孫娟

摘 要：對于橢圓的基本問題，學(xué)生比較容易掌握，但是教學(xué)中如何將基本的解析幾何問題講透、分析深刻，卻是我們提高教學(xué)有效性的一種比較好的手段. 本文從一道基本的解析幾何問題出發(fā)，以多解的視角分析探討，進而幫助教師思考教學(xué)的有效性.

關(guān)鍵詞：橢圓；解析幾何；變式；有效性

眾所周知，解題教學(xué)要講求“精”和“鉆”，不易“多”和“散”. 如何在復(fù)習(xí)教學(xué)中以精來滲透呢？筆者認為，多解性的分析是教學(xué)中不錯的選擇. 教師要在引導(dǎo)學(xué)生分析發(fā)散思考問題的基礎(chǔ)上，進行多角度解題的指導(dǎo)，進而提高解題教學(xué)的有效性. 北師大張英伯教授專門就一題多解教學(xué)給出過這樣的指導(dǎo)：“我認為中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解是非常具有思維的、開發(fā)性的，如今的大學(xué)生非常了得，常常在一些基本問題中提出不同的思維見解、角度分析，我想這和他們在中學(xué)階段進行的多解嘗試是分不開的，因此我建議數(shù)學(xué)教育要堅持一題多解的培養(yǎng)，不要糾結(jié)于做題的數(shù)量，更要關(guān)注題的質(zhì)量和思維發(fā)散性的培養(yǎng).” 正是鑒于張教授的話，我們來分析一道解析幾何試題，來看看如何提高教學(xué)有效性.

問題：橢圓E經(jīng)過點A（2，3），對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率e=.

（1）求橢圓E的方程；

（2）求∠F1AF2的角平分線所在直線的方程.

分析：此題從條件上看是完備的.因為橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，坐標(biāo)軸包括了x軸和y軸，所以橢圓的中心為原點，橢圓的離心率確定且過定點，焦點在x軸上，這樣的橢圓一定是唯一確定的，可求出其方程. 由于橢圓是固定的，焦點位置可確定，點A也是定點，在平面直角坐標(biāo)系中，△AF1F2是固定的，所以其內(nèi)角的平分線位置在坐標(biāo)系中也必然是確定的，故此題條件完整、合理，問題答案唯一，題目是完備嚴密的. 本題第1小題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率的定義、方程的思想等. 第2小題由于解法很多，所以考查的內(nèi)容也比較多，主要考查三角形角平分線的定義、平面幾何、三角函數(shù)、求點的軌跡方程等知識.

解析：（1）e==，e2=1-=，所以=. 設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：+=1（a>b>0），將點A（2，3）代入橢圓，得a2=16，b2=12，所以橢圓E的方程為+=1.

下面重點對第2小題進行教學(xué)有效性分析.

教師：如果從概念角度進行分析，請同學(xué)們思考如何解決呢？

學(xué)生1：設(shè)∠F1AF2=2θ，因為AF2⊥x軸，AF1=5，AF2=3，F(xiàn)1F2=4，所以tan2θ=，即=，解得tanθ=，所以直線l的傾斜角α與θ互余，則有tanα==2，所以直線l的斜率為2，所以直線l的方程為2x-y-1=0. （概念當(dāng)優(yōu)先，樸實加自然）

說明：解法1的核心是利用好角平分線的定義，最基本的想法是此直線平分該角，如上述解法1. 此解法入口較低，僅利用角平分線定義即可，但計算過程對三角恒等變換的知識有一定要求.

教師：很好，能不能從距離角度分析呢？

學(xué)生2：設(shè)角平分線l上任意一點P的坐標(biāo)為（x，y），所以點P到角的兩邊距離相等，即點P到直線AF1的距離與點P到直線AF2的距離相等，利用點到直線的距離公式可求得動點P的軌跡方程，所以直線l的方程為2x-y-1=0. （兩距離相等，計算要本領(lǐng)）

說明：解法2角平分線上的點到角的兩邊距離相等，利用此結(jié)論，可以求出直線的斜率，解法不難，但計算中容易產(chǎn)生增根，即外角的平分線，所以還要根據(jù)圖形判定舍去哪一個根. 此解法也是想法比較簡單，思維要求不高，但計算量較大，且對結(jié)果需要檢驗，所以也不是最佳解法.

學(xué)生3：老師，我是構(gòu)造圖形的：延長AF2至Q（2，-2），則AQ=AF1=5，故△AF1Q是等腰三角形，從而頂角平分線所在直線過底F1Q的中點M（0，-1），所以直線l的方程為2x-y-1=0. （構(gòu)造三角形，直線自現(xiàn)形）

說明：解法3是在觀察圖形后想到利用等腰三角形的性質(zhì)和一些平面幾何中的性質(zhì)來解決問題，計算量很小，但對思維和技巧的要求都非常高，不太容易想到這樣的解法.

教師：很好，有沒有同學(xué)想到使用初中數(shù)學(xué)角平分線的相關(guān)性質(zhì)呢？

學(xué)生4：設(shè)直線l與x軸的交點為P（x0，0），則由三角形內(nèi)角平分線定理，得=. 又因為AF1=5，AF2=3，所以=，解得x0=，所以直線l的方程為2x-y-1=0. （角分線上點，發(fā)揮其特點）

說明：解法4利用角平分線定理來解決問題，但現(xiàn)在的新教材對此定理已經(jīng)不作要求了.

學(xué)生5：老師，我想到利用內(nèi)切圓處理：點A和F2的橫坐標(biāo)相等，所以AF2⊥x軸. 又因為AF1=5，AF2=3，F(xiàn)1F2=4，故Rt△AF1F2的內(nèi)切圓半徑r=1，從而Rt△AF1F2的內(nèi)心坐標(biāo)為（1，1），而角平分線通過內(nèi)心，所以直線l的方程為2x-y-1=0. （巧用內(nèi)切圓，直線就呈現(xiàn)）

說明：解法5利用直角三角形的內(nèi)切圓的特殊性，若求出該三角形內(nèi)切圓的半徑，則可以得到內(nèi)心的坐標(biāo)，而角平分線又是通過三角形的內(nèi)心的，這樣就得出角平分線的方程.此解法的計算量較小，有一定思維含量，但要求不是特別高，是一種比較可取的解法.

學(xué)生6：老師，我發(fā)現(xiàn)利用角平分線的本質(zhì)也能解決：F1關(guān)于直線l的對稱點P必在直線AF2上，且AP=5，又因為AF2⊥x軸，AF2=3，所以點P坐標(biāo)為（2，-2），所以kF1P==-，所以直線l的斜率k=2，所以直線l的方程為2x-y-1=0.

說明：解法6是利用點的對稱性，其本質(zhì)還是在利用角平分線的性質(zhì)，此解法容易想到，求一個定點關(guān)于一條定直線的對稱點的計算量也不大，是一種不錯的解法.

教師：同學(xué)們，做得真不錯，還有嗎？（教師再提醒下）我們光學(xué)物理中常常用到什么？

學(xué)生7：利用橢圓光學(xué)的物理性質(zhì)，可以得到：根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，若光線從焦點F1出發(fā)，經(jīng)過橢圓上的點A反射后，反射光線一定經(jīng)過該橢圓的另一個焦點F2，并且橢圓在點A處的切線l′相當(dāng)于平面鏡，∠F1AF2的平分線l是反射光線的法線，所以只要求出橢圓在點A處的切線方程即可. 因為點A（2，3）在橢圓+上，所以橢圓在A處的切線l′方程為+=1，即x+2y-8=0，法線l與該切線互相垂直，所以直線l的斜率為2，所以直線l的方程為2x-y-1=0. （光學(xué)來幫忙，解法當(dāng)更強）

說明：解法7是利用橢圓的光學(xué)性質(zhì)，解法是比較簡潔的，但除了橢圓的光學(xué)性質(zhì)外，還需要掌握過橢圓上任意一點的切線方程，如果不利用已知結(jié)論，計算量是很大的，雖然不是最佳解法，但其變式和推廣具有很好的探究價值.

本題考查的知識比較基礎(chǔ)，對于求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，學(xué)生比較容易解決，求角平分線的方程難度也不大，可以通過上述的七種方法得到，所以有很好的教學(xué)功能.從一題多解的教學(xué)中，我們思考多解性教學(xué)可以這么做：

1. 調(diào)動學(xué)生積極性

該多解性教學(xué)注定是積極、主動、向上的，通過對問題的集中性展示，在學(xué)習(xí)過程中將這類知識點要求的通性通法在問題中進行游刃有余的挖掘、發(fā)散，教師既集中力量進行了基本問題的攻克，又使得學(xué)生主動參與、認知了數(shù)學(xué)知識中的重點和難點，是高效和有效的.

2. 關(guān)注問題的整合性

教師要注重可選問題的整合性，本案例以及多解將問題的多方面知識進行了整合，縱觀上述問題，從基本解法到光學(xué)性質(zhì)，大大突出了一題多解在復(fù)習(xí)教學(xué)、教學(xué)有效性上的嘗試，這正是復(fù)習(xí)教學(xué)最終所體現(xiàn)的——注重典型和整合性，將基本知識多樣地運用于單一問題的教學(xué)中，是典型問題整合較好的體現(xiàn).

3. 加強交流合作性

通過這樣的多解性討論教學(xué)模式在課堂教學(xué)和解題教學(xué)中的嘗試，有利于激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的濃厚興趣，使他們感受到數(shù)學(xué)知識是自己親自發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)問題是自己親自解決的，懂得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)必須注重數(shù)學(xué)的基本知識和概念、注重解題中的相互合作交流、關(guān)注計算等等. 只有做到學(xué)習(xí)為了用，才真正能感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的無窮樂趣.通過多解性教學(xué)的師生共同合作探討，加深知識的主動運用和實施，因而這樣的教學(xué)是充滿活力的，值得下一階段教師繼續(xù)去研究和深化.

4. 改變思維定式性

每位學(xué)生給出的解答是其思維定式下的習(xí)慣性解法，但對于學(xué)生來說，多解性的教學(xué)課正是為了提高學(xué)生解決問題的全面性和基礎(chǔ)知識的深刻性而設(shè)定，這樣的嘗試值得教師向?qū)W生推廣，在解決問題中教師正確向?qū)W生傳遞了一種意識：努力去改變思維的定式性，將他人優(yōu)秀的方式引導(dǎo)進自己的知識體系中，培養(yǎng)其運用知識靈活處理問題的能力.

新課程標(biāo)準(zhǔn)中強調(diào)要突出學(xué)生的主體地位，實踐表明，一題多解正是解決學(xué)生主體地位和提高教學(xué)有效性的好方式. “學(xué)生邊做邊思考，教師引導(dǎo)，學(xué)生再深入思考”的教學(xué)方法，極大地提高了教學(xué)的效率，促進了學(xué)生的深度參與. 當(dāng)發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維受阻時，教師應(yīng)及時點撥，及時評價、鼓勵，不斷增加學(xué)生的積極性和自信心.