趙琳
一、教材背景分析
本節(jié)內(nèi)容是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì),掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的。本節(jié)課通過從生活與幾何背景中得到基本不等式、證明不等式與回歸生活解決實(shí)際問題的思路,體現(xiàn)新課標(biāo)“數(shù)學(xué)有用”的理念。
二、教學(xué)目標(biāo)
1.知識(shí)與能力:理解掌握基本不等式,并能運(yùn)用基本不等式解決一些簡單問題。
2.過程與方法:按照創(chuàng)設(shè)情景,提出問題→剖析歸納證明→幾何解釋→應(yīng)用(最值的求法、實(shí)際問題的解決)的過程呈現(xiàn)。培養(yǎng)學(xué)生的思維能力,體會(huì)數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)方法。
3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀:通過問題情境設(shè)置,使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)是從實(shí)際中來,通過數(shù)學(xué)思維認(rèn)知世界。
三、教學(xué)重難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):用數(shù)形結(jié)合的思想探索基本不等式的證明過程;用基本不等式解決簡單的最值問題。
教學(xué)難點(diǎn):在幾何背景下抽象出基本不等式的過程;應(yīng)用基本不等式解決實(shí)際問題。
四、教學(xué)方法
本節(jié)課采用觀察—感知—抽象—?dú)w納—探究;啟發(fā)誘導(dǎo)、講練結(jié)合的教學(xué)方法。
五、教學(xué)過程
前面我們學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì),今天我們?cè)趲缀伪尘皢栴}下探討重要的不等關(guān)系。
1.幾何引入,抽象歸納
創(chuàng)設(shè)情景:如圖1是在北京召開的第24界國際數(shù)學(xué)家大會(huì)的
會(huì)標(biāo),會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的,顏色的明暗使它看上去像一個(gè)風(fēng)車,代表中國人民熱情好客。
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正方形ABCD中有4個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長為x,y.
探究一:這張“弦圖”中能找出相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?由圖可知S2>S1,即x2+y2>2xy
探究二:上面不等式可取等號(hào)嗎?當(dāng)直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?,即x=y時(shí),這時(shí)有x2+y2=2xy。
得到初步結(jié)論:x2+y2≥2xy,x,y∈R+
探究三:能給出這個(gè)不等式的代數(shù)證明嗎?證明:x2+y2-2xy=(x-y)2 當(dāng)x≠y時(shí),(x-y)2>0;當(dāng)x=y時(shí),(x-y)2=0;所以,(x-y)2≥0,即x2+y2≥2xy.
探究四:x,y一定滿足x,y∈R+嗎?由探究三的證明過程可知x,y∈R。
結(jié)論:若x,y∈R,則x2+y2≥2xy。(當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),等號(hào)成立)
探究五:如果a>0,b>0,我們用■、■分別代替x、y,可得:得到:a+b≥2■(a>0,b>0)。
通常我們把上式寫作:■≤■(a>0,b>0)。
探究六:能給出這個(gè)不等式的證明嗎?
證明:由于a,b∈R+,于是要證明■≥■,只要證明 a+b≥2■,即證(■)2+(■)2-2■≥0,即(■-■)2≥0,該式顯然成立,所以■≥■,當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)。
2.得出結(jié)論,深化認(rèn)識(shí)
基本不等式:若a,b∈R,則■≤■。(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)
深化認(rèn)識(shí):(1)稱■為a,b的幾何平均數(shù);稱■為a,b的算術(shù)平均數(shù)又可敘述為:兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)。
(2)對(duì)■和■進(jìn)一步的幾何解釋:
如圖2,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是AB上一點(diǎn),AC=a,BC=b,過點(diǎn)C作垂直于AB的弦CD,連接AD,BD。
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根據(jù)射影定理可得:CD=■=■,于是有■<■,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)C與圓心O重合時(shí),即a=b時(shí)等號(hào)成立。
再次證明:當(dāng)a>0,b>0時(shí),■≤■(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立)
3.應(yīng)用舉例,鞏固提高
例1.證明:■≥■(a,b∈R+)。引導(dǎo)學(xué)生證明。
例2.(1)籬笆圍一個(gè)面積為100平方米的矩形菜園,這個(gè)矩形的長、寬各為多少時(shí),所用籬笆最短,最短的籬笆是多少?(2)一段長為36米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園,問這個(gè)矩形的長、寬為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積是多少?
利用基本不等式求最值時(shí),一定要注意三個(gè)限制條件(一正二定三相等)缺一不可。
對(duì)于x,y∈R+,(1)若xy=p(定值),則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),x+y有最小值2■;
(2)若x+y=s(定值),則當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),xy有最大值■。
例3.求下列函數(shù)的最值。(1)若x>2,求y=x+■的最小值。(2)若0 4.反思總結(jié),整合新知 一個(gè)不等式:若a>0,b>0則有■≤■。 兩種思想:數(shù)形結(jié)合、歸納類比思想。三個(gè)注意:求函數(shù)的最大(?。┲禃r(shí)注意:“一正二定三相等”。 5.布置作業(yè),課后延拓 (1)基本作業(yè):課本P100習(xí)題A組1、2題。(2)拓展作業(yè):高考欣賞(2009天津理6)設(shè)a>0,b>0,若■是3a與3b的比例中項(xiàng),則■+■的最小值是( B ) A.8 B.4 C.1 D.■ (作者單位 陜西省西安中學(xué))