(fù)反射模型精確的表面形狀。儲珺等[18]對畫隱線圖給出了一種滿足直線表示要求的空間直線坐標(biāo)表示法，根據(jù)透視或軸測投影線圖中隱含的直線與平面之間的從屬關(guān)系建立了約束方程，通過求解約束方程得到平面立體上直線和平面的參數(shù)，進(jìn)而得到平面立體的三維信息。Prakoonwit和Benjamin[19]還研究了將圖像簡化為線圖再進(jìn)行表面重構(gòu)。

Lee和Fang[20-21]提出的基于立方角點(diǎn)進(jìn)行三維重建的方法，其計(jì)算復(fù)雜度與待重建的物體平面數(shù)量成線性關(guān)系，是一種頗為高效的方法。但是其方法僅適用于線圖中頂點(diǎn)度數(shù)為3的情況，具有較大的局限性。Xue等[22]利用化整為零策略進(jìn)行復(fù)雜多面體表面重建。把一個物體通過內(nèi)平面拆分成多個簡單的組成部分，分別進(jìn)行表面構(gòu)建，然后合并相鄰部分的公共頂點(diǎn)，將各部分的重建結(jié)果整合在一起。

根據(jù)單幅線圖進(jìn)行三維重構(gòu)，由于線圖所含信息少，且線圖的產(chǎn)生過程中可能經(jīng)過了仿射和透視變換，對于重構(gòu)有較大的難度，因此已有的方法大都只適合于簡單的多面體重構(gòu)。

3 基于多面投影圖構(gòu)建表面模型

通過工程圖進(jìn)行形體的重建研究也有三四十年的歷史了。在上世紀(jì)80到90年代，計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)工具軟件還處在發(fā)展初期，同時對于工程圖的識別也僅是停留在諸如矢量掃描、符號識別等低層次的處理上面。文獻(xiàn)[23]曾對此期間的研究進(jìn)行過較詳細(xì)的綜述。

從上世紀(jì) 90年代以后，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和相關(guān)學(xué)科的研究發(fā)展以及計(jì)算機(jī)硬件技術(shù)的提高和成本的下降。由工程圖重建三維形體又引起了學(xué)者們的關(guān)注，并進(jìn)行了大量的研究，取得了一些顯著成果。總體來說，根據(jù)所采用的重建方法、最終形體表示方法的不同主要有兩大類：面向體的重建方法和面向線框的重建方法。

面向體的重建方法，即假設(shè)空間形體由一些基元體構(gòu)成，從二維視圖識別出相應(yīng)的三維基元體，然后通過對基元體進(jìn)行各種變換運(yùn)算和布爾運(yùn)算組合成組合體來表示三維形體。具有代表性的研究諸如Lee和Han[24]、陸國棟和彭群生[25]，但總的來說算法能夠重建的形體很有限，自動化程度較低，且在重建過程中不出現(xiàn)線框模型，在此不再贅述。

面向線框的重建方法提出的較早，研究的時間較長，所產(chǎn)生的算法也較多。重建過程多采用自底向上、分層構(gòu)造的策略，利用線圖解釋或投射對應(yīng)關(guān)系求解規(guī)則，從二維信息恢復(fù)三維信息?？傮w來說算法有兩個環(huán)節(jié)：①由二維線圖元素生成三維線框模型；②在線框模型中搜索表面回路，決策確定形體的表面模型。

文獻(xiàn)[26]針對多面體重建給出了自底向上分層構(gòu)造方法的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。其方法主要有5個步驟：①從二維頂點(diǎn)生成三維頂點(diǎn)；②從三維頂點(diǎn)生成三維邊；③從三維邊構(gòu)造三維面；④根據(jù)準(zhǔn)則(小于 3度的頂點(diǎn)和鄰接面?zhèn)€數(shù)小于 2的邊都是假元)刪除重建過程中產(chǎn)生的病態(tài)邊和病態(tài)頂點(diǎn)；⑤由面構(gòu)造三維模型。雖然其方法僅能構(gòu)造很有限的一些多面體，但它卻奠定了自底向上重建三維模型方法的基礎(chǔ)。Wesley和 Markowsky[27]在文獻(xiàn)[1]的基礎(chǔ)上將三維重建推廣到了根據(jù)二維視圖重建三維實(shí)體。推廣后的算法主要包含七個步驟：①檢查輸入數(shù)據(jù)格式；②由2D頂點(diǎn)生成3D頂點(diǎn)；③生成候選邊；④構(gòu)造面環(huán)；⑤引入切割邊；⑥構(gòu)造體環(huán)；⑦決策求解。只是在重建過程中，由于以上每步都需檢測并刪除假元，且需要反復(fù)執(zhí)行投射操作算法，因此算法較為耗時。

Masuda和Numao[28]將基于非流形拓?fù)涞幕诩僭O(shè)的真值維持系統(tǒng)引入三維重建算法。在線框模型中搜索面環(huán)，生成三維形體的表面模型，再由面環(huán)之間的鄰接關(guān)系構(gòu)造單元模型。最后，借助布爾方程表示單元與投影之間的約束，利用推理單元(assumption-based truth maintenance system，ATMS)的合理組合，生成最終的實(shí)體模型。Kuo[29]對二次曲面體的重建做了深入的研究，通過工程圖建立線框模型后，在線框模型上應(yīng)用最小內(nèi)角搜索算法得到所有的候選面，利用決策鏈方法刪除假面，基于M?bius準(zhǔn)則確定面的方向。劉世霞等[30]也給出了一個從工程圖重建二次曲面體的算法，在投影圖中采用最大轉(zhuǎn)角法搜索候選面，根據(jù)流形體的拓?fù)涮卣鹘Y(jié)合工程圖深度和拓?fù)湫畔?，利用啟發(fā)式搜索方法刪除線框模型中的假面，生成最后的形體。耿衛(wèi)東等[31]提出一種混合重建算法。基于面向體的方法分離子視圖，由線圖特征將空間三維形體分解為若干單元盒，每個單元盒包含一個基本體。根據(jù)已分離出的子視圖，采用重建每個單元盒包含的基本體的三維模型。最終合并所有基本體，形成三維形體。在此基礎(chǔ)上龔潔暉[32]為了解決曲表面的重構(gòu)還提出包含部分表面的混合線框模型概念。

張愛軍和薛勇[33]、潘華偉等[34]和鄭鵬飛等[35]對從三視圖中曲面的重建也進(jìn)行了研究，具有代表性的是文獻(xiàn)[33]，它根據(jù)空間二次曲線的投影特征,利用“五點(diǎn)法”從三視圖中構(gòu)造投影曲線，然后應(yīng)用“點(diǎn)對應(yīng)匹配法”由各視圖相應(yīng)的投影曲線構(gòu)造出空間曲線邊的支撐平面，從而建立與三視圖相對應(yīng)的曲面體線框模型。根據(jù)線框模型中相交于一點(diǎn)的兩條非共線邊基于以下三條規(guī)則來構(gòu)造并提取表面信息：①兩條不共線的直線邊決定一個平面；②一條直線邊和一條二次曲線邊相交，若直線邊位于曲線邊的支撐平面內(nèi)，則兩邊決定一個平面；否則決定一個二次曲面；③兩條二次曲線邊相交, 若兩曲線邊的支撐平面重合，則兩邊決定一個平面; 否則決定一個二次曲面。最后根據(jù)二流形體的性質(zhì)和M?bius法則以及正投射規(guī)律, 對候選面進(jìn)行組合判定，將實(shí)有面進(jìn)行裝配, 得到重建結(jié)果的實(shí)體模型。

相對于面向體的工程圖三維重建，面向線框的重建算法形體覆蓋域較大，對于解決較復(fù)雜多面體的投影圖具有較大優(yōu)勢。隨著研究的深入，已有一些面向線框的重建算法，其真實(shí)表面的識別速度和準(zhǔn)確率都能基本符合要求，研究成果也給出了比較實(shí)用的由工程圖重建三維形體的方法。

4 總結(jié)與展望

從模型的線框描述重構(gòu)出三維實(shí)體在工業(yè)設(shè)計(jì)與制造、模式識別、醫(yī)學(xué)等多個領(lǐng)域具有廣闊的應(yīng)用前景，但它本身卻也是一項(xiàng)非常復(fù)雜的求解過程。為線框模型構(gòu)建表面，其中的關(guān)鍵是找出圍成所有真實(shí)表面的棱線回路。根據(jù)文中的綜述，已有的線框模型表面構(gòu)建研究，從構(gòu)建方法上來說其主要是利用拓?fù)湫畔⒑蛶缀涡畔⑦M(jìn)行表面構(gòu)建。不同的方法適用于一定類別的形體域，對于普遍形體缺乏通用性。對于一些簡單的形體，現(xiàn)有方法可以實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確的表面構(gòu)建。但對于較為復(fù)雜的形體，現(xiàn)有方法顯得無能為力。雖然有研究采用分割簡化的辦法來解決復(fù)雜形體的表面重構(gòu)問題，但也僅針對多面體，對于任意復(fù)雜物體的重建方法仍然較為缺乏。對于含曲棱線線框模型的表面構(gòu)建方法研究的較少，簡單的曲面如圓柱面、圓錐面、球面等表面的構(gòu)建，基本得到了實(shí)現(xiàn)，對于具有較為復(fù)雜二次曲面表面的形體，目前基本都采用平曲或直曲分治策略來解決，但形體覆蓋域也較為有限。目前的研究成果距離適用于由基本體相貫、相切、截切等方式組合成的復(fù)雜形體還有很多研究工作要做。綜合運(yùn)用線框模型的幾何信息與拓?fù)湫畔⒉⒔Y(jié)合多種表面構(gòu)建策略是主要的研究方向，而對不同類型的形體如何靈活運(yùn)用不同的表面構(gòu)建方法仍需要進(jìn)一步研究。

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Review on Identifying Faces of Polyhedron Wireframe Models

Wire-frame model usually appears as intermediate model in 3D reconstruction. However, the ambiguity and oversimplified information existing in this kind of model significantly restrict its practical application. It tends to be transformed into surface model and solid model. This paper mainly focuses on surface construction of 3D reconstruction, and the key points during this process are discussed. According to the source object of 3D reconstruction, this paper summarizes surface construction for wire-frame from three aspects: wire-frame transforming directly into surface model, reconstructing 3D model from a single drawing or image by wire-frame, and reconstructing 3D model from multiple projection. And on this basis, it points out the problems to be solved and the development direction for future researches.

3D reconstruction; wire-frame model; surface construction; surface model

TP 391.41

A

2095-302X(2014)05-0663-06

Li Xue1, Gao Mantun2, Zhao Jun1

(1. School of Mechatronic Engineering, Lanzhou Jiaotong University, Lanzhou Gansu 730070, China; 2. School of Mechatronics, Northwestern Polytechnical Universit y, Xi’an Shaanxi 710072, China)

2014-04-17；定稿日期：2014-06-11

甘肅省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(1212RJZA047)

李 雪(1975–)，女，遼寧沈陽人，副教授，碩士。主要研究方向?yàn)镃AD/CAM。E-mail：lzlix@mail.lzjtu.cn

趙 軍(1975–)，男，甘肅古浪人，副教授，博士。主要研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)視覺與模式識別。E-mail：zhaojun@mail.lzjtu.cn