潘勝萍

摘 要：數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象空間形式和數(shù)量關(guān)系方面本質(zhì)屬性的思維形式。它是數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，是數(shù)學(xué)思想與方法的載體。教學(xué)大綱指出：“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提?！痹跀?shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中體會(huì)到：加強(qiáng)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，既可以使學(xué)生加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)理論知識(shí)的理解，又可以培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力，因而顯得尤其重要。

關(guān)鍵詞：多媒體；聯(lián)系生活；數(shù)學(xué)文化；重視體驗(yàn)一、巧用多媒體，喚醒概念的活力

如：在“隨機(jī)事件的概率”教學(xué)中設(shè)計(jì)如下事例：（利用PowerPoint顯示輔以生活中的照片）（1）中國飛人劉翔在2012奧運(yùn)比賽110米欄項(xiàng)目中能否奪冠？（2）河邊垂釣，魚上鉤。（3）購買彩票，能中獎(jiǎng)；（4）梅西射門，球進(jìn)了！以上事例的共同特征是什么？課題引入自然流暢。本節(jié)課的重點(diǎn)是概率的定義，難點(diǎn)是區(qū)別頻率與概率的關(guān)系，如何突破？

教學(xué)者設(shè)計(jì)了如下方案：分組拋硬幣試驗(yàn)，并引入電子表格落實(shí)重點(diǎn)，突破難點(diǎn)。

◆試驗(yàn)步驟：

第一步：在相同條件下，（同一高度，同一方向，同一枚硬幣等）重復(fù)10次實(shí)驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)出“正面向上”出現(xiàn)的次數(shù)（頻數(shù)），計(jì)算出“正面向上”出現(xiàn)的頻率。（頻數(shù)/實(shí)驗(yàn)總次數(shù)）

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第二步：

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第三步：

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實(shí)驗(yàn)結(jié)果匯總與展示。

思考：頻率的取值范圍（ ）

第四步：用Excel繪制頻率折線圖

在這一過程中使學(xué)生認(rèn)識(shí)到Excel的數(shù)據(jù)處理功能，通過列表繪圖得出規(guī)律。

提出問題：

問題1：與其他同學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，你的結(jié)果和他們的一致嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況？

問題2：同學(xué)們將各組的實(shí)驗(yàn)結(jié)果比較，各組的結(jié)果一致嗎？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況

問題3：觀察頻率折線圖，你發(fā)現(xiàn)了什么？（認(rèn)識(shí)隨機(jī)累積數(shù)據(jù)的頻率體現(xiàn)出了一定的“穩(wěn)定性”）

3.頻率與概率的關(guān)系：

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第五步：展示歷史上一些拋擲硬幣的試驗(yàn)結(jié)果。（112頁，表3-2）

第六步：電腦模擬投幣試驗(yàn)

歸納總結(jié)——概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn（A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

討論：事件A的概率P（A）的范圍？

思考：頻率與概率有何區(qū)別和聯(lián)系？

◆頻率與概率的區(qū)別和聯(lián)系：（重點(diǎn)、難點(diǎn)）

（1）頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)穩(wěn)定在概率附近；

（2）頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定；

（3）概率是一個(gè)確定的數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無關(guān)。

通過對(duì)實(shí)例的歸納和辨析對(duì)新問題的特性形成陳述性的理解，繼而與原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系，幫助學(xué)生體會(huì)隨機(jī)事件的隨機(jī)性和規(guī)律性是不矛盾的，是辯證統(tǒng)一的，即隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中體現(xiàn)出隨機(jī)性，在大量重復(fù)試驗(yàn)中體現(xiàn)出規(guī)律性。

二、聯(lián)系現(xiàn)實(shí)生活，讓數(shù)學(xué)概念有意義

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和已有的知識(shí)出發(fā)，創(chuàng)設(shè)生動(dòng)有趣的情境，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率?！甭?lián)系實(shí)際，創(chuàng)設(shè)問題情境，不僅能引導(dǎo)學(xué)生盡快地進(jìn)入緊張愉快的課堂學(xué)習(xí)環(huán)境，而且能激發(fā)學(xué)生探究數(shù)學(xué)知識(shí)的熱情，有利于學(xué)生可持續(xù)發(fā)展，有利于新課標(biāo)所提倡的知識(shí)與技能，過程與方法，情感、態(tài)度與價(jià)值觀的三維目標(biāo)的有效實(shí)現(xiàn)。

用二分法求方程的近似解教學(xué)片段：上課鈴響了，教師首先呈現(xiàn)了李詠主持的節(jié)目“看商品，猜價(jià)格”中的圖片及游戲規(guī)則：給出一件商品，請(qǐng)你猜出它的準(zhǔn)確價(jià)格，我們給的提示只有“高了”和“低了”，給出的商品價(jià)格是0~100之間的整數(shù)，如果你能在規(guī)定的次數(shù)之內(nèi)猜中價(jià)格，這件商品就是你的了。創(chuàng)設(shè)情境競(jìng)猜價(jià)格（事先準(zhǔn)備好兩個(gè)一樣的水晶球，38元），修改游戲規(guī)則：該商品價(jià)格是0~100之間的整數(shù)，在五次之內(nèi)猜中價(jià)格（誤差5以內(nèi)也算猜中）者獲此禮物。

學(xué)生情緒高漲，積極投入競(jìng)猜活動(dòng)中……

教師：在我們數(shù)學(xué)中也有類似問題，解下列方程的實(shí)數(shù)根。

（1）2x-1=0；（2）2x2-x-3=0；（3）x3-x-1=0

學(xué)生能較快地解出方程（1）（2），對(duì)于方程（3）有些困惑，一時(shí)無法下手。

教師：方程（1）（2）有準(zhǔn)確的實(shí)數(shù)根，但方程（3）暫時(shí)求不出它的根，在現(xiàn)實(shí)中我們也沒必要求出它的準(zhǔn)確根，只需求出它的近似解即可。用什么方法求出方程的近似解呢？

學(xué)生4：有點(diǎn)類似剛才的價(jià)格競(jìng)猜，不斷將價(jià)格一分為二，縮小范圍，直至得到所要求的價(jià)格。

教師：不錯(cuò)，這就是所謂的二分法。板書課題：用二分法求方程的近似解。

本節(jié)課的生活背景是學(xué)生所熟悉的，由價(jià)格競(jìng)猜中的兩個(gè)不同要求過渡到求方程的準(zhǔn)確根與近似解，誘發(fā)學(xué)生探索問題的興趣，同時(shí)，教師的主導(dǎo)作用也發(fā)揮得恰如其分，尤其是以思想方法為核心，提煉、點(diǎn)撥、啟發(fā)，既讓學(xué)生有一定的思考空間，又適時(shí)提供必要的幫助，初步了解了“二分法”。所以新課程的引入是在尊重知識(shí)的自然背景，重現(xiàn)新知識(shí)的自然源頭的基礎(chǔ)上引入，突出數(shù)學(xué)概念的抽象建構(gòu)和學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的逐步建構(gòu)。

三、滲透數(shù)學(xué)文化，激發(fā)學(xué)生對(duì)概念的探索熱情

筆者曾在兩個(gè)平行班教學(xué)過對(duì)比課“基本不等式（一）”，在第一個(gè)班級(jí)講解基本不等式變式時(shí)出示實(shí)物紙風(fēng)車，同時(shí)出示圖形，并告訴學(xué)生這是在北京召開的第24屆國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家鄭爽的弦圖設(shè)計(jì)的，看似簡單的圖片卻承載著數(shù)學(xué)文明的進(jìn)程，此圖是用來證明勾股定理的，之前有我國古代的“勾三股四弦五”的說法，現(xiàn)到古希臘《幾何原本》中的一般結(jié)論，鄭爽卻運(yùn)用代數(shù)推理結(jié)合本圖形獲得證明，同時(shí)也將數(shù)形結(jié)合思想提高到一個(gè)重要的地位。筆者之后再設(shè)疑問，告訴學(xué)生這個(gè)圖中就隱含著不等式變式的證明，四邊形ABCD的面積不小于四個(gè)直角三角形的面積。讓學(xué)生欣賞這種數(shù)學(xué)之美，從學(xué)生的臉上可以很清楚地讀到驚訝和感嘆，學(xué)生解決問題的積極性越發(fā)高漲。第二個(gè)班級(jí)按常規(guī)課例上課，結(jié)果在這一章節(jié)單元訓(xùn)練中發(fā)現(xiàn)第一個(gè)班級(jí)學(xué)生在基本不等式應(yīng)用于上明顯要比第二個(gè)班級(jí)得分高，說明這個(gè)內(nèi)容理解了，掌握得比較好。

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數(shù)學(xué)文化內(nèi)部蘊(yùn)含的美有時(shí)不是直觀的美，一旦被學(xué)生發(fā)現(xiàn)將會(huì)對(duì)他們的學(xué)習(xí)起到不可預(yù)計(jì)的效果，數(shù)學(xué)教師可以收集這些數(shù)學(xué)文化內(nèi)容讓學(xué)生欣賞。它們的廣博濃厚，會(huì)激起學(xué)生探索的興趣，發(fā)展學(xué)生的思維能力，使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)的魅力！

四、新舊聯(lián)系，體現(xiàn)概念的必要性

如：復(fù)數(shù)的教學(xué)。

問1：方程x2-1=0的實(shí)根是多少？問2：方程x2+1=0的實(shí)根是多少？

回顧數(shù)系的擴(kuò)充過程。

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①分?jǐn)?shù)的引入，解決了在自然數(shù)集中不能整除的矛盾。

②負(fù)數(shù)的引入，解決了在正有理數(shù)集中不夠減的矛盾。

③無理數(shù)的引入，解決了開方開不盡的矛盾。

④在實(shí)數(shù)集范圍內(nèi)，負(fù)數(shù)不能開平方，我們要引入什么數(shù)，才能解決這個(gè)矛盾呢？——引入虛數(shù)。

虛數(shù)這個(gè)假設(shè)是需要勇氣的，人們?cè)诋?dāng)時(shí)是無法接受的，認(rèn)為它是想象的，不存在的，但這絲毫不影響數(shù)學(xué)家對(duì)虛數(shù)單位i的假設(shè)和研究：第一次認(rèn)真討論這個(gè)數(shù)的是文藝復(fù)興時(shí)期意大利有名的數(shù)學(xué)家“怪杰”卡丹，他是1545年開始討論這個(gè)數(shù)的，當(dāng)時(shí)復(fù)數(shù)被他稱為“詭辯量”。幾乎過了100年笛卡兒才給這種“虛幻之?dāng)?shù)”取了個(gè)名字——虛數(shù)。但是又過了140年，歐拉還是說這種數(shù)只是存在與“幻想之中”并用i（imaginary，即虛幻的縮寫）來表示她的單位。后來德國數(shù)學(xué)家高斯給出了復(fù)數(shù)的定義，但他們?nèi)愿械竭@種數(shù)虛無縹緲，盡管他們也感到他的作用。1830年高斯詳細(xì)論述了用直角坐標(biāo)系上復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)a+bi，使復(fù)數(shù)有了立足之地，人們才最終承認(rèn)了復(fù)數(shù)。到今天復(fù)數(shù)已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)科技中普遍運(yùn)用的數(shù)學(xué)工具之一。如：流體力學(xué)、熱力學(xué)、機(jī)翼理論的應(yīng)用；滲透到代數(shù)學(xué)、數(shù)論、微分方程等數(shù)學(xué)分支。復(fù)數(shù)在理論物理、彈性力學(xué)、天體力學(xué)等方面得到了廣泛應(yīng)用，是現(xiàn)代人才必備的基礎(chǔ)知識(shí)之一。

五、重視體驗(yàn)，從現(xiàn)象去挖掘概念的本質(zhì)

如：橢圓的定義。結(jié)合學(xué)生的已有認(rèn)知，從圓的定義出發(fā)，到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓。在教學(xué)中將學(xué)生分組，每組準(zhǔn)備一條無彈性等長（記為2a）的繩子，通過合作得圓！思考：將定點(diǎn)一分為二，教師在黑板上分別作兩組點(diǎn)A1，A2，B1，B2，C1，C2且有橫向，有縱向（為后面建系得兩種標(biāo)準(zhǔn)方程做準(zhǔn)備），使A1A2B1B2小于繩長，作點(diǎn)P，使PA1+PA2=繩長，由學(xué)生在黑板上操作得圖形，體驗(yàn)橢圓的來源！下面的學(xué)生自由組合進(jìn)行操作，是否都可成功？教師抽第三組學(xué)生在黑板上操作，此時(shí)設(shè)置點(diǎn)C1，C2，使C1C2=繩長或小于繩長。

學(xué)生在實(shí)踐中體會(huì)了橢圓定義的本質(zhì)，并在成功的喜悅和失敗的過程中理解了橢圓的定義，加深了對(duì)橢圓中2a>2c的理解，比通過由教師播放PPT或者利用動(dòng)畫制作演示學(xué)習(xí)定義效果顯著。

以上只是筆者在諸多教學(xué)課堂設(shè)計(jì)中通過學(xué)習(xí)或者自己的創(chuàng)新總結(jié)報(bào)告的一些關(guān)于數(shù)學(xué)的概念教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)。隨著時(shí)代的進(jìn)步、科技的發(fā)展，我們的教學(xué)手段也在不斷地更新，特別是多媒體的應(yīng)用漸入人心，讓多媒體更科學(xué)、更合理、更充分地發(fā)揮教學(xué)作用，注重?cái)?shù)學(xué)與生活、生產(chǎn)的聯(lián)系，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣；直觀歸納，理解相關(guān)概念及本質(zhì)?！白匀弧?shí)在、管用、高效”，巧用多媒體，使抽象的數(shù)學(xué)概念充滿“活力”，勤動(dòng)手，多體驗(yàn)，讓學(xué)生的綜合素質(zhì)得以提升。

參考文獻(xiàn)：

［１］趙振威．中學(xué)數(shù)學(xué)教材教法．上海：華東師范大學(xué)出版社，1990.

［２］楊艷琴．淺談中學(xué)數(shù)學(xué)基本概念的教學(xué)．當(dāng)代教育，2010（4）．

［３］張?。喖s不等于簡單．中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2010（5）．

（作者單位 浙江省金華市曹宅高級(jí)中學(xué)）

?誗編輯 楊兆東