蘭詩全

解數(shù)學(xué)題時，在仔細(xì)分析題目的條件后，有時需要提出假設(shè)，借助于假設(shè)的條件，通過適當(dāng)?shù)慕忸}方法，使問題得到解決.如果假設(shè)不合理，就會導(dǎo)致解題錯誤或解題過程繁瑣.為了使解題正確、過程簡明，我們需要關(guān)注假設(shè)的存在性、可靠性、等價性和簡捷性.

一、關(guān)注假設(shè)的存在性

在解決有關(guān)存在性問題時，常用分析法先假設(shè)符合條件的對象存在，然后推理求得結(jié)論.然而，所得結(jié)論只是必要條件，還需要對它進(jìn)行檢驗(yàn)，使之成為充要條件，即在解決這類存在性問題時，一定要關(guān)注假設(shè)的存在性.

例1 已知雙曲線x2- =1，過點(diǎn)A（1，1） 能否作直線l與所給雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)？說明理由.

錯解 假設(shè)滿足條件的直線l存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），則x21- =1，x22- =1.兩式作差后整理得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0.

由點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)，可知x1+x2 =2，y1+y2 =2，所以 =2，即直線l的斜率k=2.故直線l的方程為y -1=2（x-1），即y =2x-1.

錯誤分析 錯解在利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦的方程后，忽略對直線與雙曲線相交的檢驗(yàn).相交是直線存在的前提，這是值得關(guān)注的.

正解 同上得到直線l的方程為y =2x-1.

由y =2x-1，x2- =1，得2x2- 4x+3=0.因?yàn)棣?（-4）2-4×2×3<0，所以滿足條件的直線l不存在.

二、關(guān)注假設(shè)的可靠性

在數(shù)學(xué)解題中，要準(zhǔn)確把握概念、定理、公式、性質(zhì)等，要深刻理解、靈活應(yīng)用、可靠假設(shè)，這是正確解題的保證.

例2 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若對一切自然數(shù)n，有 = ，求 的值.

錯解 因?yàn)?= ，可以設(shè)Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為不等于0的實(shí)數(shù)），所以a11=S11-S10 =k（7×11+1）-k（7×10+1）=7k，b11=T11-T10 =k（4×11+27）-k（4×10+27）=4k.

于是可得 = .

錯誤分析 當(dāng){an}為等差數(shù)列，公差d≠0時，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，即Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.可是，錯解中的假設(shè)Sn=k·（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為不等于0的常數(shù)）不滿足Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)這個條件.假設(shè)不可靠，因而導(dǎo)致錯誤.

正解 設(shè)Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），k≠0，則a11=S11-S10=11k（7×11+1）-10k（7×10+1）=148k，b11=T11-T10=11k（4×11+27）-10k（4×10+27）=111k.

于是可得 = = .

三、關(guān)注假設(shè)的等價性

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)解題的需要，合理的假設(shè)可以架起已知與未知間的橋梁，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的.但是在運(yùn)用的過程中，一定要關(guān)注假設(shè)的等價性，這樣才能保證解題的準(zhǔn)確性.

例3 若M，N是橢圓C： +y2=1上的兩點(diǎn)， · =0，求|MN|的最小值.

錯解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ cos θ，sin θ）.由 · = 0，可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（- sin θ，cos θ）.

|MN|= = .

于是可知當(dāng)θ= 或θ= 時，|MN|取得最小值，且最小值為 .

錯誤分析 該解法錯將參數(shù)方程x=acos θ，y=bsin θ中的點(diǎn)M的離心角θ看成是直線OM的傾斜角，得出點(diǎn)N的坐標(biāo)是錯誤的，關(guān)鍵是假設(shè)未能與已知等價.

正解 由M，N是橢圓C： +y2=1上的兩點(diǎn)且OM⊥ON，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（r1cos θ，r1sin θ）（θ為OM的傾斜角），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（r2cos（θ+ ），r2sin（θ+ ）），即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-r2sin θ，r2cos θ）.

將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別代入橢圓的方程，得r21·（ +sin2θ）=1，r22（ +cos2θ）=1，從而得 + = +1= .

又（r21+r22）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，即（r21+r22）· ≥4，所以r21+r22≥3.

所以，|MN|2= r21+r22≥3，即|MN|≥ .故|MN|的最小值為 .

四、關(guān)注假設(shè)的簡捷性

有時，一個問題的設(shè)法有多種.如果不加分析，盲目而設(shè)，就可能導(dǎo)致解題過程繁瑣，甚至出現(xiàn)錯解.選對設(shè)法，可以給解題帶來很大的方便，顯示出數(shù)學(xué)的簡捷美.

例4 已知動直線l：y=k（x+2 ）與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△ABO的面積S的最大值.

分析 由題意容易想到，令k為自變量，建立S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式：

S（k）= （-1

若通過此式來求S的最大值，則會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算，同學(xué)們不妨一試.在考試時，利用這種思路解題，即使求出結(jié)果，也是隱性失分，因?yàn)檫@樣會嚴(yán)重占用其他題的解答時間.

若轉(zhuǎn)換視角，更新思路，視∠AOB為變量，則有以下簡捷的優(yōu)解.

解 設(shè)∠AOB=θ，則S（θ）= ×2×2sin θ =2sin θ（0<θ<π）.當(dāng)θ = 時，Smax=2.

總之，數(shù)學(xué)解題常常離不開假設(shè)，不但要會設(shè)、設(shè)對，更要追求簡設(shè)、巧設(shè).只有這樣，同學(xué)們才能減少許多不應(yīng)有的錯誤，提高解題的正確率和解題的能力.（責(zé)任編校？筑馮琪）

解數(shù)學(xué)題時，在仔細(xì)分析題目的條件后，有時需要提出假設(shè)，借助于假設(shè)的條件，通過適當(dāng)?shù)慕忸}方法，使問題得到解決.如果假設(shè)不合理，就會導(dǎo)致解題錯誤或解題過程繁瑣.為了使解題正確、過程簡明，我們需要關(guān)注假設(shè)的存在性、可靠性、等價性和簡捷性.

一、關(guān)注假設(shè)的存在性

在解決有關(guān)存在性問題時，常用分析法先假設(shè)符合條件的對象存在，然后推理求得結(jié)論.然而，所得結(jié)論只是必要條件，還需要對它進(jìn)行檢驗(yàn)，使之成為充要條件，即在解決這類存在性問題時，一定要關(guān)注假設(shè)的存在性.

例1 已知雙曲線x2- =1，過點(diǎn)A（1，1） 能否作直線l與所給雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)？說明理由.

錯解 假設(shè)滿足條件的直線l存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），則x21- =1，x22- =1.兩式作差后整理得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0.

由點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)，可知x1+x2 =2，y1+y2 =2，所以 =2，即直線l的斜率k=2.故直線l的方程為y -1=2（x-1），即y =2x-1.

錯誤分析 錯解在利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦的方程后，忽略對直線與雙曲線相交的檢驗(yàn).相交是直線存在的前提，這是值得關(guān)注的.

正解 同上得到直線l的方程為y =2x-1.

由y =2x-1，x2- =1，得2x2- 4x+3=0.因?yàn)棣?（-4）2-4×2×3<0，所以滿足條件的直線l不存在.

二、關(guān)注假設(shè)的可靠性

在數(shù)學(xué)解題中，要準(zhǔn)確把握概念、定理、公式、性質(zhì)等，要深刻理解、靈活應(yīng)用、可靠假設(shè)，這是正確解題的保證.

例2 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若對一切自然數(shù)n，有 = ，求 的值.

錯解 因?yàn)?= ，可以設(shè)Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為不等于0的實(shí)數(shù)），所以a11=S11-S10 =k（7×11+1）-k（7×10+1）=7k，b11=T11-T10 =k（4×11+27）-k（4×10+27）=4k.

于是可得 = .

錯誤分析 當(dāng){an}為等差數(shù)列，公差d≠0時，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，即Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.可是，錯解中的假設(shè)Sn=k·（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為不等于0的常數(shù)）不滿足Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)這個條件.假設(shè)不可靠，因而導(dǎo)致錯誤.

正解 設(shè)Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），k≠0，則a11=S11-S10=11k（7×11+1）-10k（7×10+1）=148k，b11=T11-T10=11k（4×11+27）-10k（4×10+27）=111k.

于是可得 = = .

三、關(guān)注假設(shè)的等價性

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)解題的需要，合理的假設(shè)可以架起已知與未知間的橋梁，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的.但是在運(yùn)用的過程中，一定要關(guān)注假設(shè)的等價性，這樣才能保證解題的準(zhǔn)確性.

例3 若M，N是橢圓C： +y2=1上的兩點(diǎn)， · =0，求|MN|的最小值.

錯解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ cos θ，sin θ）.由 · = 0，可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（- sin θ，cos θ）.

|MN|= = .

于是可知當(dāng)θ= 或θ= 時，|MN|取得最小值，且最小值為 .

錯誤分析 該解法錯將參數(shù)方程x=acos θ，y=bsin θ中的點(diǎn)M的離心角θ看成是直線OM的傾斜角，得出點(diǎn)N的坐標(biāo)是錯誤的，關(guān)鍵是假設(shè)未能與已知等價.

正解 由M，N是橢圓C： +y2=1上的兩點(diǎn)且OM⊥ON，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（r1cos θ，r1sin θ）（θ為OM的傾斜角），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（r2cos（θ+ ），r2sin（θ+ ）），即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-r2sin θ，r2cos θ）.

將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別代入橢圓的方程，得r21·（ +sin2θ）=1，r22（ +cos2θ）=1，從而得 + = +1= .

又（r21+r22）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，即（r21+r22）· ≥4，所以r21+r22≥3.

所以，|MN|2= r21+r22≥3，即|MN|≥ .故|MN|的最小值為 .

四、關(guān)注假設(shè)的簡捷性

有時，一個問題的設(shè)法有多種.如果不加分析，盲目而設(shè)，就可能導(dǎo)致解題過程繁瑣，甚至出現(xiàn)錯解.選對設(shè)法，可以給解題帶來很大的方便，顯示出數(shù)學(xué)的簡捷美.

例4 已知動直線l：y=k（x+2 ）與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△ABO的面積S的最大值.

分析 由題意容易想到，令k為自變量，建立S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式：

S（k）= （-1

若通過此式來求S的最大值，則會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算，同學(xué)們不妨一試.在考試時，利用這種思路解題，即使求出結(jié)果，也是隱性失分，因?yàn)檫@樣會嚴(yán)重占用其他題的解答時間.

若轉(zhuǎn)換視角，更新思路，視∠AOB為變量，則有以下簡捷的優(yōu)解.

解 設(shè)∠AOB=θ，則S（θ）= ×2×2sin θ =2sin θ（0<θ<π）.當(dāng)θ = 時，Smax=2.

總之，數(shù)學(xué)解題常常離不開假設(shè)，不但要會設(shè)、設(shè)對，更要追求簡設(shè)、巧設(shè).只有這樣，同學(xué)們才能減少許多不應(yīng)有的錯誤，提高解題的正確率和解題的能力.（責(zé)任編校？筑馮琪）

解數(shù)學(xué)題時，在仔細(xì)分析題目的條件后，有時需要提出假設(shè)，借助于假設(shè)的條件，通過適當(dāng)?shù)慕忸}方法，使問題得到解決.如果假設(shè)不合理，就會導(dǎo)致解題錯誤或解題過程繁瑣.為了使解題正確、過程簡明，我們需要關(guān)注假設(shè)的存在性、可靠性、等價性和簡捷性.

一、關(guān)注假設(shè)的存在性

在解決有關(guān)存在性問題時，常用分析法先假設(shè)符合條件的對象存在，然后推理求得結(jié)論.然而，所得結(jié)論只是必要條件，還需要對它進(jìn)行檢驗(yàn)，使之成為充要條件，即在解決這類存在性問題時，一定要關(guān)注假設(shè)的存在性.

例1 已知雙曲線x2- =1，過點(diǎn)A（1，1） 能否作直線l與所給雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)？說明理由.

錯解 假設(shè)滿足條件的直線l存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1，y1），點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（x2，y2），則x21- =1，x22- =1.兩式作差后整理得2（x1+x2）（x1-x2）-（y1+y2）（y1-y2）=0.

由點(diǎn)A是線段PQ的中點(diǎn)，可知x1+x2 =2，y1+y2 =2，所以 =2，即直線l的斜率k=2.故直線l的方程為y -1=2（x-1），即y =2x-1.

錯誤分析 錯解在利用點(diǎn)差法求出中點(diǎn)弦的方程后，忽略對直線與雙曲線相交的檢驗(yàn).相交是直線存在的前提，這是值得關(guān)注的.

正解 同上得到直線l的方程為y =2x-1.

由y =2x-1，x2- =1，得2x2- 4x+3=0.因?yàn)棣?（-4）2-4×2×3<0，所以滿足條件的直線l不存在.

二、關(guān)注假設(shè)的可靠性

在數(shù)學(xué)解題中，要準(zhǔn)確把握概念、定理、公式、性質(zhì)等，要深刻理解、靈活應(yīng)用、可靠假設(shè)，這是正確解題的保證.

例2 設(shè)Sn，Tn分別為等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若對一切自然數(shù)n，有 = ，求 的值.

錯解 因?yàn)?= ，可以設(shè)Sn=k（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為不等于0的實(shí)數(shù)），所以a11=S11-S10 =k（7×11+1）-k（7×10+1）=7k，b11=T11-T10 =k（4×11+27）-k（4×10+27）=4k.

于是可得 = .

錯誤分析 當(dāng){an}為等差數(shù)列，公差d≠0時，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=An2+Bn，即Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，且常數(shù)項(xiàng)為0.可是，錯解中的假設(shè)Sn=k·（7n+1），Tn=k（4n+27）（k為不等于0的常數(shù)）不滿足Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)這個條件.假設(shè)不可靠，因而導(dǎo)致錯誤.

正解 設(shè)Sn=kn（7n+1），Tn=kn（4n+27），k≠0，則a11=S11-S10=11k（7×11+1）-10k（7×10+1）=148k，b11=T11-T10=11k（4×11+27）-10k（4×10+27）=111k.

于是可得 = = .

三、關(guān)注假設(shè)的等價性

在數(shù)學(xué)解題中，根據(jù)解題的需要，合理的假設(shè)可以架起已知與未知間的橋梁，達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的.但是在運(yùn)用的過程中，一定要關(guān)注假設(shè)的等價性，這樣才能保證解題的準(zhǔn)確性.

例3 若M，N是橢圓C： +y2=1上的兩點(diǎn)， · =0，求|MN|的最小值.

錯解 設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（ cos θ，sin θ）.由 · = 0，可知點(diǎn)N的坐標(biāo)為（- sin θ，cos θ）.

|MN|= = .

于是可知當(dāng)θ= 或θ= 時，|MN|取得最小值，且最小值為 .

錯誤分析 該解法錯將參數(shù)方程x=acos θ，y=bsin θ中的點(diǎn)M的離心角θ看成是直線OM的傾斜角，得出點(diǎn)N的坐標(biāo)是錯誤的，關(guān)鍵是假設(shè)未能與已知等價.

正解 由M，N是橢圓C： +y2=1上的兩點(diǎn)且OM⊥ON，可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（r1cos θ，r1sin θ）（θ為OM的傾斜角），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（r2cos（θ+ ），r2sin（θ+ ）），即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-r2sin θ，r2cos θ）.

將點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別代入橢圓的方程，得r21·（ +sin2θ）=1，r22（ +cos2θ）=1，從而得 + = +1= .

又（r21+r22）（ + ）=2+ + ≥2+2=4，即（r21+r22）· ≥4，所以r21+r22≥3.

所以，|MN|2= r21+r22≥3，即|MN|≥ .故|MN|的最小值為 .

四、關(guān)注假設(shè)的簡捷性

有時，一個問題的設(shè)法有多種.如果不加分析，盲目而設(shè)，就可能導(dǎo)致解題過程繁瑣，甚至出現(xiàn)錯解.選對設(shè)法，可以給解題帶來很大的方便，顯示出數(shù)學(xué)的簡捷美.

例4 已知動直線l：y=k（x+2 ）與圓O：x2+y2=4相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求△ABO的面積S的最大值.

分析 由題意容易想到，令k為自變量，建立S關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系式：

S（k）= （-1

若通過此式來求S的最大值，則會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算，同學(xué)們不妨一試.在考試時，利用這種思路解題，即使求出結(jié)果，也是隱性失分，因?yàn)檫@樣會嚴(yán)重占用其他題的解答時間.

若轉(zhuǎn)換視角，更新思路，視∠AOB為變量，則有以下簡捷的優(yōu)解.

解 設(shè)∠AOB=θ，則S（θ）= ×2×2sin θ =2sin θ（0<θ<π）.當(dāng)θ = 時，Smax=2.

總之，數(shù)學(xué)解題常常離不開假設(shè)，不但要會設(shè)、設(shè)對，更要追求簡設(shè)、巧設(shè).只有這樣，同學(xué)們才能減少許多不應(yīng)有的錯誤，提高解題的正確率和解題的能力.（責(zé)任編校？筑馮琪）