余元

【摘要】學(xué)生在學(xué)習(xí)截交線、相貫線時(shí)往往感到很困難，那么其主要的原因是對(duì)形體分析和基本體表面取點(diǎn)的投影規(guī)律掌握不好，因此，本文通過對(duì)基本幾何體的表面取點(diǎn)進(jìn)行分析，旨在讓學(xué)生掌握表面取點(diǎn)的方法及提高制圖實(shí)際運(yùn)用的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力。

【關(guān)鍵詞】基本體；表面取點(diǎn)；機(jī)械制圖

在中等職業(yè)技術(shù)教育中，《機(jī)械制圖》作為一門專業(yè)覆蓋面極為廣泛的重要技術(shù)基礎(chǔ)課，其基本要求是讓學(xué)生能夠用圖形表達(dá)物體的形狀，并由已經(jīng)畫好的圖樣想象物體的形狀，初步掌握識(shí)讀和繪制機(jī)械圖樣的能力，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力?；倔w表面取點(diǎn)不僅形象地反映了形體的各個(gè)方位，開拓了學(xué)生的思維空間，并且為求截交線和相貫線奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，本文通過對(duì)基本體表面取點(diǎn)的分析論述，旨在讓學(xué)生正確理解和運(yùn)用表面取點(diǎn)。

一、點(diǎn)的投影規(guī)律

任何物體都是由面（平面和曲面）組成的，而面又是由線或者說由點(diǎn)組成的。因此要分析基本體的表面取點(diǎn)，很有必要首先闡述一下點(diǎn)的投影規(guī)律。

點(diǎn)的投影規(guī)律是：點(diǎn)的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸，點(diǎn)的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸；點(diǎn)的H面投影至OX軸的距離等于其W面投影至OZ軸的距離。簡(jiǎn)單地說點(diǎn)的投影規(guī)律就是“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”的投影規(guī)律。視圖中物體表面上的點(diǎn)都滿足點(diǎn)的投影規(guī)律。

二、點(diǎn)、線、面的重要性原理

如果空間點(diǎn)A在某面P上，則該點(diǎn)A的投影一定在面P的同面投影上；如果空間點(diǎn)A在線L上，則該點(diǎn)A的投影一定在線L的同面投影上；如果線L在面P上，則線L的投影一定在面P的同面投影上。這就是說點(diǎn)、線、面的重要性原理，我們?cè)谧鲌D和分析時(shí)一定要靈活運(yùn)用它。

三、基本體的表面取點(diǎn)

任何物體都有可以看成是由若干個(gè)基本體組合而成的，基本體包括平面體和曲面體兩類。平面體的每個(gè)表面都是平面，如棱柱，棱錐；曲面體至少有一個(gè)表面是曲面，如圓柱體、圓錐體、圓球和圓環(huán)體等。

1、表面取點(diǎn)的方法

表面取點(diǎn)首先要對(duì)基本體進(jìn)行形體分析，明確研究點(diǎn)所處的面是平面還是曲面，是一般位置還是特殊位置面，只有注意了點(diǎn)所處表面的特性，才可以選擇正確而又快捷的方法。

（1） 特殊位置面上的點(diǎn)的取點(diǎn)方法（積聚性法）

如果所求的點(diǎn)處于特殊位置面上，在進(jìn)行表面取點(diǎn)時(shí)，按照點(diǎn)的投影規(guī)律，從點(diǎn)的已知投影入手，首先找出該點(diǎn)所處面的具有積聚性的視圖上的對(duì)應(yīng)投影，然后運(yùn)用“長(zhǎng)對(duì)正、高平齊、寬相等”求出該點(diǎn)的第三投影。在三個(gè)視圖中，如果面處于可見位置，則該面上點(diǎn)的同面投影也是可見的，反之為不可見，在標(biāo)注時(shí)一定要注意點(diǎn)的可見性。

（2）一般位置面的點(diǎn)的取點(diǎn)方法（輔助法）

一般位置面上的點(diǎn)在進(jìn)行表面找點(diǎn)時(shí)往往比較困難，也是同學(xué)們感到頭痛的，但只要我們靈活運(yùn)用下述方法，我想都是可以解決的。

輔助直線法：如果某點(diǎn)在椎體的一般位置面上，可以過頂點(diǎn)和已知點(diǎn)作一條輔助直線，求出該直線在基本體表面的投影，并利用點(diǎn)線面重屬性原理，即可求出該點(diǎn)其余投影。

輔助圓法：如果某點(diǎn)在旋轉(zhuǎn)體的一般位置表面，可以過該點(diǎn)作一個(gè)垂直于旋轉(zhuǎn)軸的緯圓，求出該緯圓的基本體表面上的投影，并利用點(diǎn)線面重屬性原理，即可求出該點(diǎn)其余投影。

2、表面取點(diǎn)的應(yīng)用

（1）平面立體表面取點(diǎn)

下面我們以棱錐為例分析平面表面之點(diǎn)。

圖1所示，已知棱錐面△SAC上點(diǎn)M的V面投影（m′）（不可見），求作m和m′′的作圖過程。由分析可知點(diǎn)M所在棱面△SAC為側(cè)垂面，屬于特殊位置平面，該面在W面的投影具有積聚性，故首先運(yùn)用“高平齊”作出點(diǎn)M的側(cè)面投影m′′，再運(yùn)用“長(zhǎng)對(duì)正，寬相等”作出點(diǎn)M的水平投影m。如圖2所示，已知三棱錐面上的點(diǎn)M的V面投影m′（可見），求作另外兩面投影的作圖過程。由分析可知點(diǎn)M所在表面△ABC為一般位置平面，故要用輔助線法作圖。過錐頂S和點(diǎn)M作輔助直線SD，具體作圖步驟：連接s′m′，并延長(zhǎng)a′b′于d′，得輔助線SD的V投影s′d′，再利用“長(zhǎng)對(duì)正”求出SD的H面投影sd上，由點(diǎn)線面的重屬性原理可知水平投影m必在sd上，因此利用“長(zhǎng)對(duì)正”可求得點(diǎn)M在H面的水平投影m。點(diǎn)M的W面投影m′′，則利用“寬相等，高平齊”作s′′d′′求得，也可利用“寬相等，高平齊”由m′和m直接求出。

（2） 曲面立體表面取點(diǎn)

下面以圓錐為例來分析曲面表面之點(diǎn)。

圖3

如圖3所示，已知圓錐面上一點(diǎn)M的V面投影m′，求作點(diǎn)M的H面投影m和W面投影m′′。由分析可知點(diǎn)M在一般位置平面上，要運(yùn)用輔助線法作圖。具體作圖過程：過m作圓錐軸線的垂直線，交圓錐左右輪廓線于ab，得輔助緯圓的V面投影。再作輔助緯圓的H面的水平投影（以s為圓心，a′b′為直徑畫圓）。運(yùn)用“長(zhǎng)對(duì)正”由m′求得m，再運(yùn)用“寬相等，高平齊”求點(diǎn)M在W面的投影m′′（不可見）

3、關(guān)于表面取點(diǎn)的幾點(diǎn)說明

立體表面取點(diǎn)的關(guān)鍵在于運(yùn)用形體分析，明確研究點(diǎn)的位置。

因此表面取點(diǎn)過程如下：

（1） 分析三視圖，確定立體形狀

（2） 確定點(diǎn)所在的面或線

（3） 根據(jù)點(diǎn)所在面或線的特點(diǎn)，確定其求法

①點(diǎn)所在面的某一投影具有積聚性，直接利用投影關(guān)系求另外兩投影。

②點(diǎn)所在面的所有投影都無積聚性，用輔助線或面求其另兩投影。

③點(diǎn)在某一線（素線或軸線上），直接求其另兩投影。

四、表面取點(diǎn)的運(yùn)用

表面取點(diǎn)的實(shí)際運(yùn)用很多，在求立體被平面所截形成的截交線，兩回轉(zhuǎn)體表面的交線，補(bǔ)視圖中的漏線以及畫三視圖等中都充分應(yīng)用到，在此以求解兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線為例進(jìn)行分析表面取點(diǎn)的運(yùn)用。

兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線一般是一條封閉的空間曲線，因此相貫線上的點(diǎn)具有一般性（僅有少數(shù)點(diǎn)位于特殊位置），兩回轉(zhuǎn)體表面的相貫線是兩立體表面的公共線，因此在求相貫線時(shí)要充分分析兩立體的形狀，對(duì)采用什么樣的輔助平面法很重要。

現(xiàn)舉例來分析表面取點(diǎn)的運(yùn)用。作出圓柱和圓臺(tái)相貫線的投影，如圖4所示

投影分析：兩立體為圓柱和圓臺(tái)，軸線垂直正交，其相貫線為封閉的空間曲線，但前后對(duì)稱，在左視圖上的相貫線具有積聚性，其投影為一個(gè)圓和圓柱在左視圖的投影重合。為了求出相貫線的正面投影和水平投影，要采用輔助面法進(jìn)行求解并且輔助平面選擇水平面。

作圖：1、由于圓柱和圓臺(tái)前后對(duì)稱面處的轉(zhuǎn)向輪廓相交的點(diǎn)為特殊點(diǎn)，首先求出點(diǎn)1′、5′，并運(yùn)用前面特殊點(diǎn)的求解方法做出水平投影1、5。

2、由于圓柱軸線水平面上的相貫線上的點(diǎn)為相貫線的最前點(diǎn)或最后點(diǎn)，因此過圓柱軸線做輔助水平面，截面與圓臺(tái)交線的水平投影為圓，該圓與圓柱外形線的交點(diǎn)3、7為相貫線上的點(diǎn)，因此可以求出正面上的投影3′（7′），因?yàn)榍昂髮?duì)稱，故圖4只標(biāo)出了可見點(diǎn)的名稱（下同）。

3、再作輔助水平面，與兩回轉(zhuǎn)體的截交線分別為圓和直線，但在左視圖上具有積聚性，為平行于底邊的線。找出輔助平面在左視圖上與兩者相貫線的投影圓相交兩點(diǎn)2′′和8′′，并運(yùn)用輔助圓法和點(diǎn)投影知識(shí)做出相貫線在水平面的投影點(diǎn)2、8，同時(shí)應(yīng)用投影知識(shí)求出正面上投影2′（8′）。

4、采用相同的作輔助水平面的方法，可求出圖4中相貫線在左視圖上的點(diǎn)4′′和6′′，再求出水平投影4、6在正面投影4′（6′）。根據(jù)需要還可以多作出一些點(diǎn)的投影，然后按照順序連接各點(diǎn)同面投影就完成相貫線的投影。

綜上所述，立體表面取點(diǎn)關(guān)鍵在于確定研究點(diǎn)的空間位置，知道其所處面的特性，然后用正確的找點(diǎn)方法同時(shí)運(yùn)用形體分析進(jìn)行求點(diǎn)。正確理解和運(yùn)用基本體表面取點(diǎn)在制圖中的藝術(shù)，不僅讓學(xué)生鞏固制圖的基本理論知識(shí)，為學(xué)習(xí)截交線和相貫線打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而且讓學(xué)生嘗到了制圖的樂趣，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力，為最終學(xué)好制圖鋪平了道路。

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