黃云興

摘 要：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出，“圖形變換”屬于“空間與圖形”領(lǐng)域的內(nèi)容，它是空間與圖形中的一個(gè)重要知識(shí)板塊，主要涉及圖形的軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及位似。不同變換之下的圖形之間都具有各自不同的性質(zhì)，這些性質(zhì)不僅能為合理推理提供依據(jù)，同時(shí)也是解決許多實(shí)際問題的重要工具。通過設(shè)置基于基本變換的試題，既可以考查學(xué)生的對基本圖形本質(zhì)的理解，又能培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐與操作能力，形成空間觀念和運(yùn)動(dòng)變化的意識(shí)，因此成為現(xiàn)在中考試題的熱門考題。就這類問題分類解說，以供大家在中考復(fù)習(xí)中作參考。

關(guān)鍵詞：圖形變換；軸對稱變換；平移變換；旋轉(zhuǎn)變換；位似變換

一、圖形變換問題的特征

圖形變換是從變換的角度來研究圖形的，變換作為重要的研究手段和方法，在作圖、探索與發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)與圖形的關(guān)系等方面有著極為廣泛的應(yīng)用。一般以操作探究的形式對這部分知識(shí)進(jìn)行重點(diǎn)考查，任何圖形經(jīng)過“軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)以及位似”等變換后得到的新圖形與原圖形之間僅僅是位置發(fā)生變化，其形狀沒有發(fā)生變化，大小相等或成比例。這些性質(zhì)為合情推理提供依據(jù)，同時(shí)也是解決許多實(shí)際問題的重要工具。

二、圖形變換問題的分類

在平面幾何體系中，我們所見過的幾何圖形的變換方式，主要有軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、位似這幾種。在教材中，我們也只介紹這幾種變換方式，因而只需掌握這幾種變換就可以了。

三、圖形變換問題的解決方法

圖形變換，以確定圖形或物體位置來探索變化規(guī)律，掌握起來并不難。首先要自己動(dòng)手操作，尋找線段或者角之間的變化規(guī)律，大膽地猜想結(jié)果并加以驗(yàn)證。變換前后的圖形，其形狀不改變，大小相等或成比例，只是位置上的變換，軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)所得的圖形是全等形；位似圖形是相似形，所以要注意找準(zhǔn)對應(yīng)點(diǎn)，看清對應(yīng)邊、對應(yīng)角，注意變換性質(zhì)的理解和運(yùn)用。

四、對常見的幾種圖形變換分類解說

1.軸對稱變換型問題

在平面內(nèi)，如果一個(gè)圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠完全重合，這樣的圖形叫軸對稱圖形。軸對稱的性質(zhì)：折疊重合部分一定全等，折痕所在直線就是它們的對稱軸；對稱點(diǎn)之間的連線必被折痕垂直平分；對稱線段所在的直線與對稱軸的夾角相等。在解題過程中要充分運(yùn)用以上結(jié)論，借助輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合相似形、銳角三角函數(shù)等知識(shí)來解決有關(guān)折疊問題，可以使解題思路更加清晰，解題步驟更加簡潔。

分析：此題如果直接去求解，難度比較大，主要的困難在于無法把BD、CD這些已知條件與未知的AD集中到同一個(gè)三角形中，也無法把∠BAC=45°這個(gè)條件用進(jìn)去，導(dǎo)致解決困難。這里通過軸對稱變換，構(gòu)造出正方形AEGF是順利解題的關(guān)鍵。

2.平移變換型問題

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。平移不改變圖形的形狀和大小。中考對圖形平移變換的要求是：理解對應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等；能按照要求畫出平移后的圖形；能應(yīng)用平移變換知識(shí)設(shè)計(jì)簡單圖案等。

3.旋轉(zhuǎn)變換型問題

在平面內(nèi)，把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，這樣的圖形變換叫旋轉(zhuǎn)變換。

旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀和大??；對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角度等于旋轉(zhuǎn)角。這種圖形變換在中考中特別常見，下面分類解析：

4.位似變換型問題

位似變換就是兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，對應(yīng)邊互相平行（或共線），這樣的變換叫位似變換。中考中常利用位似對一個(gè)圖形擴(kuò)大或縮小，或者是求邊、角、周長和面積等。

參考文獻(xiàn)：

[1]顧方東.巧用圖形變換妙解中考試題[J].中國數(shù)學(xué)教育，2010（5）：38-40.

[2]於增輝.平移和旋轉(zhuǎn)在解題中的應(yīng)用[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2005（4）：13-14.

（作者單位 廣東省東莞市石排中學(xué)）